张妙安
(福建省漳州市第二中学 363000)
圆锥曲线中的最值问题是近年高考中的热点问题,对考生分析、解决问题的能力要求较高,具有一定的难度和区分度.基于此,本文拟通过归类解析的形式,着重帮助同学们理清处理此类问题的常用解题策略,逐步提升解题能力.
涉及与焦点有关的圆锥曲线中的最值问题,具体求解时往往需要充分利用圆锥曲线的“定义”探求解题思路,有利于将最值问题进行等价转化,以便结合图形或者利用基本不等式顺利分析最值问题.
例1 已知点P是抛物线y2=16x上的一个动点,设点P到定点M(3,4)的距离为d1,点P到抛物线焦点的距离为d2,则当d1+d2取最小值时,点P的坐标为.
解析如图,设点P在抛物线准线上的射影是点N,则由抛物线的定义可知,d1+d2=|PM|+|PN|.
又由图可知当且仅当M,P,N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值.
于是,当d1+d2取最小值时,点P的纵坐标与点M的纵坐标相同,从而可设所求点P的坐标为(m,4),将之代入抛物线方程y2=16x即得m=1.
故所求点P的坐标为(1,4).
评注本题求解的关键是,先明确d1+d2取最小值的具体情景是什么,然后再借助图形加以具体分析.
解析由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=4+|PF2|.
动点在圆锥曲线上,求解与圆锥曲线的中心、焦点有关的数量积的最值问题时,通过消元,可转化为求解二次函数在某区间上的最值问题;然后再利用“配方法”或“数形结合法”即可顺利获解.
A.2 B.3 C.6 D.8
评注本题侧重考查椭圆与向量知识的交汇,解题关键是通过消元,转化为求解二次函在闭区间上的最大值,体现了对所学知识、方法的综合考查.
处理圆锥曲线中的有关最值问题时,往往需要设出相关直线的方程以及相关点的坐标,再将直线方程中y=kx+m代入圆锥曲线方程,整理得到关于“x”的一元二次方程,然后利用根与系数的关系、基本不等式或函数观点(构造函数,并利用其单调性)巧求最值.这就是所谓的“设而不求”思想.活用“设而不求”思想,有利于降低运算量,提高解题技能.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
评注本题求解思路是先得到关于“x”的一元二次方程,再考虑最基本的三角形面积公式写出△OPQ的面积的表达式,然后借助换元、基本不等式巧解最大值问题.
总之,关注处理圆锥曲线中有关最值问题的常用解题策略,有利于积累解题经验,拓宽解题思路,逐步提高求解此类问题的技能技巧.