整数乘分数学习路径优化的实证研究

巩子坤，朱贤梅，2，王 旭

（1.杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310000；2.杭州市第十一中学，浙江 杭州 310000）

一、问题提出

分数是小学数学的关键内容，它为学习有理数和分式做了铺垫，在数学的知识结构中具有重要地位。分数乘法是乘法意义的一次扩展，分数乘法算理的理解和算法的掌握，直接影响分数除法的学习。[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础；在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。[2]但在实际学习中，学生往往只是记住了运算法则，并没有真正明白算理。因而，学生只是具备了运算技能，而不是运算能力。为了提高学生的运算能力，让学生真正理解分数乘法的算理，就必须要探索有利于学生理解的分数乘法学习路径。

学习路径就是为了达成教学目标而设计的任务序列，这些任务之间具有一定的逻辑递进关系，这些任务是指向教学目标的。也就是说，我们教材中设计的活动或者例子序列，就是一个学习路径。

我国小学数学教材中，分数乘法一般分为“分数乘整数”“整数乘分数”和“分数乘分数”三个部分，其中“整数乘分数”是承上启下的内容，也是关键环节。本文针对该部分内容的教学进行研究。主要回答的问题是：教师在教学中实施了怎样的学习路径？学习路径是怎样逐步得到优化与完善的？对教材编写、教学实施的建议是什么?

二、研究设计

（一）研究对象

选取杭州市某小学六年级两个平行班，记为甲班、乙班。学生的期末数学考试成绩和研究者的前测数据表明，两个班级的学生数学成绩没有显著差异，执教教师S教龄5年。

（二）研究程序

研究步骤如图1所示。

（三）数据收集

通过课堂教学观察与课后对学生的测试来说明学习路径是否得到了优化，主要采用课堂观察法、问卷调查法、访谈法以及行动研究法来收集数据。包括：研讨录像，教学设计，课堂作业，后测及访谈。

图1 研究的实施步骤

（四）学生测试

1.理论模型

为了帮助学生更好地理解分数乘法的算理，探究有利于学生理解的分数乘法学习路径，将学生的理解类型（或者说分数乘法算理的表征方式）划分为以下三种[3]（如表1）。

表1 学生分数乘法的理解类型

2.测试材料

先列式计算，再用尽可能多的方法，如文字解释、画直观图、列算式等方法，说明你的回答是正确的，说明过程书写得越详细越好。

（1）一个长方形蛋糕的长是3 厘米，宽是2 厘米，长方形的面积是多少？（2）冰箱里有3 个苹果，小新吃了其中的，请问小新一共吃了多少个苹果？

3.计分标准

根据学生的回答，参照表1的理解类型，对学生的理解进行分类、计分，每类理解，正确计1分，错误或者没有回答计0分，最高得3分。

最终以学生理解水平的提升程度、学生的课堂表现和课后访谈为依据，探查整数乘分数的学习路径是否得到了优化。

三、研究结果与分析

（一）干预前S老师设计的学习路径B1 1.学习路径B1呈现

在不受任何干预的情况下，S老师独立备课，并完成授课。根据课堂实录以及教学设计，得到S 老师实施的学习路径B1（如图2所示）。

图2 干预前S老师实施的整数×分数学习路径B1

由图2可知，S 老师选择了与教材中分数乘法例2(“一桶水有12 升，3 桶水共多少升？桶是多少升？桶是多少升？”[4])类似的模型进行教学设计，由整数乘法的意义入手，迁移该意义（3 倍、），进而列出乘法算式，并借助分数的意义来理解算理、推导法则。

2.学习路径B1的实施效果

学生后测情况统计如表2。从表2可以发现，学生程序理解的平均得分为0.681，表明有较多的学生计算错误。分析发现，学生错误的原因在于没有能够列出正确的乘法算式，因此，教师要帮助学生理解分数乘法的意义。直观理解的平均得分0.085分，只有7位学生勉强画出方格图进行直观表征，个别学生画出了线段图，但这种表征并不直观。学生直观理解水平之低提醒我们，必须补上直观表征这一课。学生抽象理解水平较好，但平均得分也只是0.361。

表2 第一次教学后理解类型的平均得分

3.存在的问题

为什么后测效果如此差呢？通过分析教学实录、听取教师反馈以及开展教学研讨，我们发现以下问题。

（1）关键任务的作用没有凸显

整数乘分数的关键任务并不是任务1，而是任务2，因为任务2 才具有一般性，任务2 才触及了整数乘分数的算理。但由于任务1求得的结果均为整数，借助分数的意义用除法算式求出，就无须直观表征，而任务2、任务3 都没有直观表征。但是讲解分数乘分数时，必须使用直观表征：直观表征才能够讲清楚算理与算法。因而，启下的作用无法发挥，就没有为分数乘分数做好铺垫。而教材的例2出现的问题与任务1如出一辙。

（2）任务情境选取不当

从课堂教学、学生后测、学生课堂作业单中发现，很少有学生能够对算理进行直观表征。由于S教师在课堂教学中没有引导学生利用直观，选用“千克”与教材中例2 的“升”相似，容易用一维的线段图直观表征。然而，线段图容易表征一维的加减运算，而不利于表征二维的乘法运算。分数乘分数，显然需要二维的面积图来表征。

（3）分数乘法的意义未有效渗透

从课堂教学来看，首先是整数乘整数（15×3）；然后迁移整数乘法的意义，得到“求15的”仍然用乘法即；进一步，求得结果是5。按照这样的教学思路就变成了“求一个数的几分之几是多少，就用这个数乘几分之几”。显然这样表述不符合教材中的“一个数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少”，逻辑上反了过来。即便把逻辑关系理清楚了，还有一个更加本质的问题：即求一个数的几分之几是多少，为什么用乘法，而不是加法或者减法。

关键任务与任务情境均涉及算理的直观理解与抽象理解，乘法的意义涉及算理的程序理解，因而，本次教学效果较差也就在情理之中了。

4.改进建议

抓住本质性、代表性的任务，多种表征讲清算理，并进而得到法则。同时，这个任务要能够启下，即为分数乘分数做好方法论的铺垫，能够蕴含分数乘法的意义。这个任务必须是这样的结果为分数的任务。

（2）用面积模型作为任务情境

用“月饼”等面积模型作为任务情境，可以为后面讲解分数乘分数做好铺垫。如果仅就整数乘分数而言，可以利用线段图来表征，但是如果贯通来看，二维面积图就具有了一致性、本质性。

（3）合乎逻辑地渗透分数乘法的意义

学生已经清楚求几个相同加数的和用乘法；在整数乘分数中，可以总结出求一个数的几分之几也用乘法。因此可以得到：求几个相同加数的和用乘法，求一个数的几分之几也用乘法。这就顺利实现了分数乘法意义的扩展。当然，对于乘法而言，一次更大的扩展是“负负得正”。

（二）修改后的学习路径B2

1.学习路径B2呈现

通过课后研讨与S 老师课后反思，重新修改的学习路径B2如图3。

图3 修改后的整数×分数学习路径B2

教学任务由整数乘法引入：一盒有3 个月饼，（1）吃3 盒是多少个？（2）吃1 盒是多少个？“1”是临界情况。上述两个任务是“温故”，为整数乘分数做铺垫。以下任务是“知新”。（3）吃盒，是多少个？这是整数×单位分数结果为整数；引入整数乘分数。（4）吃盒，是多少个？这是整数×单位分数，结果是分数，这是关键、难点，也是着力点。（5）吃盒，是多少个？这是整数×非单位分数，结果是分数。路径B2利用面积模型，促进学生对分数乘法算理的理解。该路径将整数乘法的意义引申到分数乘法上来，实现了算理、算法与意义的统一。

2.学习路径B2的实施效果

后测结果如表3。

表3 第二次教学后不同理解类型的平均得分

对比表2、表3，第二次教学后，不同理解类型得分均有大幅度提升，这表明，实施学习路径B2，取得了良好的效果。

3.存在问题

T：你会列式吗？你会画图吗？

T：“求一个数的几分之几是多少，用乘法”

从上述片断中，我们发现以下问题：

（1）“承前”，即承“分数乘整数”的旧知识。学生先列出了算式，再来直观表征算式的意义与结果。但是我们以为，应该先有直观表征，基于直观表征，才有了算式。“承前”应该是把整数乘分数的算法转化成了分数乘整数。而显然，整数乘分数的意义不能够转化成分数乘整数（分数乘整数的意义本质上就是整数乘法的意义）。

（2）“启后”，即启“分数乘分数”的新知识。关键有两点：一是直观表征整数乘分数的算理，为分数乘分数做铺垫。学生对算理的直观表征（见S1的画图），他把每个月饼看成了一个整体。而把每个月饼作为一个整体，还是整数的思维方式，只有把所有的月饼看成一个整体，才是整体的思维方式。当接下来学习分数乘分数，没有了整数，这样的直观表征就不再适合。二是分数乘法意义的获得，即“求一个数的几分之几是多少，用乘法”。但教师并没有借助直观表征说明“一个数的几分之几，如何转换成乘法”。在完成所有的教学任务后，学生的思维受阻，没能自主总结出分数乘法的意义。

4.改进建议

（1）承上：利用“分数乘整数”的算理、算法，阐释整数乘分数的算理、推导法则。

（2）启下：利用“整数乘分数”的知识，得到“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，从而为“分数乘分数”列出乘法算式做铺垫。

（三）完善的学习路径B3

我们建议的整数×分数学习路径B3如图4。

图4 优化的整数×分数学习路径B3

四、结论与建议

（一）重点任务

整数乘分数包括整个分数乘法中，最最重要的任务是“整数乘分数”，而其中的执牛耳者是，这个关键任务完成了，就解决了分数乘法的算理、算法，也解决了分数乘法的意义。因而，建议教材增加这个任务。

（二）直观表征

对于分数乘法、分数除法，表征算理的最好方式是直观。[5-6]而由于乘法运算是二维运算，因而，面积模型具有本质性、代表性。这个直观模型具有前后一致性：无论分数乘法、还是分数除法，均可使用。建议教材放弃对线段图的偏爱，也放弃对水桶的偏爱，使用面积模型。

（三）分数乘法的意义

分数乘法是乘法意义的一次扩展，我们无法也不能够回避。在介绍小数乘法时，我们刻意回避了乘法的意义；在即将学习负数乘负数时，乘法的意义具有了形式化的特征，我们不得不回避。[7]既如此，如果此时不直面乘法意义的拓展，我们就再也没有机会来体会乘法的意义了。建议以整数乘分数为载体，抓住难得的机遇，承上启下，渗透、介绍分数乘法的意义。▲