数学教材“拓展栏目”：价值挖掘与实现策略——基于人教A版“数列”章节的分析

张定强，梁会芳

（西北师范大学教育学院，甘肃 兰州 730070）

教材作为教育教学权威、稳定、直接、系统的课程资源，是教师和学生之间的纽带，钻研教材、吃透教材、把握教材、运用教材是教育教学有效运行的基本保障。为了贯彻《普通高中数学课程标准（实验）》所提出的“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，寻求数学进步的历史轨迹，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值”[1]这一理念，人教A版普通高中课程标准实验教科书在编制的过程中，富有创意地设置了“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术的应用”等多种“拓展栏目”，这些拓展栏目是教材的重要组成部分，是对教材正文的进一步补充与延伸，从而建构了完整的教材体系。本文将结合人教A版“数列”章节，挖掘“拓展栏目”所蕴含的价值，并探讨其实现策略。

一、“拓展栏目”的价值挖掘

（一）“拓展栏目”的基本认知

“拓展”一词在《现代汉语词典》解释如下：“拓”有开辟、扩充之意；“展”为张开、扩大的意思；“拓展”意指开拓、发展。由以上的解释不难看出，“拓展”就是在原有的基础上，增加新的东西，使原有的内涵不断丰富。因此，数学教材中的“拓展栏目”就是不断增润正文部分的内涵与外延，以开拓学生知识视野与认知视域，激发学生学习兴趣，唤醒数学学习热情，发展数学思维方式，增强数学实践能力，丰富应用意识以及提升数学综合素质等。

高中数学人教A版教材在“数列”这一章节中，所设置的拓展栏目基本概况如表1所示。[2]

表1 “数列”章节“拓展栏目”概况

不难看出，“数列”章节当中“拓展栏目”均选用与数列强相关的素材，并将这些拓展性课程资源嵌套在数列章节中，以增强数列知识的趣味性、吸引力和应用性，丰富数列知识的内涵。从正文与拓展栏目的分布情况来看，全章节共44个页面，其中拓展栏目有7个页面，占比近16%。从与正文的关联来看，“斐波那契数列”是对“章头图”“章引言”所蕴含知识的具体化例说；“九连环”“购房中的数学”是借助于中国古老智力游戏与现实生活中的问题来丰富等比数列的前n项和一节内容；“估计的值”是从数学史上的第一次数学危机出发来构造特殊的数列，运用迭代和算法思想来关联数列的非等差、等比类型。

（二）“拓展栏目”蕴藏的价值分析

数学教材作为教与学的有效课程资源，承载着人类数学知识的精华。[3]而“拓展栏目”作为数学教材当中传递数学知识的重要资源，在教育教学的过程中，充分挖掘其价值，能够使数学教学达到事半功倍的效果。

1.文化价值

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出，通过高中数学课程的学习，应使学生认识数学的文化价值。[4]数学作为人类文化的重要组成部分，承载着开发学生思维、培养学生人文情怀与审美意识的重要功能。而“拓展栏目”作为数学教材当中数学文化的一个有效载体，通过数学概念、命题、定理等的拓展，开拓学生的知识视野，加深学生对数学知识的理解与掌握。通过介绍数学文化（如展示数学家所经历的艰苦漫长的探究过程，像数学的第一次危机等），使学生充分体会和把握数学文化的形成过程，感悟其中所蕴含的思想方法，从而激发学生学习数学的热情，感受数学的魅力，增强学习数学的信心。

如“数列”中的“阅读与思考”中的斐波那契数列，是以斐波那契在《算盘全书》中所提出的兔子繁殖问题为导向，利用表格的形式将兔子对数罗列出来，让学生从中发现所蕴藏的数学规律，得到斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…并通过观察、比较、分析，得出其递推公式，感悟数学家在探究知识过程中的思维方式以及大自然当中所蕴藏的美妙规律，有助于培养学生的探究能力与文化素养。另外，斐波那契数列还有着广泛的应用价值，好多自然现象如花朵、向日葵、树枝等呈现类似规律，在这些规律的探索中可以让学生发现黄金分割、“魔术师的地毯”、杨辉三角、尾数循环、数字谜题等与斐波那契数列密切联系的数学规律。[5]还有“的探索”，是数学史上最经典的数学案例，启发学生对有理数与无理数辩证关系的反思，通过对这些与之相关的数学史料的教材呈现，促使学生感知数学文化的博大精深，体会和理解数学的魅力，从而提高学生对于数学的兴趣，培养学生的审美意识与人文情怀。

2.育人价值

通过高中阶段的数学教育，应当使学生“会用数学的眼光观察世界；会用数学的思维思考世界；会用数学的语言表达世界”，这“三会”的培养目标与数学学科核心素养可以说是等价的。[6]为了有效地将数学核心素养融入数学教育的过程当中，新课标在制定的过程中，将“三会”目标具体化，形成了六大数学核心素养，并指出情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思是体现学生数学核心素养的四个方面。[7]教材作为这四个方面的具体化，通过创设情境设置精妙问题将知识与技能、思维与表达、反思与交流融为一体，让学生通过对问题的观察、分析与解决来提高数学素养。因此教材中的问题情境创设要能调动学生学习的热情与积极性，适合学生的认知水平和已有经验，那么选择适合学生最近发展区的材料，运用适切的语言表达方式来呈现就是实现育人目标的重要举措。“拓展栏目”作为数学教材当中的有效资源，主要通过数学史、知识拓展、数学探究、数学建模等方面的素材，补充、完善、拓展正文中的选材，给学生“三会”留下更广阔的思维空间，引导学生深度介入数学的源与流、数学的道与术，并通过自主探索、动手实践、合作交流等方式探究、感悟与之相关的数学知识。

如“数列”章节中的“购房中的数学”，以现实生活中居民在购房时所遇到的困惑为出发点，要求学生根据所学数列知识，在考虑该居民家庭经济状况的前提下，结合贷款评估员所提供的信息与建议，为其选择购房的最佳方案。通过解决这一现实问题，让学生充分意识到数学不仅是训练思维的重要工具，也是解决现实问题的有效手段，是“三会”目标的具体体现。通过这个现实问题的解决，有助于培养学生的数据分析、数学运算以及数学建模等数学核心素养。

3.发展价值

发展学生的数学核心素养是数学教育目标的具体化，随着时代的发展，信息技术正在逐渐渗透到教育教学当中，这对教师的教以及学生的学产生着深刻的影响，也影响着数学核心素养养成的路径与方式。信息技术与数学课程的有机融合已成为时代发展的必然趋势，未来教育形态将是与信息技术全面融合的教育体系。因此，教师必须以信息技术为抓手，根据时代发展的要求，发展学生的数学实践创新能力。[8]“信息技术应用”这一拓展栏目就是信息技术融入课程领域的表征，信息技术作为环境、手段、内容、思想已深深地嵌入到数学教材中，在“拓展栏目”中信息技术类型在人教A 版中占比37.5%，在正文中比例也不小，随着新课标颁布以及新的数学教材编写，信息技术将会以新的态势融入其中，不仅变革教材中数学知识技能、思维表达、交流反思的方式方法，而且变革教与学的生态环境，将更加充分地培养学生的创新能力、批判性思维能力以及合作与交流、自主发展和信息素养等。[9]

二、“拓展栏目”的实现策略

“拓展栏目”的设置，丰富了课程资源，增加了教材的弹性，是培养学生数学核心素养的有效资源。但由于该栏目是作为一种选学内容，课标并未对其提出明确的实现要求，致使其价值旁落，在实际数学教育教学过程中往往处于一种“边缘化”的状态。因此，在解读与运用“拓展栏目”素材时，要在理念上高度重视，在行为上倾心投入，在评价上抓铁有痕。

（一）在理念上高度重视，把“拓展栏目”作为数学课程不可或缺的组成部分

理念是行动的先导。“拓展栏目”之所以在实际的教学过程中沦为一种“摆设”，在很大程度上是因为师生对于其价值与作用的认识不到位，致使师生对“拓展栏目”的教与学持消极的态度。如“数列”章节中的“九连环”这一拓展栏目，在以往的教学过程中，由于师生对于其蕴含的思维方式认识不到位，认为该内容比较抽象，理解难度大，并且与教材正文的相关性“看似”不明显，升学考试也未对其提出明确的要求，故往往将其弃之，导致其教育价值得不到发挥。因此，在实际教学的过程中，作为教学组织者与引导者的教师应将“拓展栏目”视为数学教育体系不可或缺的重要组成部分，在认真学习、研究、理解和掌握“拓展栏目”内容的基础上，准确分析其在教材中的地位与作用，高度重视“拓展栏目”所扮演的角色，切不可喧宾夺主，亦不可放任自流，应积极引导学生深入挖掘其文化价值、育人价值、发展价值。学生作为学习的主体，应转变数学学习功利性的态度，注重自身的个性发展以及未来人生规划的思考，重视“拓展栏目”的学习，认真品味其中所蕴含的思想和方法，通过拓展栏目的学习培养主动探索数学的兴趣。

（二）在行为上倾心投入，把“拓展栏目”作为教学设计、实施、反思的重要任务

学生数学核心素养的培养，最终要落在具体的教学过程当中，教材“拓展栏目”的设置，为其提供了有效的路径。如“数列”章节的“章引言”“数列的概念与简单的表示法”的教学设计与实施中，切不可遗失对“阅读与思考”栏目中“斐波那契数列”的设计与实施，在分析数列概念及表示法的过程中也要把斐波那契数列作为教学过程中的孕育点与生长点，引导学生阅读并启发学生观察自然现象中的斐波那契规律。再如对值的探索，教师可以根据学生的认知水平以及实际经验，结合本节数列概念的设计，在构造无穷数列中探索的值究竟是多少，将此问题融入实际教学过程当中，并结合数学史中的第一次数学危机的故事，使数学教学设计与实施充满趣味性与故事性，也使数学教学富有生命形态和生活气息，增润课堂氛围；同时引导学生交流和反思到底如何认知，就此也可以开展专题讲座，深度挖掘其中所蕴藏的价值，从而拓展学生的知识视野，培养学生的人文素养。拓展栏目的教学设计与实施路径很多，可以留作课后阅读并以数学建模和数学探究活动的方式开展，有问题与任务驱动，有精心的准备与具体的任务清单，有翔实的活动流程与检测手段，充分发挥学生学习的主动性与积极性；也可利用拓展栏目的类型与素材精巧地设计教学活动，如利用数学文化类素材让学生大量地查阅数学史料，强化对数学源与流的认知，如利用生活应用类素材紧扣日常生活现实，开展研究性学习，撰写数学作文，引导学生利用所学知识解决实际问题，体会学以致用，强化数学应用意识；如利用知识拓展类素材鼓励学生想象、联想，培养创新意识，如从的近似值求解联想到的近似值求解等，运用信息技术开展数学建模或数学探究活动，提高学生的数学思维与综合素质。

（三）在评价上抓铁有痕，把“拓展栏目”作为学业质量的监测内容

学业质量是数学学科核心素养应达成的目标，是数学学科核心素养与课程内容的有机结合，是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求，也是相应考试命题的依据。[10]将“拓展栏目”作为学业质量监测的内容之一是时代发展的需要，这种监测主要体现在过程性评价中，评价的方式可以是课堂观察、口头测验、开放式活动、研究性作业等。其目的是为优化教材的呈现方式、为富有特色地建设数学教材与有效教学提供依据，最重要的是通过监测促使“拓展栏目”的价值得以实现。由于“拓展栏目”的特殊性以及教学效果的非显性，因此，在评价中应注重观察学生在学习过程中所发生的潜在变化，分析学生学习过程中在知识掌握、数学表达、思维方式等方面发生的细微变化，通过过程性评价留下学生学习兴趣、动机、热情、态度、习惯等发生变化的痕迹，做到抓铁有痕，并透过“拓展栏目”的教学评价，反思教学过程，改进教学设计。“拓展栏目”虽为教材的补充与延伸，但蕴含着丰富的数学思想方法，如何采取更加科学合理的方式建构拓展栏目也是一个重大的教材编写命题，包括素材选取的适切性、信息指向的一致性、关联结构的有效性等，需要在继承的基础上创新，以提高数学教材拓展栏目的建构质量。▲