初中数学函数最值问题建模尝试

刘维

1 问题描述

人民教育出版社出版的义务教育课程标准试验教科书九年级下册二次函数（实际问题与二次函数）中有这样一个问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

2 问题解决的过程

2.1 回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质

顶点式，对称轴和顶点坐标公式：

对称轴：直线

顶点坐标：

利润=售价-进价.

总利润=每件利润×销售数量.

2.2 问题引入

活动1

1. 求下列函数的最大值或最小值.

⑴ y = x2 + 2x - 3； ⑵ y=-x2 + 4x

2、图中所示的二次函数图像的解析式为：

y = 2x2 + 8x + 13

⑴若-3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为

（ 55 ）、（ 5 ）。

⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、

最小值分别为（ 55 ）、（ 13 ）。

注意：求函数的最值问题，应注意什么？

活动2

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进

价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题

（1）题目中有几种调整价格的方法？

（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？

概括：构建二次函数模型解决 一些实际问题

分析： 某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加。这两种情况都会导致利润的变化。如何定价才能使利润最大呢？

先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 10x 件，实际卖出 （300-10x） 件，销额为 （60+x）（300-10x） 元，买进商品需付 40（300-10x） 元因此，所得利润为 y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x） 元

即：y = -10x2 + 100x + 6000（0≤X≤30）

当x = 5 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润是 6250 .

可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.

在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。

答：定价为元时，利润最大，最大利润为6050元

由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗？

2.3 解题方法归纳

（1）根据实际问题，构建二次函数模型，即将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.

（2）运用二次函数及其性质求二次函数的最大（或最小值）

解题思想归纳

（1）建模思想：根据题意构造二次函数

（2）数形结合思想：根据图象特征来解决问题

2.4 归纳小结

运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 ：

（1）求出函数解析式和自变量的取值范围

（2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值

（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。

2.5 布置作业

课时训练P21-22

3 课堂教学建模

上面这节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的（通问过对实际问题的分析，把问題转化为二次函数求最值问题）一节应用课.主要内容包括：生活中利润问题转化为数学问题进行解决，通过实际问题的解决，并对解决方法进行反思，获得解决问题的经验；掌握数学建模思想在实际问题中的应用，体现数学的实际应用价值。

二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现.本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力.

随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。情景设置的取材广泛，有社会热点问题，如环保、纳税、经济、合理用料等，使问题富有时代气息；也有日常生活中常见的问题，如购物、统计、几何图形的计算等。解决实际情景问题的关键是"转化"，即将实际情景问题"数学化"，根据已有的数学知识、经验去建立相应的数学模型（即数学建模），进而解决问题。所谓数学建模就是把所要研究的实际问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。

其基本思路是：

4 课堂教学建模的思考

由于社会的发展，必须培养学生具有从实际问题中获取信息，建立数学模型，分析问题与解决问题的基本能力。而中学数学中的数、代数式、方程、函数等都是反映现实世界的数学模型，因而在一定程度上，可以说数学建模就是中学数学的一条主线，应该把视野更开阔些，以这样的观念处理具体的数学内容。如对于方程，按新课程标准编写的教材没有按照原有的习惯分类，一个个讨论工程问题、行程问题、浓度问题等，而是紧扣数学建模，努力让学生学会从实际问题中获取信息，建立数学模型，分析问题与解决问题，实际上，一种数学模型也不可能是某一种问题所特有的。对于函数内容的处理同样如此，从实际问题出发，引入函数模型，研究函数性质，又回到实际中去。因此必须努力缩短数学课程与现代社会的距离，与学生的距离，与学生生活实际的距离，与学生终身需求的距离。作为初级中学数学教师应如何正确认识数学建模与应用性问题教学和进行数学建模与应用性问题教学，全面落实数学课程标准？面向所有的学生，让所有的学生获得更多可以广泛应用、与现实世界及其他学科密切相关的数学！让所有的学生学到有价值的、富有挑战性的数学！让所有的学生学会数学地思考，并积极地参与数学活动，进行自主探索！

（作者单位：四川省南部县流马镇初级中学）