基于经验抽取本质 分层递进建构意义

郑洁

数学概念的学习是数学学习的重要内容，且不断递进延伸、循环往复，呈现出螺旋上升的趋势。概念都有内涵和外延，二者不可分割、相互依存：概念的内涵是对象的本质属性，是概念“质”的反映;外延则是对象的全体，是概念“量”的反映。在教学中引导学生理解概念的本质更难操作，也更容易被忽视。一线教师在概念教学中往往是先“给出”结论，再进行巩固练习，最后布置作业让学生回去背概念——这种重结论、轻过程的教法绕过了学生对概念的理解与运用过程，其弊端通常不会马上显现，只有当同类或相似概念逐渐增多，需要学生辨析运用或结合实际问题灵活运用时，才会结结实实地扰乱学生的思维，使之出现概念混淆和各种思维定势等问题。细究起来，这种教学方式的弊端主要体现为以下三个方面：其一，忽视了对前后概念之间知识的链接;其二，没有关注到学生已有的知识经验以及对概念理解的差异性;其三，缺乏有效的策略引导学生揭示概念的本质，或根本没有意识到揭示概念本质的重要性。为了克服以上教学弊端，课题组在实践研究的基础上，依据精彩学堂的4J3D教学策略，构建了“迁移拓展已有认知—聚焦概念本质特征—归纳建构完整概念”的概念教学模式，利用学生对概念的差异性理解，组织学生实施以揭示概念本质特征为载体的数学探究活动，引导学生经历对概念内涵与外延自主建构的完整过程，发展学生的观察、操作、分析比较、推理、抽象概括和语言表达（含自身语言和数学语言）等学科能力。下面笔者以人教版数学五年级下册《分数的意义》为例，谈谈精彩学堂理念下概念教学的实施策略。

一、通过精读教材、精研学情，准确把握学生对相关概念的认知和经验基础，明确基本教学思路

概念课的学习要以学生已有的知识、经验为基础，通过组织相关学习活动促进学生深度感知和正确理解，进而准确把握概念的内涵和外延。《分数的意义》是数概念课中一个非常重要的学习内容，是学生学习分数四则运算和解决分数实际问题的重要基础，包含了分数的意义、单位“1”、分数单位等多个抽象概念，因此也是概念教学中一个公认的难点。然而，五年级的学生对于分数的认识是有一定知识基础和生活经验的：早在三年级时，学生已经通过对分数的初步认识，知道了分数各部分的名称，会读、会写简单的分数，会比较分子是1的分数的大小，会进行简单的分数加法、减法（同分母加减）。本课学习，重点是引导学生在已有知识、经验基础上，对分数的认识由感性上升到理性，理解和概括分数的意义。教材通过提供直观材料“告知”学生：不论是一个物体还是一些物体，都可以表示出它们的四分之一，于是概括出分数的意义。课题组基于多年课堂教学经验清醒地认识到，直接使用教材中的学习材料或由老师提供别的什么材料来“告知”学生概念的意义，既不利于激发学生自主学习的兴趣、暴露学生的认知差异，也不利于教师面向全体学生因材施教。

精彩学堂的精研学情策略，通过对学生进行课前学情调研，可以准确了解学生学习的现实起点，便于教师分析学生现实起点与教材逻辑起点的差距，预测学生课堂学习的思维路径、学习困难和个体差异，因学设教，提高课堂教学设计的针对性，同时为课堂教学的差异互动提供丰富的学习资源。本课的课前学情调研采用的是前测练习（如图1）的方式，运用4道练习题，分成两个板块考察学生对分数意义的知识与经验基础：练习1和练习2作为第一板块，重点考察学生对三年级分数知识的理解、掌握及语言表征情况;练习3和练习4作为第二板块，重点考察学生对本课新知“一些物体的几分之一或几分之几”的感知情况。

通过分析学生的练习完成情况，笔者发现了两个问题。问题一，学生对于旧知中的分数意义表象清晰但表述困难。如练习1，全部学生都能根据直观图形写出对应的分数，说明学生对相关分数知识已经有了较为清晰的直观认识;而当要求用语言表征特定分数的意义时（如练习2），学生的答案中便暴露出了各种语言不规范现象，诸如“6份中的5份”“把長方形分成6份取走5份”等。问题二：对于新知中的分数意义认同但并不真正理解。如练习3，绝大多数学生能够作出正确判断，说明学生虽然还没有系统地学习关于“一些物体的几分之几”的知识，但却有一定生活经验，能根据图示直观判断这类情况，也可以用分数表示。然而，练习4的答案，绝大多数学生画出的是“一个”物体的四分之一，仅有两名学生分别画出了4个物体和8个物体的四分之一。这说明，绝大多数学生对于把一些物体“平均分”表示它的几分之几虽有经验，但这种经验只是停留在形象感知层面，并未真正形成“一个整体”观念，所以当自主进行图形表征时，仍然选择了用“一个”物体进行表征。也就是说，绝大多数学生的相关经验是模糊且无意识的，他们认同却并不真正理解。当然也有少数例外（两个），而且这两个例外可以成为课堂上生生互动的重要课程资源。

问题一给笔者的启示是，要实现对分数意义的概念理解，必须采用多种手段帮助学生由图形表征过渡到语言表征;问题二给笔者的启示是，必须通过组织有效的学习活动去“唤醒”学生“认同却并不真正理解”的隐性认知，帮助学生打通新旧知识间的联系，推动学生在比较分析的基础上明晰、固化有价值的经验，进而实现数学学习由模糊经验向科学认知的过渡和提升。

通过精读教材、精研学情，笔者明晰了《分数的意义》教学中的问题及问题解决策略，于是遵循概念教学基本模式，结合精彩学堂的主体性、发展性、差异性等六个教学原则，确定了《分数的意义》课堂教学整体思路（如图2），决定通过组织相关数学活动获取差异化学习资源，构建“以生为本、以学为中心、以发展为要”的精彩课堂，引导学生逐层递进，先后经历从活动中具体感知、抽象概念本质、用语言或符号表征概念的全过程，从中发展深度学习能力。

二、通过突显学生活动获取差异性学习资源，以认知差异促概念建构，构建“以生为本、以学为中心、以发展为要”的精彩学堂

课前学情调研的相关资源，不仅可以用于课堂教学思路的确定，而且可以用于课堂教学本身，实现资源的多次利用。

（一）初次表征，利用差异性学习资源扩大学生的感性经验，实现学生对概念外延的认知拓展

列昂杰耶夫说过：“数学教学的主要任务之一，就是要将学生不太了解的事实用生动的、色彩鲜明的形象给予他们，在这方面扩大他们的感性经验。”基于课前学情调研的两个例外，笔者在开课伊始组织了一个开放性的师生互动活动，从学生第一次自主表征[14]的画图作品中采集了5个样本资源（如图3），再次唤醒学生已有的知识、经验，暴露学生的认知差异，促进学生知识迁移。

师：（指图①、图②、图③）有同学这样表示[14]，可以吗？（生点头表示认可）没错，三年级时我们就知道，把一个圆、一个正方形、一条线段等等，像这样的“一个物体”平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。（板书“一个物体平均分成四份，这样的一份就是它的[14]”）

师：（指图④、图⑤）这些作品中，涂色部分也能用[14]来表示吗？

生：能。

师：既然能用[14]来表示，就一定有它的道理。请你把它们和前面的[14]比较一下，说一说它们为什么也能用[14]来表示。

生1：因为前面那个苹果是四份中的一份，前面两个三角形也是四份中的一份。

生2：因为它们都是被平均分成了4份，取了其中的1份，就是[14]。

师：看来，是不是四分之一，与要平均分的物体数量没有关系，可以像前面那样是一个物体，也可以像后面这样是四个物体、八个物体，乃至“一些物体”。感谢两位同学给我们带来的新鲜视角！（板书：一些物体）

笔者充分利用学生中的差异性资源，从新旧知识的链接点出发，引导学生将“一个物体的四分之一”和“四（八）个物体的四分之一”进行对比、交流，将学生的感性经验聚焦到把握概念外延的关节点，实现了从一个物体的四分之一到四（八）个物体、一些物体的四分之一的经验加工，使学生对四分之一的认知得以拓展，视野更加开阔，思维更加灵活。

（二）再次表征，建立“一个整体”观念，建构四分之一的意义

抽象概念的本质对于小学生的概念学习来说一直是个难点。《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系;要重视直观，处理好直观与抽象的关系;要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”在本课中，笔者坚持“以学为中心”，在学生第一次自主表征之后，依然没有直接给出分数意义的结论，而是紧接着组织了第二次图形表征活动。

师：同学们，你们还能把更多数量的物体平均分，表示出它们的[14]吗？（生自主画图表征，师从中选取学生作品投影，如图4，并请学生介绍自己的作品）

生1：我把16颗五角星平均分成了4份，取其中1份，就是它的四分之一。

师：大家发现了吗？这名同学是把16颗五角星看作一个整体，把“它”进行平均分，表示出“它”的四分之一。既然是一个整体，我们就可以把“它”圈起来（指导学生把16颗五角星圈起来，再投影）。瞧，这样是不是更像一个整体了？

生2：我把20个苹果平均分成4份……

生3：我把16个三角形平均分成了4份……

生4：我把12个“2”平均分成4份……

师引导全体学生分别观察在投影中出现的多个物体平均分的作品，让学生进一步思考：同样表示的是[14]，为什么之前是一個图形的一部分，现在有的是4颗星、有的是5个苹果呢？

生5：因为他们平均分的物体的总数不一样，有的是平均分1个物体，有的是平均分16个物体，有的是平均分20个物体。

师：没错，物体的总数可以不一样！那么，它们又有什么相同的地方呢？

生6：都是平均分成了4份，取了其中的1份。

师：说的太好了，你抓住了四分之一的本质！看来，不论是一个物体还是一些物体，只要把它们看作“一个整体”，再把这个整体平均分成四份，这样的1份就是它的四分之一。（板书：一个整体）那么，现在你能完整地说一说四分之一的意义了吗？请小组交流后汇报展示。

以上教学环节，笔者再次借助学生图形表征的差异性资源，引导学生辨析“一个物体”与“更多物体”的异同，抽象出“一个整体”观念即概念本质;紧接着让学生通过小组交流、思维碰撞，尝试用语言表征四分之一的意义，逐步完善自己的数学思维和语言表征，更为准确地理解四分之一的数学概念，初步感知分数的意义。

（三）延伸表象，推理概括，建构概念的准确认知

要发展学生的抽象概括能力，就必须引导学生通过观察、思考、比较、推理，进一步归纳出对象的本质特征。而归纳的前提，就是必须具备多个同类对象。当学生已经明晰了四分之一的意义之后，笔者又设计了几个问题，引导学生思考[15]的意义、[1a]的意义、[23]的意义、[ba]的意义……最终聚焦到分数的意义：现在，你能用自己的话说说什么是分数吗？笔者通过连续追问，引导学生不断发现各个特定分数的本质特征，并通过推理概括，发现这些分数的共同本质特征，进而建构分数的意义。在这个学习过程中，学生的思维经历了由具体到抽象、由个别到一般的推理概括过程，从中感悟到抽象、归纳的数学思想，培养了数学推理能力，体现了概念学习中思维的螺旋上升过程。

（责编 白聪敏）