反电动势对无扰载荷航天器精确定向的影响*

孔宪仁，武 晨，李海勤，杨震国

(哈尔滨工业大学 卫星技术研究所， 黑龙江 哈尔滨 150080)

超高精度是未来航天器必须具备的性能之一，而高频微振动将对航天器精度性能提出巨大挑战。文献[1]叙述了当前解决高频微振动问题的主要方法，但所述方法均存在各自的局限性，鉴于此，Pedreiro[2]提出了一种称为无扰载荷(Disturbance Free Payload，DFP)的新型航天器结构，该结构将载荷模块(Payload Module，PM)与支持模块(Support Module，SM)通过DFP接口连接，既可实现PM的六自由度控制又可无机械接触连接PM与SM，理论上可完全消除振源部件对有效载荷的影响。实际应用中，PM与SM之间存在的连接缆线和非接触式作动器的反电动势均会引起耦合，影响PM的性能。

文献[3-4]通过建立DFP结构形式的下一代空间望远镜[5]的二维实验模型说明了反电动势是PM与SM之间的主要耦合源，而连接缆线对PM的影响较小。Pedreiro等[6]还将DFP结构应用于敏捷航天器中，将反电动势考虑为主要耦合源，并分析了连接缆线粗细对PM的影响。Trankle等[7]建立了DFP航天器的仿真模型，考虑反电动势和DFP接口刚度，设计了DFP航天器的控制系统。Xu等[8]采用牛顿欧拉方法推导了DFP航天器的接口动力学模型，并采用H∞鲁棒控制方法设计了姿态控制系统。庞岩等[9]考虑DFP航天器中的柔性连接缆线，建立了其动力学模型，并由此分析对PM性能的影响。Regehr[10]分析了缆线引起的振动从SM到PM的传递特性。孔宪仁等[11]建立了PM与SM之间的相对运动动力学模型，分析了PM与SM之间的相对运动。Wu等[12]考虑非接触式作动器反电动势和连接缆线刚度，建立了DFP航天器的耦合动力学模型，分析了耦合特性。上述研究结果表明，只要改变连接缆线的刚度避开振源的频率范围，即可消除对PM的影响，而非接触式作动器反电动势是必须考虑的耦合源。

本文针对具有六支杆立方体构型接口的DFP航天器，考虑非接触式作动器反电动势，结合拉格朗日方程和牛顿欧拉方法给出PM与SM之间的耦合动力学模型，将SM上飞轮动静不平衡引起的谐振考虑为干扰力矩，分析了非接触式作动器反电动势对PM精确定向的影响。

1 DFP航天器概述

图1所示为DFP航天器结构。DFP接口主要包括非接触式作动器、PM平台和SM平台，PM与SM分别安装于PM平台和SM平台上。典型的DFP接口有六杆和八杆构型[13]，针对图2所示六支杆立方体构型[14]DFP接口展开研究。Li(i=1,2,3,4,5,6)表示接口中的6个支杆，支杆一端与SM平台连接于点s12，s34和s56，另一端与PM平台连接于点p61，p23和p45，非接触式作动器安装于支杆上，如图3所示。

图1 DFP航天器结构Fig.1 Configuration of DFP spacecraft

图2 DFP接口构型Fig.2 Architecture of DFP-interface

图3 非接触式作动器结构Fig.3 Configuration of the non-contact actuator

2 DFP接口动力学模型

针对六支杆立方体构型DFP接口，其动力学建模方法有多种：牛顿欧拉方法[15]、拉格朗日方法[16]、凯恩方法[17-19]、广义动量法[20]、虚功原理[21]和旋转理论[22]。同时考虑PM平台与SM平台的运动，采用文献[23]中所述方法建立DFP接口动力学模型。建立DFP接口动力学模型之前，需明确以下坐标系：惯性坐标系、PM平台坐标系和SM平台坐标系，分别对应图4中的O-XYZ，P-XPYPZP和S-XSYSZS。

图4 位置矢量Fig.4 Position vectors

2.1 单支杆运动学

由图4可知，pi和si在惯性系下的位置矢量为：

(1)

则pi和si的速度和加速度可分别表示为：

(2)

(3)

(4)

(5)

对式(4)点乘ni可得支杆滑动速度的标量：

(6)

式(6)用矩阵表示为：

(7)

(8)

由式(6)可得支杆滑动速度为：

(9)

对式(4)叉乘ni可得支杆转动角速度为：

(10)

设上下支杆质心位置矢量分别为rui和rli。

(11)

其中：lli为si指向下支杆质心的矢量；lui为上支杆质心指向pi的矢量。上支杆质心速度为：

(12)

2.2 支杆连接点约束力

设rpi为广义速度，则支杆i的动能为：

(13)

式中，mui和Iui分别为上支杆的质量和惯量。

(14)

其中，E表示单位矩阵。

拉格朗日方程可表示为：

(15)

式中，Qi表示广义力。

将式(13)代入式(15)，设：

(16)

(17)

Qi包括在点pi处的约束力fsi和非接触式作动器输出力fi。由于非接触式作动器只提供沿杆方向的作用力，即fi=nifi，则fsi可表示为：

fsi=Qi-nifi

(18)

将式(17)代入式(18)可得：

(19)

2.3 PM平台动力学模型

PM质心一般不与PM平台质心重合，其为：

r=rP+rco

(20)

式中，rco为PM平台质心到PM质心的位置矢量在惯性系下的表示。

式(20)的二阶导数为：

(21)

考虑6支杆作用，PM的牛顿欧拉方程为：

(22)

式中，fext和Text为额外力与额外力矩，m和I分别为PM的质量和转动惯量。 将式(19)～(21)代入式(22)可得PM平台的动力学模型：

(23)

F=[f1f2f3f4f5f6]T

3 耦合动力学模型

3.1 非接触式作动器作用力模型

非接触式作动器为音圈电机，其输出力为：

fi=keiit

(24)

式中，kei为音圈电机的电磁力常数，it为线圈中的电流。

由基尔霍夫电压定律可得：

(25)

式中，u为电压，L为电感，R为电阻，kbi为反电动势，vi为线圈相对于铁磁体的相对运动速度。

将式(24)和式(25)进行拉氏变换可得：

(26)

式中，s表示拉普拉斯算子，Fci(s)和Fmi(s)分别为控制力和反电动势力的拉氏变换。

由于L一般较小，Fmi(s)可简化为：

(27)

将式(27)代入式(26)并进行拉氏反变换可得：

fi=fci+fmi

(28)

其中，fci为控制力，fmi为反电动势力，kmi为反电动势系数。

(29)

由于非接触式作动器的线圈和铁磁体分别与点si和pi刚性连接，fmi又可表示为：

(30)

则整个DFP接口非接触式作动器输出力为：

(31)

F=[f1f2f3f4f5f6]T

Fc=[fc1fc2fc3fc4fc5fc6]T

Km=diag(km1km2km3km4km5km6)

3.2 耦合动力学方程

将式(31)代入式(23)，不考虑额外力，可得PM平台与SM平台之间的耦合动力学模型：

(32)

4 PM精确定向性能

通过数值仿真分析非接触式作动器的反电动势对PM的性能影响。DFP航天器结构参数如表1 所示。

表1 DFP航天器结构参数

SM上飞轮三正交安装，则动静不平衡引起的振动干扰力矩数学模型如式(33)[24]所示。式中：Ck表示飞轮动静不平衡系数；ωx，ωy和ωz表示三个飞轮的转速；K表示谐波数；hk表示第k个谐波频率与飞轮转速之比；TIDx，TIDy和TIDz表示飞轮产生的振动干扰力矩，模型参数如表2所示。

(33)

4.1 飞轮动静不平衡干扰力矩

在定向过程中，飞轮转速会一直增大直到飞轮饱和，之后通过卸载，转速减小。根据式(33)可知，在该过程中，动静不平衡引起的干扰力矩也先逐渐增大后逐渐减小。整个过程动静不平衡引起的干扰力矩如图5所示。

图5 干扰力矩Fig.5 Disturbance torque

4.2 SM姿态

SM姿态动力学为：

(34)

其中：[φS,θS,ψS]T=ζS为姿态角；ω0为轨道角速度；[TSx,TSy,TSz]T=TS为所受力矩，hx、hy和hz分别为对应方向上飞轮的角动量。

采用比例微分控制设计SM的姿态控制律。

(35)

图6所示为在DFP航天器定向状态下SM的姿态角。由图可知，飞轮动静不平衡引起的干扰力矩与飞轮转速成正比例关系，飞轮转速越大，干扰力矩越大，对SM的指向精度影响越大。

图6 SM姿态角Fig.6 Attitude angular of SM

4.3 PM姿态

根据PM平台与SM平台的耦合动力学，由SM的姿态角可计算获得PM的姿态角。反电动势系数分别为1 N·s·m-1，5 N·s·m-1，15 N·s·m-1时PM的姿态角如图7～9所示。

图7 反电动势系数为1 N·s·m-1时PM的姿态角Fig.7 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 1 N·s·m-1

图8 反电动势系数为5 N·s·m-1时PM的姿态角Fig.8 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 5 N·s·m-1

图9 反电动势系数为15 N·s·m-1时PM的姿态角Fig.9 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 15 N·s·m-1

由图7～9可知，反电动势系数越大，PM的定向精度越差，这说明非接触式作动器反电动势对PM的影响随反电动势系数的增大而增大。此外，对于六支杆立方体构型的DFP接口，反电动势对偏航角ψP的影响不明显，而对滚转角φP和俯仰角θP的影响较为明显。

5 结论

本文针对DFP航天器，考虑六支杆立方体构型DFP接口，结合拉格朗日方程和牛顿欧拉方法建立了PM平台动力学模型。给出了非接触式作动器输出力模型，并将其引入PM平台动力学模型，给出了考虑非接触式作动器反电动势的耦合动力学模型。将飞轮动静不平衡引起的谐振作为干扰力矩，建立了DFP航天器在轨定向状态的Simulink仿真模型，给出了定向状态下飞轮动静不平衡引起的干扰力矩以及SM的姿态角，并分析了反电动势系数分别为1 N·s·m-1，5 N·s·m-1和15 N·s·m-1时PM的定向精度。仿真结果表明，反电动势系数越大，干扰力矩对PM的影响越大，PM精确定向精度越低，对DFP航天器实际应用中非接触式作动器选型具有理论指导意义。此外，耦合动力学模型可考虑用于PM精确定向控制器的设计。