数形结合的思想

高慧明

北京市中学数学特级教师，现任教于北京市第十二中学；教育部课程改革“全国先进工作者”，教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场；在《教育研究》《中国教育学刊》《数学教育学报》《数学通报》等学术期刊上发表论文500余篇，其中100余篇被中国人民大学复印报刊资料《中学数学教与学》《中小学教育》全文转载；已出版个人专著《高中数学思想方法及应用》《高考数学命题规律与教学策略》《让高中生学会学习》《高慧明数学教学实践与研究》（丛书）等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。

数形结合就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它内部的几何背景，以启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时，注意从代数的角度，通过数量关系的研究解决问题。在使用过程中，由“形”到“数”的转化往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。数形结合思想要求根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起來，使问题得到解决。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

运用“数形结合思想”的意义

数形结合思想是解决数形之间问题的有效途径。它不仅可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，还能将抽象的代数问题形象化、具体化，从而培养学生思维的形象性、灵活性，帮助他们把握数学问题的本质，使他们更深入、准确地理解数学问题。

具体来说，表现在六个方面：其一，在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都是实现以形助数的途径。当问题中涉及相关数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解决问题的目的。其二，有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解决问题的目的。其三，利用数形结合思想解决问题，有时只需把图象的大致形状画出即可，不需要精确图象。其四，数形结合思想是解决数学问题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择、填空等客观题型时更方便，可以提高解题速度。其五，数形结合思想常用的模型包括一次（二次）函数图象、斜率公式、两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）、点到直线的距离公式等。其六，选择应用数形结合思想的原则是有利于解决问题。

“数形结合思想”的具体运用

运用数形结合能让很多复杂的问题迎刃而解，且解法简捷。

小学数学教学中，由于小学生的逻辑思维能力比较薄弱，在面对数学的抽象性这一现实问题时，新课标教材就借助数形结合思想，尽可能地将抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式。例如：从数的认识、计算到解决比较复杂的实际问题，教材经常借助图形来理解和分析；学习几何知识时，教材经常用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。这说明数离不开形，形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的运用尤为突出。具体而言，体现在以下四个方面：一是将“形”作为各种直观工具，帮助学生理解和掌握知识，解决问题。低年级借助直线认识数的顺序，高年级借助画线段图理解实际问题的数量关系等，都是这方面的具体运用。二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如通过数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但正是数形结合思想的重点所在，是学习初（高）中数学的重要基础。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现。四是用代数（算术）方法解决几何问题，如通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等。

中学数学中，数形结合思想的运用更加普遍。概括起来说，主要有两种：一是借助数的精确性来阐明形的某些属性，如应用曲线的方程可以精确地阐明曲线的几何性质，应用数字可以表示平面图形的大小；二是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，如一些函数的最值问题、值域问题，以及不等式中比较大小的问题等，都可以用图形来解决。在中学数形结合思想所涉及的内容主要包括：集合及其运算问题中，图形与符号、图形与文字的转译；函数的表达形式之间的转译；充分利用图象研究函数特性；向量中相关问题的解决与应用；函数图象与方程、不等式的解集间的内在联系构成的推理判定；圆锥曲线和相关元素的图形特征与方程及定义间的内在联系的应用；三角函数图象的特征及三角函数几何定义的应用；几何中的“形”中觅“数”，等等。在中学阶段数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；构造函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；构建复数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求解的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等。

运用数形结合思想应注意的事项

数形结合思想是解答数学问题的一种常用方法与技巧。在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需要做到：明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。

实际运用数形结合思想解决问题时，有四个方面的问题特别要引起重视：一是注意数与形转化的等价性，如将陌生的复杂的数学问题转化为简单、熟知的数学问题时，一定要注意转化前后的问题是等价的。二是注意利用“数”的精确性。一些判断公共点个数的问题，转化为图形后一定要“数”精确，才能得出正确结论。三是注意图形的全面性。有些数学问题所对应的图形不唯一，必须根据不同的情况做出相应的图形再讨论求解。四，注意图形的实效性。数形结合对某些问题来说，在一定的条件下可以使用该方法，但一旦条件发生变化，就有可能不再适用。

数形结合思想的运用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助数的精确性来阐明形的某些属性。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。数形结合的主要方法有解析法、三角法、向量法、图象法等。因此，准确地画出函数图象、注意函数的定义域，用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法。值得注意的是，首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解，但在解答题中，数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证。

下期内容预告：分类与整合的思想——数学思想方法系列讲座（4）

责任编辑 姜楚华