高考“函数的零点”题型分类及解题策略分析

张旭

摘 要：函数的零点问题是高考常考的内容之一，若判断函数在某个区间上是否存在零点，只需判断区间端点的函数值是否异号；若判断函数零点的个数，需要将函数零点转化为方程的解，再由方程的解转化为两个新函数的图象的交点；若利用导数则可以解决一些较复杂函数的零点问题。

关键词：函数零点；图象交点；方程解

函数的零点问题是近些年高考出题的热点问题，考查题型以选择题为主，偶尔出现在填空题和解答题之中。零点问题综合性较强，渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，成为高考的生长点和学生的失分点。为帮助考生攻克这一难点，下面笔者通过对新课标高考题的分析，归纳总结函数的零点问题的常见题型和解题策略，希望对大家有所帮助。

一、函数零点所在区间的判断

涉及求零点所在区间范围的题型，可以利用零点的存在性定理进行求解。

利用存在性定理求解时，需要计算出区间端点处得函数值符号，如不能得到端点处的函数值可考虑用二分法继续求证或作图观察函数图象的交点所在的大致区间。

例1.若方程ln（x+1）+2x-1=0的根为x=m，则（ ）

A.0

解：设f（x）=ln（x+1）+2x-1，则f（0）=-1<0，f（1）=ln2+1>0，所以0

二、求函数零点的个数或方程的根的个数问题

求零点个数问题是高考中最常见的零点题型，如果所给函数有一个零点时，可以考虑利用存在性定理证明函数存在零点，然后再证明函数在此区间是单调函数即可。如果所给函数含有一个以上的零点，可以采用数形结合的方法求解。如将f（x）转化为

f（x）=g（x）-h（x）的形式，则可以作出g（x）和h（x）的图象，两个图象交点的个数就是f（x）零点的个数。

例2.若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=

f（x），且当x∈[0，1]时，其图象是四分之一圆，则函数H（x）=xex-f（x）在区间[-3，1]上的零点个数为（ ）

A.5 B.4 C.3 D.2

解：函数f（x）是偶函数，且f（x+2）=f（-x）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数。记g（x）=xex，则有g′（x）=（x+1）ex，当x<-1时，g′（x）<0；当x>-1时，g′（x）>0，由此画出g（x）=xex的图象，进而得到y=xex的图象，结合图象知，函数y=xex与y=f（x）的图象在[-3，1]上共有4个交点，故选B。

在将原函数转化时要注意转化的函数图象要尽量简单，方便作图。另外，在作图时可能会涉及图象的平移、翻折变换、复杂的函数甚至需要求导，因此，在平时的学习中学生要熟悉基本初等函数及变形后的函数图象。

三、复合型函数零点的个数问题

对于复合型函数的零点问题，往往给出的函数都是分段函数，直接代入较为复杂，为学生解题带来极大困难。为了简化运算，我们一般需要先将复合型函数f[g（x）]拆分为两个函数y=

f（t），t=g（x）。然后根据函数f（t）的零点情况确定t的值或范围，再分别作出函数y=t和y=g（x）的图象，根据两个函数图象交点的情况就能最终确定复合型函数的零点个数了。

例3.已知函数f（x）=，x≤1log2（x-1），x>1则函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-的零点个数是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.

解：令t=f（x），则F（x）=f（t）-2t-，其零点由F（x）=0，得f（t）=2t+，作出函数y=f（t）与y=2t+■的图象，根为t=0或t∈（1，2）。当t=0时，x=2；当t∈（1，2）时，有3个零点，所以函数F（x）的零点个数为4，故选A。

四、求函数所有零点和的问题

求函数零点之和的问题是最近几年高考出现的新类型题，它一般会将函数的对称性问题和零点问题结合在一起进行考查，题目较难，对学生的综合解题能力要求高。对于此类问题的解答需要我们先利用作图的方式找到零点的个数，再根据对称性分别求出两个函数的对称轴或对称中心（通常两个函数的对称性相同）。由函数的对称性可知零点的对称性，关于对称轴或对称中心对称的零点和为对称轴或对称中心横坐标的2倍。由此，可以确定所有零点的和。

例4.函数f（x）=+2sinπx-在x∈[-3，5]上的所有零点之和为（ ）

A.4 B.6 C.8 D.10

解：因为f（x）=-2cosπx，所以函数f（x）的零点即为函数y=与函数y=2cosπx的交点，作出函数y=与函数y=2cosπx的图象，由图知，有8个交点，而x=1是两函数的对称轴，所以函数f（x）所有零点之和为4×2=8，故选C。

参考文献：

[1]徐正印.高考中分段函数与零点交汇问题的解题策略[J].中学数学研究，2018（8）：15.

[2]胡宗玲.根据参数确定函数零点[J].中学生数理化（学习研究），2018（9）.

[3]卢杰.函数零点问题常见的几种求解方法[J].中学教学参考，2013（6）：35.

编辑 段丽君