作图软件介入数学课堂，促进学生学习方式转变

摘 要：2017新版《普通高中数学课程标准》提出：“学生需要获得必要的基础知识和基本技能、感悟数学基本思想、不断积累数学基本活动经验的过程（四基）。”其中，“积累数学基本活动经验”这一提法在平时教学实践中关注度不够，所以相对缺乏，而且既然要“积累”所以更因该多给学生在课堂内外实践的机会，从而改变学生的学习方式；另外，很多高一学生对函数缺乏兴趣，普遍认为抽象又晦涩难懂，一进高中就对数学有了惧怕感。基于以上两个原因，我尝试以一节函数图象的应用课为切入点，手机为辅助教学工具，开展一次教学活动，减弱学生对函数的惧怕感，培养他们学习数学的兴趣，帮助他们建立学好数学的信心，为整个高中三年的数学学习打下良好的基础。

关键词：信息技术；基本活动；经验学习；方式转变

一、本课预期达成的目标

1.知识与技能：以智能手机软件Desmos为工具，运用基本函数图象的变换，画出日常生活中常见的几何商标，进一步掌握函数图象、性质及图像的基本变换。

2.过程与方法：在运用智能手机软件Desmos画商标的过程中，体会基本函数图象及变换，发展想象力、创造力，提高分析问题和解决问题能力。

3.情感、态度、价值观：感受数学之美，激发学习兴趣。

二、本节课的教学重点

1.基本函数的图象与性质。

2.基本函数图象与变换。

三、本节课的教学难点

对几何商标进行抽象、概括，与已有的基本函数图象建立

联系。

四、教学工具以及软件准备

教师及每个学生携带智能手机，安装数学软件Desmos（免费app），课前教师和学生共同学习软件的基本操作。

五、学生知识能力储备

1.函数定义以及相关概念与性质；

2.已掌握的常见函数，比如一次函数、反比例函数、二次函数、幂指对函数、三角函数等；

3.一些常见的图像变换，比如平移变换、对称变换、绝对值变换等；能用待定系数法求函数解析式；

4.高一学生已经具备了一定的数形结合能力。

六、本节课的研究策略（流程）

首先由老师提出问题，学生分组讨论并且自主确定函数模型，然后根据所选择的函数模型写出函数解析式然后使用绘图软件作出函数图象，下一步是组间交流检验所画出的图像是否符合要求，哪个组画得更合理，如果不符合要求则重新分组讨论改进函数模型，如果符合要求则流程结束。

七、实施过程

1.[复习]基本函数的图象及其相关知识点。

2.[引入]以学生熟悉的麦当劳的品牌标志引入课题。

教师：大家都看过麦当劳的品牌标志，同学们能不能在Desmos软件里输入一个函数解析式，从而画出麦当劳的图像呢？

3.[问题初步解决]

学生A：可以输入正弦函数的图象；

提问：正弦函数图象与麦当劳的logo一致吗？

学生A：还需要添加绝对值；

教师：如何加绝对值？

学生A：y=sinx；

教师用Desmos作图并投影展示，同时复习两种常见函数绝对值变换，即，y=

f（x）→y=f（x）与y=f（x）→y=f（x）

并提问：y=sinx行

不行？

学生甲思考后回答：也可以；

教师：完成了吗？

学生A：振幅偏小；

教师：振幅等于多少比较合适呢？

学生A：4

教师改进Desmos解析式：y=4sinx

提问：很好！感觉比较像了，但老师觉得还有一个很大的问题；

学生A抢答：还需要加上定义域，x∈[-π，π]

教师：很好！但是手机软件Desmos好像不支持输入定义域怎么办？

学生沉默。

教师提示：x∈[-π，π]等價于（x+π）·（x-π）≥0故把解析式变为y=sinx+0·即可得到所需要的图象。教师改进Desmos解析式（图1），学生表示认可。

教师：刚才A同学用了三角函数模型画出了麦当劳的logo，我想大家一定还有其他思路，请操作手机，用你自己的思路画出麦当劳的logo，可以小组讨论；

学生B通过投影演示他的画法：

使用二次函数和绝对值变换构造函数

y=x·（6-x），x∈[-6，6]

学生C通过投影演示他的画法：

直接把二次函数开方，可以直接生成定义域，

但是开方之后外面要乘以4

y=4

4.[归纳小结]

教师继续提问：请大家总结一下，刚才我们使用了哪些数学知识和方法，利用手机画画的步骤是什么？

学生自主归纳，教师由学生的归纳写出研究策略。

5.[问题的拓展研究]

教师：有了研究策略之后，请同学们分组讨论，尝试用函数图象画一颗心出来。

学生D演示所在小组的成果；

教师问学生D：你们组是怎么完成这幅画的？

学生D：图的上班部分是用刚才画麦当劳logo的办法画的，下班部分用了一个二次函数就画出来了。

教师：那么函数的解析式是如何确定的呢？

学生D：上面一半图形的解析式为y=4，下半个图象二次函数的开口向上，先确定大致顶点的位置是（0，-8），然后设二次函数解析式为y=a·x2-8，（a>0），然后再根据x轴上方图象与x轴交于两个点（±6，0），代入之后就可以得到a=，所以二次函数的解析式为y=x2-8，x∈[-6，6]。（图2）

教师归纳：确定了定点之后我们常用待定系数法来求出函数解析式，待定系数方是一个常用的求函数解析式的方法。

教师：刚才D同学所在小组的画还有没有改进意见？

学生E：心的图象底部应该是尖的，而刚才画的二次函数图象底部是圆的。

教师：那么如何操作呢？

学生E：第四象限的图象有点像指数函数，可以把指数函数向下平移得到，然后第三象限可以使用绝对值变换画出一个偶

函数。

教师：很好！请具体说明一下怎么求出所需要的函数解析

式的；

学生E：先设定心性图象的底部顶点坐标是（0，-8），而指数函数的图象经过定点（0，1），所以第一步需要把指数函数图象向下平移9个单位，然后就可以设图像解析式为y=ax-9，由于图象还经过点（±6，0），代入后得到，然后后对函数进行加绝对值变换，得到函数解析式为y=-9，x∈[-6，6]。

教师演示图象（图3）；

6.[课堂学习小结]

教师小结：这节课大家总结一下我们学习了什么，你有什么收获？

（学生自主小结）

7.[课后作业布置]

（1）刚才同学们画的“心”形的图案还是有改进余地的，由于时间关系没有做得完美，课后请继续改进；

（2）根据课堂所学尝试画一个你自己喜欢的画。

八、启发与思考

在“互联网+”时代，现代信息技术的广泛应用正在对数学教学产生深刻影响。像Desmos这样的数学软件，能让学生很容易的建立简单图形与数学表达式之间的联系，体会图形与图形、图形与解析式的关系。另外，現在的中学生对手机的使用非常感兴趣，而且熟练程度比老师更高，鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题非常符合学生年龄特征，学生不仅仅在课堂上非常投入，课后学生仍然兴趣不减，他们画了很多图片并截屏给我，并表示可以画更复杂的图形。

不仅仅是学生学习兴趣的增加，我认为这节课更重要的收获是发现了学生学习方式的转变。

1.在“打怪升级”中不知不觉地提升自身的核心数学素养。游戏能吸引学生的主要原因是在不停的“打怪升级”中得到奖励，让游戏中得到心理上的满足，而我们传统课堂上奖励就比较少，而在这节课上学生在建模的过程中一边利用手机画画，一边感悟并理解数学与现实之间的关联，所画的作品每次进步一点点都能得到队友和老师的认可和表扬，这与手机中得到的奖励太类似了，学生的观察归纳、抽象思维及运算能力在一次次作品的改进中自然而然得到了提高。

2.学习流程的改变。从流程上讲，传统的学习任务流程是：

教师布置学习任务学生完成老师布置任务教师批改并讲评学生订正。这节课上学生的学习流程是以学生为主体自主完成，这个过程并不需要教师进行批改讲评，而是由学生自己对刚才画出的图象进行评价并提出改进方向，然后逐步改进，教师只是起到辅助的作用，学生在学习过程中体验了用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。

3.从参与上来讲，一般的数学解题过程是由学生独立完成的，而学生利用手机打网游往往是组队打的，手机上手之后这节课自然变成了团队合作，学生在解决实际问题的过程中，分工明确，有人提出函数模型，有人观察质疑，有人实施具体操作，有人负责计算，在互相合作完成任务过程中，促进了数学思维的发展，逐步形成程序化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

4.从封闭转向开放，一般的数学课堂学习总是以单一知识点为主的学习，比如说某一章节中某一小节的知识点学习，而这节课打破了这个特点，函数图象的选择由学生自主决定，涉及的知识点不限于课本上的某一节或某一章的内容，而且选用的这些知识点在不在同一章节，不同内容还必须要综合在一起应用才能完成任务，另外这节课还把数学与艺术结合在一起，也可以说是跨学科教学。

5.积累数学基本活动经验，本节课内容上虽然看起来是玩玩手机画画图，但本质是一节问题驱动下的研究性学习，老师在课堂上抛出了问题，既使用指定的工具及软件并利用所学的数学知识画出一些简单的图象，整个活动中教师只是起到引导作用，学生从数学的视角分析问题、构建函数模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题，在画画过程中主动用到了很多数学知识，而且自然而然地把这些数学知识综合在一起，比平时解题收获更大，在一次次的改进中，学生画出的图象越来越完美，也让他们心灵上得到了很大的成就感和满足感。我认为这个研究过程就是“积累数学基本活动经验”的过程。学生在小组合作交流讨论的过程中，加深了对函数相关知识的理解，同时独立思考、分析问题和解决问题能力都得到了进步。

最后，我想说高中阶段能让学生感受到数学之美的机会不多，现在学生能真真切切的感受到，“画画”让数学更美丽，更精彩！

作者简介：钱嵘，（1972.11—），男，汉族，上海市同济大学第二附属中学，籍贯：上海，本科，中学一级，研究方向：中学数学。

课题：函数图像演变画商标。

编辑 马晓荣