END随机变量阵列加权和完全收敛性

张 玉

(巢湖学院 数学与统计学院，安徽 合肥，238024)

概率极限理论最初研究时往往要限定随机变量是相互独立的，但实际应用中独立的条件太苛刻，无法满足现实的需要，进而概率论极限研究的学者们提出相依序列、混合序列的概念。最初研究的相依序列是负相协(negative association，NA)随机变量，后来学者们又提出负超可加相依（negatively superadditive dependent，NSD）随机变量、负象限相依（negatively orthant dependent，NOD）随机变量、正相协（positive association，PA）随机变量、推广的负象限相依(extended negatively dependent，END)随机变量，相依序列在金融数学、保险、可靠性理论中应用广泛。其中END随机变量包含独立随机变量、NOD随机变量、NA随机变量，本文主要讨论END随机变量阵列的收敛性质。

1 相关定义

随机变量序列{Xn,n≥1}称为是END的，如果任意有限个随机变量是END的；随机变量阵列{Xni,i≥1,n≥1}称为是END的，如果随机变量序列{Xn,n≥1}是END的。

完全收敛性是由Robbins和许宝禄[1]提出的。后来很多概率极限研究者对其进行了研究，邱德华等[2]利用END随机变量序列的Rademacher-Menshov型矩不等式获得了移动平均过程部分和最大值的完全收敛性。郭明乐等[3]研究了行为NA随机变量阵列加权和的完全收敛性的充分条件。邱德华[4]研究了NOD随机变量阵列加权乘积和的完全收敛性。郑璐璐等[5]研究了NSD随机变量加权和完全收敛性。白志东等[6]研究了独立和的完全收敛性。kuczmaszewska[7]研究了NA随机变量阵列的完全收敛性。吴群英等[8]研究了φ-混合序列的完全收敛性和强收敛性。杨善朝[9]研究了PA序列部分和的完全收敛性。邵启满[10]研究了ρ-混合序列的完全收敛性。Wang和Hu[11]研究了一类随机变量序列完全矩收敛性和完全收敛性的等价关系。本文借助END随机变量的截尾技术,利用Rosenthal型最大值不等式研究END随机变量序列较弱条件下的完全收敛性。这和[3]相比条件较弱，不需要过多的收敛条件，和[5]相比，是将利用随机变量的尾截技术证明混合序列完全收敛性的方法推广到相依随机变量序列。

2 引理

首先给出本文证明用到的引理：

引理1[2]如果随机变量(X1,X2,……,Xn)是END的，且g1,g2,……,gn都是非降函数，则(g1(X1)),g2(X2),……,gn(Xn)也是END变量。

3 主要结果

本文的主要结果如下：

证明根据(3)、(5)式，可得到：

记

根据集合之间的运算关系易知，对任意的ε＞0

所以

又由(6)式可得

根据引理1，引理2，Markov不等式，Cr不等式，(6)，(7)式得

根据定理1很容易得出推论结论。

证明此定理的证明和定理1的证明有相同之处，可以根据定理1的证明过程得出Ii＜∞。

下面只证明不同之处。

根据引理1，引理2，Markov不等式，Cr不等式，(6)，(7)以及(13)式得：

根据定理2很容易得出推论结论。

4 小结

文章通过对END随机变量阵列的收敛性质进行研究，采用Rosenthal型最大值不等式、随机变量尾截技术获得了较弱条件下END随机变量的完全收敛性，扩展了相依序列的收敛性质，这给统计学中参数回归模型、非参数回归模型等的研究提供有利的理论依据，具有一定的实际意义。