浅谈几种基本集合的本质

王宇卓

摘要：集合是数学中的一个基本概念，集合的思想是构成现代数学的莫基石。数学中的许多问题都涉及到集合，高中的数学里面所探讨的对象都能够视为集合，我们可以用集合的表达阐述数学概念，数学中的集合思想有助于我们解决许多问题。文章将简要介绍集合的概念、意义和本质并列举集合在几种数学问题中的应用。

关键词：集合;数学;本质

一、概念与意义

集合在数学中有着至关重要的地位，是数学这栋大厦的基石。所谓集合就是让一些具有独特特征的对象集合在一起。构成集合的独特对象就是元素。集合可以分为并集，交集，全集，差集。所谓并集就是将属于两个或多个不同的集合组合到一个集合里面，其实相同的元素不需要重复。交集就是将两个或多个不同集合里的相同元素整合到一个集合里面。全集就是集合里面包含所有的元素。差集就是将两个或多个不同的集合里面的不同元素整合到一个集合里面。集合具有确定、互异、无序的特点。

集合语言在数学语言中是非常基础的语言，在高中数学课本中，集合是我们学习的第一个的知识，并且集合贯穿着整个数学的学习，比如在整数集，负数集等、平面图片就是许多个点构成的集合，三维图片可以理解成二维图形的集合等。集合的符号也是我们需要掌握的基本符号，随着学习的逐渐深入，能够通过集合与元素的角度来看待图形和图形上的点的关系。在不等式的学习中，利用集合的概念有助于我们对点集的理解。站在集合的观点可帮助我们理解概率论中基本事件和样本间的关系，把控互斥事件和独立事件间的联系。

二、集合与应用

在高中数学中，任何一个板块都有用到集合的定义以及其思想的地方。函数就是许多个点的坐标的集合，数列就是许多元素的集合。在逻辑运算、不等式计算、排列组合、解析几何甚至是三维图形中都有集合的身影。

（一）在逻辑问题中采用集合思想。在某些逻辑问题中，题目中的条件对我们来讲是比较难看出，尤其是其中的充分性与必要性，假设我们采用集合的方法来解决问题，那么问题就能得到解决。例如我们举个采用集合的方法解决逻辑条件的例子：把使命题P、4为真的对象分别看成集合A、B，则有下列结论：（1）若B等于A，则p、q互为充要条件;（2）若A包含于B，则P是q的充分而非必要条件，q是P的必要而非充分条件;（3）若A不包含于B，则p、q互为既不充分也不必要条件。

（二）集合在排列组合中的运用。排列组合的本质问题就是求得符合题目要求的解所构成的集合里的所有元素的个数。因此，在排列组合的问题上能直接运用集合的思想，在排列组合中，容斥原理是一个典型的应用之一。所谓容斥原理就是先把满足某个条件的所有元素的数量先算出来，接着移除在计算过程中重复计算的元素的计算方法。

（三）集合在解析几何中的应用。在解析几何中，其探讨的对象是一维或者二维的图形，而这些一维或者二维的图形都能够视为点的集合，这种点的集合都是可以用不等式或者是二维坐标的方程。

（四）集合在立体几何中的应用立体几何就是三维图形，这些图形是符合一定条件的点集，若我们采用集合的思想來思考某些问题，有些问题就能迎刃而解。

三、集合的数学本质

一般来讲，数学的集合论由集合的基本概念和有序对集合函数两个部分。集合贯穿于数学的学习问题，是数学学习的奠基石。整个数学大部分的概念都可以用集合的表达方式来叙述，因此数学能够在集合上构成一个独立的科学系统。事实上根据集合和有序对集合之间的关系就能够发现整个数学系统的构成搭建过程。

第一我们要明确集合这部分内容是数字化的过程：对象（集合）、运算（集合运算）、运算律（集合恒等式）、演算、应用（计数、证明恒等式、实际应用等）。此处在标准型上少了一部分，事实上集合的计算过程是能够有标准型的，只不过此处的标准型比不上逻辑计算的范式重要而已。根据集合的内容和结构能够了解集合与命题逻辑在内容上有着非常多相似的地方。

因为定义了集合这个基本语言，就能够定义了含有有序对集合的语言，然后就是对关系的计算和他们计算的性质，这些都是进行代数处理的办法，接着是对等价关系、偏序关系以及函数的理解。等价关系即集合上的一种特殊的二元关系，并且分类是等价关系的意义所在，这不仅是数学最基本的思想方法之一，也是挖掘数据中经常碰到的工作，与等价关系不同的是，“排序”才是偏序关系的意义所在，这也是计算机科学中经常研究的对象。

将函数赋予定义之后，就能对分析学展开研究。当使用函数将二元计算进行定义之后，就能铺好代数学的基石。这样分析学、代数学就都涵盖进来了，于是整个数学系统的框架就差不多构建完成了。

集合涵盖在集合论之中，集合论是数学基础与根本。整个数学体系中，从基本的集合到各种关系、再到函数与计算，这些都是组成整个数学系统的基础部分，同时也是集合的本质所在。

四、结语

贯穿于高中数学的学习中，每一个数学思想都值得我们认真学习，比如集合思想，函数与方程结合的思想，数形结合的思想等等，其中集合思想是最基本的思想方法，集合思想为数和形的内在联系搭起了桥梁。文章从不同方面剖析集合问题，旨在经过学习，就能让我们了解、熟练代数的核心所在。

参考文献

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