某“解题APP”上的一个错解探究

叶张铭

【编者按】秉承“常态阅读，深度思考，精致表达，共同发展”的理念，为推动数学写作活动的深入开展，展现学生的学习成果，鼓励学生深入思考、探究创新、合理表达，“数学写作”学校联盟开展了第二届“数学写作”学校联盟中学生数学寫作竞赛活动，并取得圆满成功。

这次数学写作活动得到了多所学校的支持，其中涌现出许多优秀的作品。这些作品有的是对所读的文章或图书的深度思考，有的是对课堂内容在现实生活中的拓展和应用，有的是自己做一道题或一类题的感悟，有的是在使用数学工具的过程中的大发现，有的是数学相声、数学诗歌……真是让人大开眼界，以下择取其中的一些文章与读者共享。

国庆长假在家里，我想利用这个时间写一篇数学小论文，通过QQ向老师求助，请他推荐几道题.老师给我发来了在某个解题APP上的题（下图，其中Z为整数集）.并且说，这个解答是错的，让我研究一下.

一、为什么是错的？

二、究竟错在哪里？

我按照这个解法，自己又重新计算了一遍，发现这个答案存在计算性错误.事实上，

三、发现新的错误

当我欣喜地把这个结论告诉老师时，老师让我再用k=-3检验一下.按我上面的答案，此时也应该有（A∩B）∩Z={2}.但检验的结果却出人意料：当k=-3时，B={x|2x²-5x-9<0}，不仅2∈B∩A，而且3∈B∩A，故3∈（A∩B）∩Z.原来，上面这个答案还是错的！

这说明，这个解答不但存在计算性错误，而且在解题逻辑上存在严重错误，这道题不能这么解！

四、干脆暴力破解

那么这道题到底该怎么解呢？找不到很好的办法，我干脆用暴力破解，把集合B中的不等式解出来为：

由题意，我们有：

五、再次研究错解

经过了一番“暗无天日”的演算（经历过才能体会！为了节省篇幅，上面我把这个演算过程省略了），终于得出了结论.我如释重负地把这个解答发给老师，得到了老师的肯定——这是对的，然后义说，“还有更简便的解法，你现在再回过头去分析一下最初的那个错解，看会不会有新的启发.”

带着一丝惊讶，我重新回头认真研究了这个解，果然有了一些新的想法.为方便叙述，我们记f（x）=2x²+（2k+1）x+3k，那么，最初APP上的解答方法，就是把已知条件转化为以下一个不等式组：

仔细思考后发现，其实这是不够的.通过对二次函数的图象分析，我们可以看出，它只能保证二次函数f（x）图象与x轴的交点分布于x=2的两边，不能保证题设条件成立（如图1）.

能不能在这个不等式组中再添加一些不等式，使得它与题设条件等价呢？分析上面的暴力破解，我们发现，原题设等价于二次方程f（x）=0的两根分布满足：2≤x₁<22≤3.也就是说二次函数的图象应如图2所示，

六、获得完美解法

七、发现新的规律

我们发现，以上完美解法中，根本没有考虑判别式！这是为什么呢？我们从第二节的计算过程中也发现，判别式得出的范围②，在取交集后并没有起到作用，最后答案与①一致.这是不是有什么规律呢？什么时候不需要考虑判别式呢？

通过研究，我们发现这样一个规律：“开口向上的二次函数，若存在一个函数值为负数，则判别式大于零”.这是显然的，因为如果存在一个函数值为负数，就说明二次曲线有一段在x轴的下方.义由于它的开口向上，所以与x轴必有两个交点，判别式一定大于零.

因此，在以上解答中，有了f（2）<0，判别式就一定大于零，就不再需要考虑判别式了.

八、体会

（l）解题APP的答案仅供参考，我们不能迷信，自己至少应该再算一遍.

（2）不能让解题APP禁锢了你的大脑，它不转动，会生锈的.

（3）解出一道题，不一定说明我们已经把它弄透了.要真正弄透一道题，不妨对它颠三倒四地来回折腾一翻.

（4）学数学，白己认真动手做是非常重要的，同时，也要重视与高手交流，可以少走弯路.同学、老师都行.

【指导老师点评】

学生论文主要是一个学习过程，这篇文章完整地记录了对一道错题的探究过程，是一个很好的探究性学习案例.我们可以通过这篇论文看到，作者在这个过程中，无论在对这类题型的理解上、计算能力的训练上，还是学习方法的感悟上，都有令人欣慰的发展.私以为，这才是数学写作的根本价值所在.