定理奠基，数形并举

李净

大数学家拉格朗日说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄.但当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸收新鲜的活力，从而以快捷的步伐走向完美.”平面向量融数、形于一身，有着代数形式与几何形式的“双重身份”.作为代数的对象，向量可以进行运算;作为几何的对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何量.其中，向量的数量积作为连接向量与实数之间的桥梁，几乎可以解决几何中所有的度量问题，如长度（模）、夹角、垂直等，在向量学习中有着极其重要的作用.

一、基底为“根”，根深叶茂

所谓基底法，是指解决向量问题时，首先选取两个模长和夹角已知（或易求）的向量作为基底，再利用平面向量的加、减运算和平面向量基本定理，将待求的向量用基底来表示.在表示向量时，要充分利用同一顶点出发的基本向量或首尾连接的向量，运用线性运算法则及数乘运算来求解，另外还要充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

评注

平面向量的基本定理是整个向量知识体系的理论基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.因此，在本题中，在确定了基底后，可以求任意两个向量的数量积.这正如根基一定，树干和树枝便可以自由生长，而枝干的营养皆来自根基.基底法策略体现了“化归与转化”的数学思想.

二、坐标为“器”，化繁为简

所谓坐标法，是指解决向量问题时，通过合理地建立平面直角坐标系，将问题中的点和向量用坐标表示，将原本复杂的图形特征和向量关系转化为较为简单的坐标关系（坐标法亦可视为选择单位正交向量为基底的基底法），从而将向量问题转化为代数运算，从而降低问题的难度，这正是处理平面向量数量积问题的算法化思想.坐标法的难点主要在于如何建系、如何表示坐标.一般地，几何图形的图形特征（定比分点、对称性、直角特征等）和向量线性运算的几何意义都是建系时需要考虑的因素.

评注

在引入向量的坐标表示后，可以有效地将向量之间的运算代数化，这样就可以将“数”“形”紧密地结合在一起，将向量运算完全代数化，可使许多几何问题转化为同学们熟悉的有明确关系的数量运算.坐标法体现了化归与转化、函数与方程的数学思想.

三、几何为“核”，巧解妙算

所谓几何法，是指解决向量问题时，把已知条件和所求结论在图形中表示出来（往往结合其几何意义），借助图形思考、解决问题，根据数量积的几何意义，a-b的几何意义是a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.此法在求解向量数量积的大小或最值时，常常可以起到四两拨千斤的作用.使得问题大大简化.

例3

如图4是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所圖4所示，则AB.CD的最大值为

解析

如图4，将蜂巢结构图上各点向直线AB做投影，可以发现当选取图中CD时，数量积AB·CD可以取得最大值.

由于蜂巢结构图具有对称性，可以选择建立如图5所示的平面直角坐标系，得到C，D两点坐标，即可求得AB.CD的最大值为24.

评注

向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.图形化策略体现了化归与转化以及数形结合的数学思想.

四、多管齐下，融会贯通

上面提到的三种解法，各有优势，需要我们根据题目特征合理选择，有时还可能会综合利用多种方法.

评注

此题的解法很多，可以利用基底法，将所求向量进行分解，转化为数量积问题求得最值;也可以将几何法和坐标法相结合，还可以先利用坐标法，求出M的轨迹，结合几何图形求解（如上所示）.除此以外，例1、例2、例3也可以使用其他方法来解决，同学们可以白行尝试.

通过上面的研究，我们可以发现，解决向量数量积问题的一般方法有：

（l）基底法——利用平面向量基本定理把题中所有向量用基底表示，用向量的数量积公式（基底一般选择长度已知、夹角已知的向量）;

（2）坐标法——写出所有点的坐标，代人数量积的坐标公式求解，图形为矩形、直角三角形、等腰三角形、圆等优先考虑建系;

（3）几何法——利用向量线性运算、向量数量积的几何意义，构建合适的几何图形，将问题转化为平面几何问题求解，

解决向量数量积问题的几种方法均源于向量的本质特征，各具特色、各有利弊，它们既可以独当一面，还可以综合使用，互为补充，相得益彰.