基底法VS坐标法

金玉明

所有的平面向量运算最终都有两个切人点：选择两个不共线平面向量作为基底，平面向量所有问题转化为这两个基底向量，进而解决问题;建立平面直角坐标系，将平面向量转化为坐标解决问题.

从知识的发生发展来看，先有平面向量基本定理，后有平面向量的坐标表示.但是从研究问题的直观性来看，平面向量坐标运算更为直观，更容易理解.在很多问题中基底法和坐标法都能够解决问题，有着共生互补的关系.下面笔者就几个实例探讨平面向量问题的解决方法，并希望为读者提供一些解决平面向量问题的基本切入点，寻找最合适的方法解决平面向量问题，

一、基底法

例1 如图1，在四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且ED=5AE，FC=5BF，若向量AB与DC的夹角为60°，则AB·EF的值为___。

分析 从问题给定的条件看，已知向量AB与DC的模长与夹角，可取向量AB与DC作为平面向量一组基底，表示平面内所有向量，再利用向量数量积公式就可以解决问题.根据向量的加法，EF=ED+DC+CF=5/6AD+DC+5/6CB=5/6（AD+CB）+DC.又AD+DC+BA=0，所以AD+CB=AB-DC，所以EF=5/6AB+6/1DC，所以根据数量积的计算公式即可求出AB，EF.本题考查向量的加法运算、共线向量基本定理、向量数量积的计算公式，

解 如图1，根据已知条件及共线向量基本定理得：

EF=D+DC+CF

=5/6AD+DC+5/6CB

=5/6（ADDC）+DC，因为AD+DC+CB+BA=0，故AD+CB=AB-DC，则EF=5/6（AB-DC）+DC

=5/6AB+1/6DC，所以AB·EF=AB·（5/6AB+1/6DC）

=5/6AB²+1/6AB·DC

=15/2+1/2=8.

本题由于题目图形的不规则性，建立平面直角坐标系是不合适的，所以采用基底法解决，

二、坐标法

分析 由于本题的图形是矩形，在解决问题之初，想到应当选用坐标法来解决问题更为直观，故以A为坐标原点，AB为χ轴建立平面直角坐标系，设矩形的长宽分别为2a，2b，得到A，B，C，M，N的坐标，利用向量相等得到关于λ，u的方程组解之，本题考查了平面向量基本定理的运用，利用坐标法使得计算简便，考查了推理能力与计算能力.

解 以A为坐标原点，AB为χ轴建立平面直角坐标系，设矩形的长宽分别为2a，2b，得到A（0，0），B（2a，0），C（2a，2b），M（2a，b），N（a，2b）.

所以AC=（2a，2b），AM=（2a，b），BN=（-a，2b），

本题由于图形为矩形，建立平面直角坐标系更为直观，解决问题更为方便，所以采用坐标法解决.

三、基底法VS坐标法

分析 方法一：基底法，用三角形各邊向量表示出BE，CF，再计算BE.CF.本题考查了平面向量的数量积运算.

方法二：坐标法，以BC为x轴，B为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，再计算BE.CF.

本题由于图形的特殊性，所以基底法、坐标法都可以顺利解决.

通过上述三个例子我们不难发现，在解决平面向量相关问题时，我们的解题切人点主要有两个：选择平面向量的一组基底解决问题;建立平面直角坐标系用坐标法来解决问题.

在学习平面向量时读者应当会有这样的感觉：从向量的概念、表示方式，到线性运算、平面向量共线定理，再到平面向量基本定理，感觉这些内容好像是浮在空中，始终难以抓住，而自从有了坐标表示，一下子就感觉找到了平面向量的一个抓手，所有问题都变成以前熟悉的题目了，感觉终于落地了.这就是由抽象的平面向量问题变成了直观的坐标运算，

正因为如此，遇到平面向量问题，我们一般可优先考虑用坐标法解决，确实无法建立平面直角坐标系，则考虑选择一组基底向量来解决问题.而基底向量的选择依据，主要是看哪些向量有模和夹角的相关条件.

下面是一个高考题实例，从问题的探究中，我们可以再深人体会解决平面向量问题时，基底法和坐标法这两个切入点的重要价值.

例4 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，

所谓不忘初心，方得始终.研究问题一定要把握问题的切人点，从知识的发生发展过程中寻找知识的形成过程，寻找研究知识的方法，提高自己的关键能力，从而在变化多端的问题中找准方向，有的放矢.快速、准确地解决问题.