优化《三角形内角和定理的证明》教学设计

刘国锋 蒋晓云 杨起群 邝佰燕

【摘要】本文以《三角形内角和定理的证明》一课为例，针对学生课后没有真正理解逻辑规则的思维方式、背后的数学思想和数学证明本质的现状，论述优化教学设计的途径，提出通过“三段论”推理规则引导学生对证明过程进行分段分析的教学建议，以期提高学生分析证明、有序书写的能力，进而逐步形成严密的逻辑思维。

【关键词】《三角形内角和定理的证明》 三段论 演绎推理 数学证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）01A-0032-04

在以“基于核心素养培养的初中数学课例研究”为主题的教学研讨和展示平台“宝贤课堂”上，刘国峰老师展示了《三角形内角和定理的证明》一课。本课中“定理证明”的教学片段引导学生分析已知，让学生在“拼一拼”中找到证明的思路，了解演绎推理规则中最常用、最重要的“三段论”，加深学生对逻辑推理的理解，提高逻辑推理能力。证明的过程应体现严格的逻辑推理论证，事实上学生这方面做得还不够，往往是叙述性证明。通过课后访谈，我们发现学生并没有真正理解逻辑规则的思维方式、背后的数学思想和数学证明的本质。于是我们在课后对学生进行问卷调查和访谈的基础上，对这个教学片段进行了反思，优化了教学设计，刘国锋老师指导漓江学院的实习教师邝佰燕重新演绎了这一节课，取得了较好的效果。

一、“原行为”，真实录

师：让我们一起来思考“如何用我们所学过的知识来证明‘任意三角形的内角和为180°”。首先用语言表述出来。

（学生回答，教师板书——已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°）

师：分析已知和求证之间的关联，联系我们已经学过的知识，有哪些可能用得上，大胆猜想和尝试。大家不难想到我们熟悉的“平行线的性质”，结合之前的同学到讲台拼的两个拼图，得到一些启发（见图1）。

（经过教师的引导，学生把图1中的两个图形抽象出来得到了两种画辅助线的方法，见图2）

师：用数学符号语言将推理过程写出来如下。

证明：（如图3）延长BC到D，过点C作CE∥AB

∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）

∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）

∵∠BCA+∠1+∠2=180°（平角的定义）

∴∠BCA+∠A+∠B=180°（等量代换）

师：同学们，大家看得懂我写的这个推理过程吗？

生（齐声）：看得懂。

师：这个推理过程其实隐含着逻辑推理的一种重要规则，这种规则是中学数学最常用的推理方法，叫三段论。三段论必定包含大前提、小前提和结论三部分，以上面的证明过程为例，“两直线平行，内错角相等”是大前提，“CE∥AB，∠1和∠A是内错角”是小前提，“∠1=∠A”是结论。但是，在书写几何逻辑推理过程时，为了简洁明了，我们通常把“大前提”以理由（备注）形式写在“结论”的后面。所以才有了上面简洁的推理过程。

二、“微调查”，寻症结

《义务教育数学课程标准》（2011年版）对核心素养“推理能力”作了如下要求（见下表）。它将《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）提出的“发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”的要求删去“初步”二字，提高了对“演绎推理能力”的要求，又因为“逻辑推理”被列为六大数学核心素养之一，因此，初中阶段培养“推理能力”的核心目标是培养学生的演绎推理能力。

“推理能力”课程目标学段分布表

本课中的“数学证明”教学片段，引导学生分析已知，让学生在“拼一拼”中找到证明的思路，体会通过合情推理探索数学结论、运用演绎推理加以证明的过程。同时也让学生了解演绎推理规则中最常用、最重要的“三段论”，加深学生对逻辑推理的理解，提高学生的逻辑推理能力。

课后，我们及时开展现场限时问卷调查，调查对象为课堂上的八年级学生，问卷内容如下。

问题1：推理过程“因为一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以2007不能被2整除”是必然推理（或有效推理，即前提為真时就能确保结论一定为真）吗？它与课堂上推理过程（如图3）“延长BC到D，过点C作CE∥AB，∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）”的推理形式（或者“规则”）相同吗？为什么？

问题2：亚里士多德所创立的古典逻辑体系的主要内容是三段论，最经典、最著名、最标准的“三段论”推理案例如下。

大前提：所有的人都会死，

小前提：苏格拉底是人，

结论：苏格拉底也会死。

问：（1）说一说，上述推理案例是必然推理（或有效推理）吗？

（2）课堂上的推理过程“延长BC到D，过点C作CE∥AB，∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）”是“三段论”的推理形式，请写出亚里士多德式的“三段论”推理格式。

问题3：如图4，已知△ABC，过A作辅助线AD∥BC，

求证：∠A+∠B+∠C=180°

请写出完整的证明过程。

问题4：如图5，已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，

∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠CDF，

求证：（1）∠ABE+∠CDF=90°;

（2）BE∥DF.

问题1学生做题的正确率为28%，问题2学生做题的正确率为16%，说明学生并没有真正理解“三段论”的逻辑规则的表达形式、正确有效性、思维方式和数学思想。问题3学生做题的正确率达到86%，说明学生能模仿教师的写书过程，甚至能举一反三，学生对模仿书写证明过程掌握得较好。问题4学生做题的正确率为68%，说明学生是会做这道题的，按平时考试的评分标准，得分率还是比较高的，但是逻辑结构和书写步骤混乱，说明多数学生未能把握证明题的条理性和规范性。

数学证明就是由已知（前提），通过有效推理，得出有效的结论。因此，数学证明的教学核心是教学生演绎规则（有效推理规则）。本课的重点就是用“三段论”的演绎推理规则来证明“三角形内角和定理”，它属于逻辑思维中最“烧脑”的一环，对部分初中生而言，这部分知识又是学习中的难点。

三、循“规则”，明道理

初中阶段培养“推理能力”的核心目标是培养学生演绎推理能力。《义务教育数学课程标准》（2011年版）对演绎推理定义如下：“演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。”推理是逻辑思维的基本形式之一：由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程——设A1，A2，……，Ak是几个已知的判断（前提），判断B（结论）。当A1，A2，……Ak都为真时，B也为真，则称由前提A1，A2，……，Ak推B的推理有效或推理正确，并称B是有效的结论。

演绎推理有三段论、假言推理、选言推理、关系推理等形式。小学二年级数学《推理》一课就教给学生“选言推理”，这是一个有效的逻辑推理规则。初中数学教师应该明明白白告诉学生亚里士多德所创立的古典逻辑体系的最重要“三段论”规则是必然推理。据此，我们优化了“证明过程的分析与表述”片段的教学设计。

（一）学生在生活情境和已有知识中感悟“三段论”

亚里士多德所创立的古典逻辑体系中的最重要的“三段论”推理规则，是人类最基本的逻辑推理方法。教师首先带领学生看一些最典型、最标准的“三段论”推理案例。

案例一 大前提：所有的人都会死;

小前提：苏格拉底是人;

结 论：苏格拉底会死。

案例二 大前提：所有的金属都能导电;

小前提：铜是一种金属;

结 论：铜能导电。

案例三 大前提：一切奇数都不能被2整除;

小前提：2007是奇数;

结 论：2007不能被2整除。

案例四 大前提：所有个位上是0的整数都是5的倍数;

小前提：1050个位上的数是0;

结 论：1050是5的倍数。

随后，教师为学生讲解三段论的相关知识。三段论是演绎推理的一般模式，它包含大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断。三段论蕴含着“从一般到特殊”的推理思想。事物有共性，必然蕴藏着个别，所以“一般”中必然能够推演出“个别”。因此，若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确。而三段论推演出来的结论是否正确，取决于大前提和小前提是否正确、是否合乎三段论逻辑规则。

（二）划分逻辑推理段，循规、守则、明理

[已知：△ABC（如右图）.

求证：∠A+∠B+∠C=180°.

证明：如图6，过点A作直线l，使l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）.

同理 ∠3=∠5.

∵∠1，∠4，∠5组成平角，

∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）.

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.

以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：

教师出示课本上的证明过程（如图6）并引导学生，教学片段如下。

师：证明过程是由若干个推理组成的，每个推理过程，我们将它看成“一段”，下面我们将课本上的证明过程划分为四个逻辑推理段进行分析。

1.第一段推出结论：∠2=∠4

（大前提：任意两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;小前提：l∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角;结论：∠2=∠4）

师：从思维过程来看，任何三段论都必须包含大、小前提和结论，缺一不可。但是，在具体的语言表述中，無论是口头表述还是书写证明过程，为了简洁明了，我们常常把三段论中的某些部分省去不说，或是大前提，或是小前提。我们从图中可以得出小前提是“l∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角”，把“大前提”以备注形式写在“结论”的后面，于是才有了课本上的简洁的表述，你看懂了吗？

2.第二段推出结论：∠3=∠5

师：第二段推理得出的结论是“∠3=∠5”，请同学们自己写出亚里士多德式的“三段论”推理格式，并简化。

3.第三段推出结论：∠1+∠4+∠5=180°

（大前提：所有的平角都是180°;小前提：∠1，∠4，∠5组成的“和角”是平角;结论：∠1+∠4+∠5=180°）

师：第三段推理的简洁表达如图所示，∵∠1，∠4，∠5组成平角。∴∠1+∠4+∠5=180°（平角的定义）。

4.第四段推出结论：∠1+∠2+∠3=180°

[大前提：所有的等式，它里面的数（量）用相等的数（量）来代替，它仍为等式（等量代换）;小前提：∠1+∠4+∠5=180°，∠2=∠4，∠3=∠5;结论：∠1+∠2+∠3=180°]

师：第四段推理得出的结论是∠1+∠2+∠3=180°，简洁表达为∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）。

师：把这四个逻辑推理片段整合写在一起就是课本上的证明过程，同学们读懂了吗？下面同学们自己写出用另一种添辅助线的方法证明这一结论的过程。

师：证明思路明确以后，证明是否正确，就看每一个逻辑推理过程是否为“有效推理”（或演绎推理）。请同学们采取“逐段分析推理过程”的方法，看看你的证明是否正确。

（三）学会书写证明并自我分段诊断

[教师再次出示问题四并将其作为练习，“四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线。求证：（1）∠1+∠2=90°;（2）BE∥DF”，学生自主解答、教师巡堂，随后教师进行讲解]

师：我们来看看这名同学证明第（1）问的过程（展示图7）。他的证明过程中没写理由，我们仍用逐段分析推理的方法帮他分析诊断一下。

师：上面的第①②句作为一个逻辑推理段，怎样表达？

生1：大前提——角平分线将角平分为两个相等的角（角平分线的定义），小前提——BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线（已知），结论——∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC。

生2：简洁表达是，∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线（已知），∴∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC（角平分线的定义）

生3：第④句作為一个逻辑推理段的结论，明显使用了四边形内角和公式。大前提——所有四边形内角和为360°（公式），小前提——图形ABCD是四边形（已知），结论——∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，简洁表达是，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°（四边形内角和公式）。

师：同学们说得非常好！完整的证明过程应该是这样的（出示图8）。

（四）课后小结

教师在课堂的最后带领学生进行课堂小结，总结处理几何证明题目的关键步骤如下。

（1）分析“已知”和“求证”，两边推进，寻找思路;

（2）罗列证明中关键的逻辑节点，思考以哪些已有的事实 （包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）为前提，用什么样的演绎推理规则;

（3）复查推理过程：前提是否真确，是否合乎演绎的逻辑规则，书写时做到理由充分、简洁表达。

研究者事后对学生进行了访谈，结果表明：新的教学设计对提高学生的分析证明、自我诊断证明过程、快速地从别人的证明中识别出无效推理、分段组合及有序书写证明过程的能力有明显的帮助。

作者简介：

刘国锋（1981— ），男，汉族，广西博白人，中学一级教师，2006年至今在广西师范大学附属中学宝贤中学担任班主任和数学教学工作，教学成绩突出，研究方向：中学数学教育。

蒋晓云（1963— ），男，汉族，广西全州人，桂林师范高等专科学校教授，理学学士，研究方向：数学教育和基础教育。

杨起群（1970— ），女，汉族，湖南双峰人，桂林师范高等专科学校教授，理学学士，研究方向：数学教育和教育管理。

邝佰燕（1997— ），女，汉族，广西钦州人，广西师范大学漓江学院数学与应用数学专业学生。