王慧玲
江汉油田广华中学 湖北潜江 433124
在立体几何中有一个问题:“3个相互平行的平面可将空间分成几部分?”答案是“4个部分。”接着提出:“3个平面可将空间分成几部分?”的问题,由于去掉了“相互平行”的条件,这个问题必须分类讨论回答:
1.当3个平面相互平行时,分空间为4个部分;
2.当有且仅有两个平面平行时,分空间为6个部分;
3.当3个平面两两相交于一条直线时,分空间为6个部分;
4.当3个平面两两相交,3条交线不交于同一点时,分空间为7个部分;
5.当3个平面两两相交,3条交线交于一点时,分空间为8个部分。
于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论。在这一背景下,提出了值得深入研究的新课题:“4个平面最多可将空间分为多少部分?n个平面又将空间最多分成多少部分?”
首先应明确,当这n个平面满足以下条件时,所分割的部分数是最多的。
1.这n个平面两两相交;
2.没有三个以上的平面交于一点;
3.这n个平面的交线任两条都不平行。
对于一般情况一下子不易考虑,我们不妨试着从简单的,特殊的情况入手来寻找规律。设n个平面分空间的部分数为an,易知:
当n=1时,a1=2;
当n=2时,a2=4;
当n=3时,a3=8;
当n=4时,情况有些复杂,我们以一个四面体为模型来观察,三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交,且交线互不平行,每3个平面相交于一点,4个交点就是三棱锥的4个顶点。每个顶点各自“对着”一部分空间,4个顶点,6条棱,4个面“对着”14个部分空间,但4个面中间围了一部分空间,所以4个平面最多可将空间分成15个部分。可知a4=15。
从以上几种情况,很难找出一个一般性的规律,而且当n的值继续增大时,情况更复杂,看来这样不行。那么,我们把问题再进一步简单化,将空间问题退化到平面问题,三维退化到二维,二维退化到一维。
记n个点最多可将一条直线分成部分数为cn,易知,且每增加一个点,会把原有的线段(射线)中的某一个线段(射线)一分为二,即
假设这n条直线中,任两条不平行,任三条不交于同一点,设n条直线最多可将平面分割成 个部分,那么:
当n=k时,设k条直线将平面分成了bk个部分,接着当添加上第k+1条直线时,这条直线与前k条直线相交有k个交点,这k个交点将第k+1条直线分割成k+1段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了k+1个区域,故得递推关系
显然当k=1时, ,当k=1,2,……n-1时,我们得到个式子:
我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手,确定bk与bk+1的递推关系,最后得出结论。接下来我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题。
设k个平面将空间分割成ak个部分,再添加上第k+1个平面,这个平面与前k个平面相交有k条交线,这k条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成bk个部分。
而这个bk部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以,添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了bk个部分。由此的递推关系
当k=1,2,3……n-1时,我们得到如下n-1个关系式: