对高中函数模块教学中问题解决的探究

□叶燕忠

（杭州学军中学，浙江杭州 310012）

目前的高中数学教学存在概念处理简单、解题过于单一、信息聚散力弱等问题.本文拟通过对高中函数模块教学中问题解决的探究，让学生体验数学知识的形成过程，探求问题解决的切入点，深耕数学对象的内在本质.

一、重数学概念的理解——体验知识的形成过程

数学玩的是概念与思维.任意角、古典概型、平面、向量等概念，相对别的概念来说内容较为简单，但却是各数学分支的初始性概念和发展的基石.教学不能只停留在传授语言文字层面的结论性知识，而应把知识作为探究的对象，让学生体会、掌握其背后所蕴含的数学思想方法和思维方法，充分挖掘和利用知识的思维训练价值，引导学生对知识从“工具性理解”走向“关系性理解”，最后到“创新性理解”.

【案例1】人教A版高中数学必修4《任意角》第一课时教学时，关于正角、负角的引出这一简单知识点，教师往往会直接告知学生正负角是约定俗成的东西，规定：按逆时针方向旋转所成的角为正角，按顺时针方向旋转所成的角为负角.

那么是否应该追问：这个约定俗成是基于什么？为什么规定逆时针为正？

学生：比如水龙头的开关方向，逆时针是打开，顺时针是关闭；比如在操场上跑步是按逆时针方向的……

继续追问：这些都是人为的，不是浑然天成的.你能举出别的例子吗？

学生：地理上，北半球中的一些自然现象，比如水的旋涡和台风中心都是逆时针方向的涡旋形（见图1、图2）.

学生：天体运动的方向是逆时针等.

追问：你还能举出什么例子？

学生：人旋转一圈，多数是逆时针旋转的.

图1

图2

从而发现正负角的规定是符合自然规律和人的本能的，让学生感受到这个规定不是随性而为的，是有充足理由的.探究正负角名称的来历，可以使课堂精彩纷呈，让学生回味无穷，从而实现学生对正负角规定的理解从“工具性理解”走向“关系性理解”.

【案例2】《幂函数》教学中，对于幂函数的定义：形如y=xα(α为常数,α∈ R)的函数，往往与指数函数一对比后，确定函数的结构特征后，就开始研究五个常考的幂函数的图象和性质，对教材上补充的一般只研究α∈Q这一条件，仅限于对有理数指数引起不同的图象特征的幂函数进行研究.

笔者在教学此课时，运用几何画板演示幂函数的各种图象特征，设计两种作图方法，在演示的过程中，学生发现这样一个问题：

作法1：幂函数

其中p,q的数值通过键盘输入，每组数据都能得到对应的完整的函数图象（如图 3、图4、图5）.

图3

图4

图5

作法2：幂函数f(x)=xα，其中α的数值通过x轴上构造的任意点A的横坐标提供，在点A运动变化过程中，得到的函数的图象始终在第一象限（部分含原点）（如图6）.

图6

探究1：为什么作法2的图象会有丢失？

探究2：是否尝试探究一下指数是无理数的幂函数的图象？考虑特殊的情形

可猜测f(x)=xα可看成指数α是有理数收敛于该无理数对应的函数，所以根据上述特例猜想其定义域为或所以用作法2获得的幂函数的图象只出现在第一象限（或含原点）.

追问：那么当指数α是有理数时的部分图象去哪了？

学生：被无理数给吞没了.

所以我们在研究幂函数时指数的取值要剥离无理数，只研究有理数.

通过充分挖掘简单细节展开探究，可引导学生对知识的理解从“工具性理解”走向“关系性理解”，最后到“创新性理解”.

二、重数学对象的确定——探究问题解决的切入点

有些数学问题很明显能获得这样的信息：只需要把题设中信息的研究清楚就可以解决问题，其中确定数学对象为解题的关键，主要有三个确定的背景：函数、方程、不等式，其中方程、不等式进行适当的等价变换后可以构造一个函数或两个函数，立足于构造的函数解决问题.但是函数的选择是否适切关系到能否顺利、快速、精准地解决问题.因此下面的案例从三种不同的数学对象选择入手进行剖析，获得一题多解的解题方向.

【案例3】（2018年全国高考II卷第21题）已知函数f(x)=ex-ax2.

（1）若a=1，证明：当x≥ 0时，f(x)≥ 1；

（2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a.

此题主要考查学生的运算能力、直观想象、数学建模等核心素养，运用分类讨论、数形结合、函数与方程的数学思想方法来解决问题.

以下是第一小问解题思路.

思路1：第一步确立待研究的数学对象为：f(x)=ex-x2(x≥ 0)；

第二步求函数f(x)=ex-x2(x≥0)的最小值为1.一般情况下，求一个函数的最值，需要判断函数的图象特征，从而确定最值点的位置.导数这一工具可以作出函数的大致图象，从而求出最值.

第三步得出结论成立.

思路2：欲证f(x)=ex-x2≥ 1(x≥0)，只需证ex-x2-1≥0，所以可确定待研究的数学对象为g(x)=ex-x2-1(x≥0)，并运用导数工具求其最小值为0，具体步骤同思路1的求解步骤.

但思路1、思路2运用导数求解，需要求两次导，才能探究出函数的图象，对学生来说有一定的难度.所以可以考虑另外探寻新的解法.

思路 3：欲证 ex-x2≥1(x≥0)，只需证ex-x2-1≥0(x≥0)，即证ex≥x2+1(x≥0)，

思路5：根据题意，只要证明ex≥x2+1(x≥0)成立，我们把这个不等式看成两个函数图象的上下位置关系，即确定函数y=ex(x≥0)的图象在y=x2+1(x≥0)的图象的上方.以两个函数y=ex(x≥0)和y=x2+1(x≥0)作为研究对象，以形助数来直观想象抽象的不等关系.只是此类方法，写法步骤表述上相对不够严谨，适合在选择、填空题中运用.

以下是第二小问解题思路.

思路1：已知函数只有一个零点，所以可以去探究函数的图象，结合图象确定只有一个零点的图象特征，然后转化为含有a代数关系式解决问题.因此可以确定研究的数学对象为f(x)=ex-ax2(x＞0)，运用导数工具分类讨论此函数的性质与图象，过程相对比较烦琐，运算能力要求较高，图象的变化趋势也需考虑周全，才能解答完整，此解法能力要求高，属于难题.但可以结合函数本身的数的特征把a的研究范围缩小到( )0,+∞.

思路2：函数只有一个零点可以转化为关于x的方程ex-ax2=0(x＞0)只有一个实数解，转化为y=ex(x＞ 0)和y=ax2(x＞ 0)只有一个交点，数形结合，如图7所示可观察发现当两个函数在第一象限相切时，为极端情形，此时的a即为所求，从而解决问题.但是此时两个函数的图象都是曲线，作图判断易产生偏差.

图7

图8

图9

思路3：我们在思路2的基础上进行改造，改造成一直一曲的两个函数来求解，即转化为两个待研究的数学对象y=和y=ax(x＞0)只有一个交点的问题.如图8，可观察到两个函数在第一象限相切时是极端情形，此时的a即为所求，从而解决问题.

如图9，可观察到两个函数在第一象限相切时是极端情形，此时的a即为所求，从而解决问题.

三、重数学信息的聚散——深耕数学对象的内在本质

解答数学问题最关键的一个环节是在理解题意的前提下，从中获取尽可能多的信息，同时获取一些隐含的信息，因为每一条信息都具有唯一性，将这些信息聚合在一起鉴别后进行后处理，比较问题解决所需要的信息和后处理的信息是否一致，从而鉴别是否能解决问题.解决问题后，是否能把后获得的新信息进行发散联系，探究生成新问题，深耕这个研究的数学对象的内在本质.其中提取信息、聚合信息、发散性对学生来说是难点，因此我们在数学解题教学时，需要对学生进行适切的引导，以帮助学生顺利解题.

解题剖析：

信息3“F1

信息 4“||PF1|-|PF2||=____”.

信息1、2、3、4聚合后处理可得到信息5“||PF1|-|PF2||=

信息6“所求值是定值，若是定值，那么这个函数是否就满足双曲线的定义？”

信息5通过数据处理可以计算得到.

信息8“f(x)的图象是双曲线”这一对勾函数内在本质的东西，获得新的信息：

信息9“对勾函数的图象是双曲线型”，继续发散联系，可设置新的问题情境：

信息10“请求出对勾函数的对称中心及对称轴方程”.