数学教学方法创新的几点尝试

刘道贵

素质教育要求在基础教育阶段，要培养学生具有实现自我“可持续性发展”的意识和能力。要求我们的学生学会设问，学会探索，学会概括，学会合作，去解决面临的问题，去适应环境。只有学会学习，才能学会生存，只有敢于创新，才能赢得发展。江泽民同志指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”。培养学生的创新精神和实践能力是实施素质教育的重点，也是我们教师的责任。

创新精神是每一个学生都具有的，在基础教育阶段主要是激发学生的好奇心、求知欲和想象力，培养学生创造性的思维品质、科学精神和人文精神，发展学生的探究、发现和初步的创造能力。在课堂教学中，如何培养学生大胆设想、敢于探索、善于创新的精神，是现代数学教学的一个重要课题。笔者根据多年的教育教学实践，就数学教学方法创新，谈谈自己的做法与体会。

一、揭示数学知识的发展和本质，体会蕴含在其中的思想方法，是诱发创新意识的重要环节

学生的创新意识、创造能力，不是一朝一夕所能形成的，而是靠教师平时长期有意识地培养和点滴积累而形成的。平时教学中，教师要从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，构建自己有效的数学理解的场所，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，要善于创设问题的情境，多角度激发学生去积极思维和操作，充分发挥学生的主体作用，使学生得到足够的创造空间。

例如在新时代沪科版七年级（下）完全平方公式与平方差公式的导入，我是这样引入的：先回顾多项式与多项式的乘法法则即：

。

（1）令 得：

.

（2）在（1）的基础上用 去替换 得：

。

（3）令 得

。

（4）令 得：

。

以上的四种设问我认为才算是真正意义上的从学生已有的知识背景“多项式乘法法则”出发，同时又赋予了代数式中字母的真正含义，在不知不觉中将新的知识和数学思想方法渗透给了学生，实现了“和平演变”，通过随堂检测，达到了较好的教学效果。

又如，在学完立几“直线和平面”这一章，进行章节复习中，我选取了如下例题：

例1：已知：AB⊥α，BC∈α，CD⊥BC且CD与平面α成30°角，若AB=BC=CD=2（如图），

（1）求证：AD与BC是异面直线；

（2）求AB与CD两异面直线间的距离；

（3）求平面BCD与平面α所成二面

角的大小；

（4）求A、D两点问的距离；

（5）求AD与平面α所成角的正弦值；

（6）求点D到平面ABC的距离。

分析：（1）用反证法。（2）根据异面直线距离的定义可知，线段BC的长为其距离。（3）作DE⊥α，连结CE，由三垂线逆定理知，∠DCE为平面BCD与平面α所成二面角的平面角，且∠DCE=30°。（4）图中四边形ABED是直角梯形，通过Rt△CDE与Rt△BCE可求得DE=1，BE=，因为AB=BC=2，设F为AB的中点，连结DF，则AF=1，从而可在Rt△AFD中求出AD=。（5）因为DF∥BE，所以∠ADF为AD与平面α所成角的大小，不难求出sin∠ADF=。（6）由以上可知DE∥AB，故DE∥平面ABC，那么DE与平面ABC的距离就是点D到平面ABC的距离，而CE是DE与平面ABC的公垂线，所以线段CE的长是它们间的距离，可由Rt△CDE中求出CE=，即点D到平面ABC的距离为。

当上述辅助线DE作出后，并完成了上面六个问题，进而还可以向学生提出以下几个问题。

（7）求证平面BCD⊥平面CDE；（8）求点A到CE的距离，A到CD的距离；（9）求异面直线DE与AC的距离；

（10）求点A到平面CDE的距离；（11）求BD与平面CDE所成角的大小。

以上通過一个题设，多个结论的典型例题示范，引导学生进行多角度思考，展开发散思维，这对于锻炼学生思维的深度、广度、灵活性都能起到积极的作用，从而培养他们良好的思维品质及综合运用知识的能力。

二、创设问题背景，从多角度培养学生思维的发散性，是培养创新意识的核心。

苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”因此，教师要善于挖掘问题存在的历史背景及解决问题策略的多样性，激励学生从不同的知识体系中寻求不同的方法解决同一问题，让学生从求异思维中进一步认识事物并且加深对与之相关的知识巩固和理解。为思维的创新奠定基础。

我们知道， 数学来源于现实生活， 数学的发展应归结为现实所需. 当学生要学习某种新知识之前， 如果他们先了解这项知识在生活中的背景材料， 那么对知识的理解会自然， 接受也坦然， 记忆长远， 运用自如。

例如学习两个重要不等式时， 可通过如下两个实际应用背景， 引导学生从中发现重要不等式的定理及其推论. 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动， 拟分两次降价. 有三种降价方案：甲方案是第一次打 折销售， 第二次打 折销售；乙方案是第一次打 折， 第二次打 折销售；丙方案是两次都打 折销售. 请问：哪一种方案降价较多？

学生通过审题、分析、讨论， 共同得出：甲乙方案给顾客的优惠率都是 ；

丙方案给顾客的优惠率是 ，最后归结为比较 与 大小的问题.

用作差法即可得 ，另外通过平方展开或开方即可得重要不等式：

（1） ，

（2） 。这样给出重要不等式的两个定理， 已是水到渠成， 相当自然.

不等式（2）还可以从几何的角度，利用数形结合思想加以证明：构造以长度为 为直径的半圆（如上图），

利用垂径定理和其几何性质很容易得出不等式（2）。

再如高中数学必修4关于“两角差的余弦公式”的证明有三种不同的方法证明： 。

（1） 从几何的角度，在单位圆里证；

如下图，设角 为锐角且 >

，角 终边是OA，则 。

OA= ，AP= ，并且 。于是

= .

（2）在单位圆中利用向量证；如图（上图）在平面直角坐标系 内作单位圆O，以 为始边作角 ，它们的终边与单位圆O的交点分别是A，B.则 ， .

由向量的数量积的坐标表示，有

.

设 与 的夹角为 ，则 .

而由题意知 ，

所以有 ，即公式的证。

（3）在直角坐标系中，利用两点间的距离证。（证明略）

在中学数学中， 很多数学问题都具有生活的背景和意义. 从学生的角度来说， 这些生活实例构成了他们的新知识的基础， 是获取新知识的不可或缺重要组成部分. 所以， 在教学中要善于发掘问题的内在联系， 抽象问题的本质， 进而用数学语言（符号）来表达问题的实质. 这个过程是学生亲身体会、全面思考、分析问题的过程， 是培养学生思维的深刻性和创造性的必要手段.

三、对课本例题进行深入挖掘、拓展，培养学生思维的深刻性，是培养创新意识的重要方法。

荷兰著名学者弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”因此，我在教学中，引导学生对已解答的问题进行进一步的探究推广和再创造，反思其题设与结论之间的关系，即已知这些条件能得出那些结论和要得出这一结论需要哪些条件。通过这样有意识的引导，可使学生思考问题更深刻，抓住事物的规律和本质，对知识的理解达到举一反三融会贯通，有助于创新意识的形成。

例2：一条小河的同旁有两个村庄A、B，在河边修一个抽水站，问该站应修在什么地方才能使它到两村庄的距离之和最短？

这是一个经久不衰的老题，每次的课改版本中均保留了它。究其原因关键是代表了一种方法即利用对称知识来解决问题的方法。因此每个学生都必须掌握（如上图）。

如果我们能引导学生更深一步思考，大胆地将思维扩展一下：A、B两村庄在小河的两边，情况会怎么样？

变题1：小河两岸（设两岸是平行的）有两个村庄A、B，要在河上修一座与河岸垂直的小桥，使两村庄间的距离为最短，小桥应修在什么地方？（解答如下图）

与变题1比较，仅改变了这么一个条件，就出现了一个“新”题。但它的实质和变题完全相同，这是思维上的一次飞跃和创新，是思维向高层次发展的结果。

如果将例2中的A、B两点换成两个圆，我们就得到：

变题2：设直线的同旁有两个定圆⊙和⊙，试在⊙、⊙和上各找一个点A、B和C，使AC+CB最短。

问题的解答是简单的，作⊙，使它关于直线与⊙对称，连结交于C，交⊙于B，连交⊙于A，则A、B、C为所求的点，即AC+BC最短。因为对⊙，⊙和上的其他任意点A、B、C总有AC+CB>AC+CB（图略）。

变题3：若河边所在的直线改为X轴，A、B两村庄为坐标平面内的两个点，A（-1，2），B（3，5），问在X轴上是否存在一点C使得AC+BC最短？在Y轴呢？若存在，求出点C的坐标。

前面的问题都是在平面上讨论的，如果将思维扩展到三维空间情况又怎样呢？请看

变题4：在平面α上取一点P，使它到α同旁的两定点A、B的距离之和为最小（如上图）。

变题5：在二面角α-AB-β的两个面α、β上各有一点P、Q，在AB上找一点O，使PO+OQ为最小（如上右图）。

空间图形中，我们接触较多的有正方体和圆柱体等，这样又有一个新的扩展。

变题6：如下图，在圆柱形铁桶的外侧A处有一条小虫，请为它设计一条最短的路线，使它沿桶外側爬到桶内壁的B处。

分析：将桶的侧面展开为一矩形，取B点关于CD的对称点 ，连结交CD于E，则E点为所求，即小虫沿外侧AE方向爬到E点，再从E点沿内壁EB方向爬到B点，此时路线最短。这不就是例2吗？

象以上这样的问题在教学中只要留心可以随处找到而且很多，俗话说得好“处处留心皆学问”。从教学思想方法的角度来讲，如果我们能经常有意识引导学生从多角度训练、多方位去思考，使他们的思维不局限在某一点、某一个侧面上或某一方法上，不仅满足于解决问题，大胆扩充视野，而且要争取更多信息，使其在结构、形式、材料、功能等方面充分地扩展引伸，从而不断提高思维的深度和广度，那么我们就一定会获得更多具有创新性的成果，使学生的创新意识通过教学得到充分地培养。