奥氏体不锈钢超低温屈服强度的概率分布

刘小宁 刘 岑 陈 刚 刘 兵 杨 帆 张红卫

(1.武汉软件工程职业学院 湖北 武汉：430205；2.湖北轻工职业技术学院 湖北 武汉：430070)

深冷容器是医疗、航空航天与能源等领域经常使用的承压设备，非预应变与9%预应变奥氏体不锈钢S30408是制造深冷容器的常用钢材[1]，探索奥氏体不锈钢S30408超低温机械性能参数的概率分布，即探索其分布规律与确定其分布参数是构建深冷容器强度可靠性设计方法的基础工作[2]。

奥氏体不锈钢S30408超低温的机械性能参数主要包括抗拉强度、屈服强度与屈强比(屈服强度与抗拉强度之比)，研究表明[3-4]，奥氏体不锈钢S30408超低温抗拉强度与屈强比，分别是基本符合正态分布的随机变量。但是，目前对奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度概率分布的研究似不深入，有待于进一步加强。

为了推动深冷容器强度可靠性设计方法的建立，文中应用概率论和数理统计知识[2,5-9]，基于非预应变与9%预应变奥氏体不锈钢S30408的有限有效试验数据[1,10-12]，对其超低温屈服强度的分布规律与分布参数进行了探索。

1 基本理论与方法

1.1 分布规律的假设检验

(1)计算有效试验数据的准确度与精密度。当通过试验测得奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度R的n组有效试验数据Ri(i=1，2，…，n)时，其准确度与精密度分别为：

(1)

(2)

(2)假设超低温屈服强度R的分布规律。假设超低温屈服强度R是符合正态分布的随机变量。

(3)预分组检验。

①列表分组计算理论概率与理论频数。根据有效数据个数n，把其为M个组：

M=1+3.3lgn

并取整数。对于符合正态分布的随机变量R，其统计量Ri落在分组[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]内的理论概率为：

(3)

式中，φ(·)为标准正态积分；a1=(Ri)min，aM+1=(Ri)max，(Ri)min、(Ri)max分别为Ri中的最小与最大值。

对于n个有效试验数据，Ri位于分组[aj，aj+1]内的理论频数为n×pj。

②列表试算分组的皮尔逊统计量并计算其之和。第j个分组的实际频数Nj与理论频数n×pj差异的皮尔逊统计量为：

(4)

M个分组实际频数与理论频数差异的皮尔逊统计量之和为：

(5)

其检验条件为：若符合

(6)

则在显著度为δ时，假设成立，否则存在分组不合理引起检验不符合假设的可能，需要重新进行合理分组，然后再一次检验。

(4)重新分组检验。

当重新分组后的组数为m，每组的实际频数与理论频数分别为Ni与n×pi，第i个分组的实际频数Ni与理论频数n×pi差异的皮尔逊统计量为：

(8)

m个分组实际频数与理论频数差异的皮尔逊统计量之和为：

(9)

(10)

则在显著度为δ时，假设成立，否则在现有条件下假设不成立。本文取显著度δ=0.05，所用的χ2系数见表1[2,5-6]。

表1 χ2与t系数

1.2 分布参数的取值区间

若奥氏体不锈钢S30408的超低温屈服强度基本符合正态分布，当双侧置信度为(1-α)时，其分布参数的取值区间按如下方法计算。

1.2.1 均值

屈服强度均值的取值区间为：

μ∈[μmin，μmax]

(11)

其中

(12)

(13)

式中，μ为屈服强度R的均值；μmin与μmax分别为μ在双侧置信度为(1-α)时的下限与上限；tn-1, 1-0.5α为t分布系数，由自由度(n-1)与0.5α查得。

α=0.02时，文中所用的t分布系数值见表1[2,5-6]。

1.2.2 标准差

屈服强度R标准差σ的取值范围为：

σ∈[σmin，σmax]

(14)

其中

(15)

(16)

α=0.02时，文中所用的χ2分布系数值见表1[2,5-6]。

1.2.3 变异系数

屈服强度R变异系数C的取值范围为：

C∈[Cmin，Cmax]

(17)

其中

Cmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin

(18)

式中，C为材料性能R的变异系数；Cmin与Cmax分别为C在双侧置信度为(1-α)时的下限与上限。

2 分布规律的假设检验

深冷容器常用非预应变与9%预应变奥氏体不锈钢S30408制造[1]，下面分别讨论其超低温屈服强度的分布规律。

2.1 9%预应变奥氏体不锈钢的超低温屈服强度

在超低温(液氮温度即-196℃)时，文献[1]获得了9%预应变奥氏体不锈钢S30408屈服强度的43组试验数据，在双侧置信度为99%时，经用文献[10-12]的方法判别，其中42组是有效的，见表2。

将42组有效试验数据代入式(1)与式(2)中，可得到其平均值与精密度，一并列入表2。

假设9%预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度是基本符合正态分布的随机变量。

表2 9%预应变S30408钢超低温屈服强度的有效试验数据

表3 9%预应变S30408钢超低温屈服强度预分组检验的皮尔逊统计量

根据以上分析，可先将第3组与第4组、第5组与第6组分别合并，然后重新分组检验。

重新分组后的组数m=4，第i个分组的实际频数Ni、理论概率pi、理论频数n×pi、以及反映每个分组实际频数与理论频数差异的皮尔逊统计量及其之和见表4。

4个组的自由度为f=4-1-2=1，取显著度δ=0.05，

显然，预分组检验是重新分组检验基础，重新分组检验是预分组检验的补充与完善。

2.2 非预应变奥氏体不锈钢的超低温屈服强度

在超低温时，文献[1]通过试验，也获得了非预应变奥氏体不锈钢S30408屈服强度的60组试验数据，在双侧置信度为99%时，经用文献[10-12]建立的方法判别，这些数据都是有效的，见表5。将60

表4 9%预应变S30408钢超低温屈服强度重新分组检验的皮尔逊统计量

组有效试验数据代入式(1)与式(2)中，可得到其平均值与精密度，一并列入表5。

表5 非预应变S30408钢超低温屈服强度的有效试验数据

采用与上面相同的方法，在显著度为0.05时可以证明，非预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度是基本符合正态分布的随机变量。

3 分布参数的取值区间

根据以上分析，在超低温时，非预应变与9%预应变奥氏体不锈钢S30408屈服强度分别是符合正态分布的随机变量，因此，在双侧置信度为98%时，可根据式(11)～式(18)分别计算其分布参数的取值区间。

3.1 9%预应变奥氏体不锈钢的超低温屈服强度

将表2中有效试验数据的平均值与精密度代入式(11)～式(18)，可得到9%预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度分布参数的取值区间。

均值μ的取值区间为：

μ∈[546MPa，583MPa]

(19)

标准差σ的取值范围为：

σ∈[39.50MPa，66.52MPa]

(20)

变异系数C取值范围为：

C∈[0.0678，0.1218]

(21)

3.2 非预应变奥氏体不锈钢的超低温屈服强度

将表5中有效试验数据的平均值与精密度代入式(11)～式(18)，可得到非预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度分布参数的取值区间。

均值μ的取值区间为：

μ∈[487MPa，526MPa]

(22)

标准差σ的取值范围为：

σ∈[51.42MPa，79.25MPa]

(23)

变异系数C的取值范围为：

C∈[0.0978，0.1627]

(24)

3.3 讨论

相对于非预应变而言，9%预应变是在深冷容器制造前对奥氏体不锈钢S30408的一种处理工艺。根据文献[14-15]建立的两个正态随机变量分布参数的比较与评价方法，分别比较式(19)与式(22)、式(21)与式(24)可知，在超低温时，9%预应变是显著提高奥氏体不锈钢S30408屈服强度均值的有效方法，尽管其变异系数(精度)没有显著变化，但存在变异系数减小即精度提高的趋势。

4 结语

应用概率论与数理统计方法，对分布规律的假设检验方法进行了补充完善。在双侧置信度为99%时，分析了试验数据的有效性；基于有限的有效试验数据及98%的双侧置信度，探索了非预应变与9%预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度的分布规律与分布参数。

1)显著度为0.05时，非预应变与9%预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度基本符合正态分布。

2)双侧置信度为98%时，9%预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度的均值位于546MPa与583MPa之间，标准差位于39.50MPa与66.52MPa之间，变异系数位于0.0678与0.1218之间。

3)双侧置信度为98%时，非预应变奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度的均值位于487MPa与526MPa之间，标准差位于51.42MPa与79.25MPa之间，变异系数位于0.0978与0.1627之间。

4)在变异系数(精度)没有显著变化时，9%预应变是显著提高奥氏体不锈钢S30408超低温屈服强度均值的有效方法。