高中数学延伸拓展教学的多维研究思路

冒文文

【摘 要】基于教材和传统的教学习惯，拓展教学可以帮助学生积累数学知识，提高数学能力，能够使学生更有效地理解数学概念、数学规律和解决数理问题背后的更多基本内容。它需要从多个维度进行拓展研究，这是有效延伸拓展的重要方面。

【关键词】延伸拓展；教学思路；研究维度

高中数学教学必须结合教学内容和教学对象的具体情况，让学生通过拓展延伸对某一数学问题进行更深入细致的研究。因此，要想进一步丰富学生解决数学问题的经验，只有通过培养学生的数学知识建构和解决问题的能力才能达到这一目的。

一些研究人员指出，所谓的拓展延伸，就是通过学生本身的知识结构和认知水平的问题解决或主题研究方法来扩展原始的学习内容。在此过程中，不但要加深学生对数学知识的理解，更要深化教师对数学教学的理解过程。在实际的高中数学教学中，拓展延伸并没有真正摆脱传统的思维模式，尤其是渐进式的思维观念。也就是说，对拓展延伸材料的进一步研究仍有空间。本文从多个维度对之展开了系统研究。

一、概念构建，立足于内涵外延，实现延伸拓展

数学概念是数学知识建构的基石。数学概念的教学具有理论上的重要性与实践上的次要性的矛盾。在新的基于知识的练习的想法下，数学概念教学往往成为了一个速成的过程。笔者认为，高中数学教学中的概念教学不仅不能被压缩，反而要在原有的教学基础上进行必要的拓展延伸。而其方向不外乎是两个角度的内涵和外延。

现以“函数的奇偶性”教学为例：奇偶性是学生在义务教育阶段学到的一个概念。教师应该注意的第一件事是学生对函数奇偶性这一概念的理解。苏教版高中数学教科书（必修1）中的对函数奇偶性的定义如下：通常，设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任何的x∈A，都有f（-x）=f（x），则称y=f（x）是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数。从定义本身可以看出函数奇偶性的内涵，关键是如果在某个域内满足自变量和应变量之间的正负关系，则存在奇偶性。

学生在理解函数奇偶性的概念时会有什么样的心理过程？这是作者的担忧。这里的奇偶与有理数中的奇偶是一样的吗？有趣的是，将这个问题摆在一些高中数学教师面前时，所获得的理解是不同的。在本内容引入的时候，教材给出了这样的描述：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵……

在给出函数奇偶性的定义之后，教科书强调：根据函数奇偶性的定义，偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。教师经常忽略这种语境关系，因此无法有效地拓展函数奇偶性的概念。

相反，看到这种对应关系，学生对函数奇偶性等概念的理解既有内涵也有拓展，可以提高学生对这种概念的理解。学生将会意识到，这里的奇偶并非是指能否被2整除，而是与对称性相关的描述。

二、问题解决，立足于发散思维，实现延伸拓展

在高中数学教学中，解决问题是一项重要任务，在一定程度上与接受高考评价的核心任务有关。要知道，高中数学教学中的问题解决往往是趋同的，也就是说，学生的思维往往是指向最终的唯一答案。从学生数学素养提升的角度来看，基于日常教学中的发散思维，培养学生解决问题的应用能力，才应是高中数学教师的根本任务，而且仅需要教师将传统的以应试教学为导向的教学理念进行拓展和延伸。

但是，从拓展延伸的角度来看，这个问题实际上是一种不同的思维训练。它还允许学生更有效地整合现有的数学知识。本问题解决的思路是什么？通过学生的思考，可以根据圆心和半径之和进行梳理；有没有其他的解题思路？这是思维发散的基本提问方式；两个圆的方程可以转换成方程组吗？如果求解，其得到的解又有什么数学意义？如果超越这个话题，还可以向学生提问：如果将两个圆的方程相减，你会得到什么（这是高中生可以解决的问题，但这不是教科书中的问题；至于通过添加两个圆获得的圆系方程，感兴趣的同学不妨研究一番）？获得的直线方程与两个圆之间的关系又是什么？

这种延伸拓展可以将学生的视线扩展到原始问题之外，并且使学生能够识别最简单的数学问题。当然，有价值的延伸并不一定需要延伸，你可以用更理性的态度面对它，并逐渐将问题分解为相对简单的问题，让心态更加平静。

三、学会反思，立足于思维规律，实现延伸拓展

学生的反思能力是高中数学学习能力的一个重要方面。最初，它是学习过程的延伸。相对数学知识的构建而言，研究后的反思也是当前高中数学教学中相对薄弱的环节。只有在习题教学有效延伸的过程中再加以拓展，那学生的数学学习品质才有可能得到真正的提升。在实践中，作者试图在学生学习后引导反思，从环节分类的角度出发，也从数学概念建构的维度、数学规律的内化、数学问题的解决等方面进行反思。从现实角度来看，指导学生在解决问题的过程中反思学习是一个重要的选择。

例如：在函数概念和基本初等函数中学到的分段函数，教科书中给出的数学问题源于现实生活中的出租车费用标准问题：某市出租汽车收费标准如下：3公里（包括3公里）路程，按起步价7元，超过3公里以外的路程，收费为2.4元/公里。试写出收费额关于路程的函数解析式。这一问题的解决有两个过程：第一个是将生活事实抽象为数学表达式；第二个是分段函数的结果。有学生在解题过程中会写出“y=7，（03）”之后，有些学生认为两者之间没有本质区别。因此，从教师的角度而言，教師必须引导学生理解数学内容和数学形式之间的关系。只有认识到这一点，基于分段函数的延伸拓展教学，才有了纯粹的数学意义。

这种延伸概念教学最大价值在于可以使学生完全理解数学概念，即不仅知道了函数的奇偶性是什么，还知道了为什么会用这样的词来描述这个特征。这正是数学概念中最重要的部分。正如有学生所说的那样：当函数图像在某个域中仅呈现一种形式的变化时，它确实是单调的。应该指出的是，在数学规律的研究中也存在必要的延伸拓展。考虑到其与概念建构的原理类似，这里不多赘述。

基于对教材和传统教学的拓展延伸反思，有利于学生更有效地理解数学概念、数学规律和解决数理问题背后的更多基本内容，这是有效延伸拓展的重要方面。因此，对拓展延伸后的反思，特别是从某一知识点的延伸到数学的本质，应该成为高中数学教师的教学意识。

【参考文献】

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