基于小学数学解决问题建模下的思维训练

赵静 蔡敏 任娟 王远

一、思维的独创性训练

对数学问题有自己的发现，这种发现有时是建立在计算的基础上，有时是建立在观察的基础上，有时是建立在数学计算研究过程基础之上，有时是建立在思考中自我提问，反问，追问的基础上，通过求证而实现的，这个过程是学生主动建模数学概念的过程。如我们在教学五年级数学上册第31页计算下面各题，你发现了什么？学生通过计算不难发现被除数不变，除数越小商越大，同时，也有部分学生发现除数小于1商大于被被除数，也有个别学生发现了如果把被除数与除数位置互换角色，则有除数不变被除数越大，商越大，如果除数大于1，被除数比1 大或比1 小都不影响除数不变被除数越大，商越大这个规律，通过这道题，实验班学生有三种发现，第一种发现是建立在计算的基础上，第二种发现是建立在观察的基础上，第三种发现是建立在反问，追问的基础上，如有学生问;“反过来让除数与被除数交换位置怎样？第一组发现了什么？第二组发现了什么？第三组发现了什么？”不断地追问下去，他们经过研究求证出了这种结果，因为全班同学都能够了解第一种发现，那么，少数学生发现的第二种情形，极少数学生发现了第三种情形，这第二种情形与第三种发现就具有独创性。

二、思维的灵活性训练

变式，变式是数学教学中常用的方法，我们在实验中经常发现教材中或教辅中这种变式的原型和变式，如果学生能够在教材或练习中找到数学原型与它的变式，更进一步，如果学生能够利用变式把数学原型变化成这个原型的一个变式或几个變式十几种变式，学生在数学建模中培养了学生的思维灵活性。

如五年级上册数学教材79页例5，我们可以根据速度、路程与时间的关系，小林和小云共同走完全程速度合为（0.25+0.2），路程为4.5km，则所需时间为4.5÷0.45=10分钟。如果小云在原点不走，小林在规定的时间内走完全程则需要加上小云的速度，即小林以（0.25+0.2）的速度才能走完全程，则小林需要的时间为4.5÷0.45=10分钟，同理如果小林不走，小云则需要0.2+0.25的速度走10分钟走完全程与小林相遇。我们也可以这样设想，假如：①小林走到中点停止行走，问小云和小林什么时间相遇？②当小林走到中点时，小云停止行走，问小云和小林什么时间相遇？

这时先解小林走到中间用多长时间，2.25÷0.25=9（分钟），小云9 分钟走的路程是0.2×9=1.8千米。

我们在这个例子中通过对小云运动进行变式，从另一个角度来解决这类行程问题，把小云的运动进行变通把两者共同完成的问题，变成了小林一个人的行程问题，同理，我们在这里引导学生变化小林的运动速度，让他的行走的速度为零，把小林的运动进行变通，使两者共同完成的问题，变成了小林一个人的行程问题，这样计算起来非常容易，在实验中发现，有个别学生把小林的运动速度变化成变化的速度，如小林行驶到中点时休息了5分钟，然后再行走，这样的变式使学生思维更加灵活。

转化，如四年级数学课本下册第15页第1 题，连一连（根据下图），如果我们从前面看，平移上层一个正方体，把上层一个正方体往后平移一个位置，则前面看到的图形没有变，同理，上层中间或最右边的正方形移动一个位置，从前面看到的图形也不会变化，从左面看，把小正方形向右平移一个位置或平移2 个位置，所观察到的图形也不会变化。

利用旋转来解题是一种解题的技巧，有些题，学生可以通过旋转方法把较复杂的数学问题转化成比较简单的数学问题建模。如五年级数学课本上册第92页第1 题，做一做，如果，我们指导学生把涂色的三角形向上旋转180度，可以与上面的三角形重合，这样旋转后，我们指导学生把一般的图形转化成了特殊的图形;如五年级数学课本上册第94页第8 题，图中的三角形ABE向右旋转180度与三角形DEC重合，或三角形DEC向左旋转180度与三角形ABE重合，我们指导学生也能把一般的图形转化成了特殊的图形。

如五年级数学课本上册第102页第7 题，学生根据分割后，把原来的曲线变成了直线，直线再则的部分可以填补，原面积相似于分割后的面积，原图转化成了平行四边形。如同册数学102页第9题，用同一方法，分割后的面积变成了五边形，如果把这个五边形转化成一个梯形与一个三角形，求出该题的相似面积就容易得多了。

三、实验效果

我们选取三年级三（1）班为对照班，（三）（四）为实验班，四年级四（2）班为对照班，四（1）为实验班。我们根据所罗门四组设计原则，分别在对照班随机抽取50%作样本，与实验班用三、四年级测验卷或现场实验操作的方法进行前测，另外50%不进行监测，我们设计了三年级与四年级数学思维能力测试卷，共10道题小学计算能力，这些题中共50个考察要点，要点分布在思考8个考察点，各7个要点，其中观察4个考察点为利用学过的数学知识可以解决，4个考察点为利用新知识解决。实验、比较、猜想、概括、推理。实验比较等项同每4个为利用旧知识解决另3个用新知识进行解决。我们给每个考察点记2分，共100分，我们共出了8套这样的试题，三、四年级各4套。前测我们考前班长随机抽取试题，前测与后测两次测试的内容不同。

我们在实验班开展数学小学计算能力优化重组活动化教学实验，对照班按现有教材正常教学，然后在实验班与对照班参与前测的学生的同学与没有参与前测的同学组成四组进行实验。实验发现小学计算能力测试平均分数，实验班比对照班有明显提高，说明注重小学生思维的训练的教学有利于培养学生数学思维素养。