基于联立方程计量经济学模型的经济系统预测与控制方法

王义闹

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

联立方程计量经济学模型是描述经济系统中内生变量与先决变量之间线性关系的模型.其中，根据经济理论和行为规律建立的，描述经济变量直接关系结构的计量经济学方程系统称为结构式模型.结构式模型中的每一个方程都是结构方程.结构方程的正规形式是将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机干扰项的函数形式[1].当我们得到结构方程的良好估计后，就对经济系统中变量之间的结构关系有了较好的认识.对于经济系统，我们还常常希望了解系统的均衡状态.由于随机干扰项的存在，联立方程计量经济学模型所描述的经济系统不可能达到均衡.退而求其次，本文将数理经济学中均衡概念进行推广，提出了均值均衡的概念.并研究了调控外生变量时，系统均值均衡状态的变化，以及如何调控外生变量才能达到我们希望的某个均值均衡状态.

对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于内生变量是受先决变量和随机干扰项影响的，我们可以通过调控外生变量影响内生变量，而不能调控随机干扰项.因此本文关心的预测问题是：在先决变量取定一组值的条件下，内生变量均值取什么值；同样的理由，本文关心的控制问题是：应该如何调控外生变量，才能把内生变量均值控制在我们希望的状态.实际上，要实现对系统均值均衡状态的预测、控制，只要能由结构式模型解出简化式模型，即可用最小二乘法估计模型参数，得出满意的预测、控制结果，而不必考虑结构式模型是否可识别，结构参数如何估计.计量经济学、线性回归文献[1-9]，用大量篇幅介绍了结构式模型的识别、估计方法，但没有讨论对系统均值均衡状态进行预测、控制的必要假设有哪些，如何进行预测、控制，效果如何.对这几个问题，本文作了初步研究，以下所提到的系统均指联立方程计量经济学模型所描述的经济系统.

1 模型假设

设联立方程计量经济学模型的结构式模型如下：

其中Y表示内生变量，X表示先决变量，N表示随机干扰项，B表示内生变量的结构参数，Γ表示先决变量的结构参数.

式中X1=（1 1 … 1）′，即每个方程都有常数项，因而设E(N)=0是合理的.通常认为，每一结构方程式中出现的所有内生变量与随机误差项都（可能）是线性相关的，各随机误差项之间也是线性相关的，各先决变量与随机误差项都是线性无关的.

为简单起见，本文引入更强的假设：在各先决变量任意取定一组值的条件下，随机误差项的条件期望恒为0.

注意：对包含内生解释变量的结构方程式，由于内生解释变量与随机误差项都（可能）是线性相关的，因而对任意给定的一组解释变量的值，随机误差项的条件期望为0的假设（可能）不再成立.

因为若对 ∀x∈R,E(u|x)=0，则

即对 ∀x∈R,E(u|x)=0，就必然有r(u,x)=0.即条件期望为0一定线性无关.

均衡假设：

蒋中一（Alpha C.Chiang），凯尔文·温赖特（Kevin Wainwright），在《数理经济学的基本方法》[10]第30页给出的均衡这一概念的一个定义为：“选定的一组具有内在联系的变量经过彼此调整，从而使这些变量所构成的模型不存在变化倾向”的一种状态.

对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于系统运行规律包含随机干扰项，对给定的先决变量的一组值，内生变量总会存在随机变化，不会不存在变化倾向.我们要把数理经济学的均衡概念推广到计量经济学中，自然就考虑内生变量均值的均衡.在给定先决变量取值的条件下，在模型（1）两边取数学期望，就得到：

这是内生变量的（在给定先决变量取值的条件下的条件）均值与先决变量之间的确定关系式.依此相互影响规律，内生变量均值经过彼此调整，从而使这些变量均值满足方程组（3）时，内生变量均值就不再存在变化倾向，系统的这种状态本文就称为联立方程计量经济学模型（1）所描述的经济系统（下文简称为经济系统）的均值均衡状态.

当模型（3）中内生变量均值的结构参数矩阵B是可逆矩阵时，解此方程组就得到唯一一组内生变量均值的均衡解

结构参数矩阵B可逆就是联立方程计量经济学模型所描述的经济系统存在均值均衡状态的充分条件.

以下我们恒假设所研究的系统是存在唯一一组均值均衡解的均值均衡系统，也就是假设模型（1）中内生变量的结构参数矩阵B是可逆矩阵.称此假设为均衡假设.

可预测性假设：

对具有确定运行规律的系统，给定先决变量的一组值，不经过系统实际运行，仅通过系统运行规律即可预先知道系统内各变量之间相互影响的均衡运行结果，则该系统是可预测系统.

对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于系统运行规律包含随机误差项，给定先决变量的一组值，不经过系统实际运行，我们不可能预先知道系统的不存在变化倾向（均衡）的运行结果.但如果可以预先知道系统的内生变量均值的均衡运行结果，就可以称此系统是（均值）可预测系统.

定理1 若模型（1）中内生变量的结构参数矩阵B是可逆的，即系统是均值均衡系统时，则系统（1）是（均值）可预测系统.

可控性假设：

对具有确定运行规律的系统，可以通过控制外生变量取一组值，使系统达到均衡状态时，内生变量的均衡值取得预定的（一定范围内的）目标值，则该系统是可控系统.

对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于系统运行规律中包含我们不能控制的随机误差项，使得不可能仅仅通过控制外生变量，达到控制内生变量的目的.对系统（1），记为外生变量构成的向量，为滞后内生变量构成的向量，记在给定先决变量取值的条件下，两边取数学期望，就得到内生变量的（条件）数学期望与先决变量之间的确定关系式：

当外生变量的结构参数矩阵Γ1的秩等于增广矩阵的秩，即当

时，方程组（5）有解，即至少存在一组外生变量的值，使我们希望达到的内生变量的状态Y=E(Y)是外生变量取这组值时的均值均衡状态.这时我们称系统（1）是均值可控的.特别，当外生变量的结构参数矩阵Γ1为可逆矩阵时有：

即对我们希望达到的内生变量的状态=E(Y)，存在唯一一组外生变量的值与之对应.

定理2 若系统（1）中外生变量的结构参数矩阵Γ1的秩等于增广矩阵的秩，即当（6）式成立时，则系统（1）是均值可控的.

在实际系统中，外生变量常常比内生变量少，从而对我们希望达到的内生变量的某些状态=E(Y)，不能通过控制外生变量得到.退而求其次，可以对系统中我们最关心的几个内生变量进行控制，在此控制方案下如果其它内生变量是可预测的，并且我们对预测结果满意，就得到了满意控制方案.以下称这样的系统是部分均值可控的.

前定变量与随机干扰项不相关假设：一般认为，前定变量与随机干扰项是不相关的：

2 可预测性与可控性的判别

在上一节我们讨论了联立方程计量经济学模型（1）所描述的经济系统的可预测性和可控性，这种讨论是在已知系统的真实规律（1）的基础上进行的.然而，在实际问题中模型参数是未知的，从而B,Γ的秩也是未知的，不能直接应用定理1、2判别系统的可预测性与可控性.下面谨给出一些可预测、可控的特殊情况.

定理3 递归系统是可预测的；

只要系统（1）的简化式模型存在，该系统就是（均值）可预测系统；

只要系统（1）的结构式模型是可识别的，该系统就是（均值）可预测系统；

只要系统（1）的简化式模型存在，且至少有一个外生变量，则系统是部分（均值）可控的.

由于递归系统中B为下三角阵，一定是可逆的.于是，由定理1知系统是（均值）可预测系统.

简化式模型中有外生变量的那个方程左端的内生变量一定是（均值）可控的，所以系统是部分（均值）可控的.

3 参数估计

结构式模型（1）所表示的系统的简化式模型为

由前定变量与随机干扰项不相关假设（8）可知，前定变量与（9）式中随机干扰项μ也是不相关的；再由E(N)=0知E(μ)=0.故参数C的最小二乘估计量是C的无偏估计量.进而是均值均衡向量的无偏估计量.

定理4 以记简化式模型（9）中参数C的最小二乘估计量，则是均值均衡向量的无偏估计量.

如果简化式模型（9）中随机干扰项μ还是同方差、序列不相关的，则还是均值均衡向量的有效估计量.如果随机干扰项μ还是服从正态分布的，我们还可以进而讨论均衡向量的区间估计.

定理5 如果结构式模型（1）是恰好可识别的，则先用间接最小二乘法估计结构式模型参数B, Γ得进而是均值均衡向量的无偏估计量.

由于结构式模型（1）是恰好可识别的，于是其中每一参数的估计值均可由简化式模型中参数估计值唯一确定；反之由模型可识别知B必可逆，从而可逆，可由唯一确定.

注意：当结构式模型（1）中存在过度识别的方程时，先求结构式参数估计量，再以作为均值均衡向量的估计量，一般与定理4中不同，不一定有无偏性.

4 预测与控制示例

本节以文[2]第六章第五节给出的简化的中国宏观经济调控模型为例，示意性的给出对取定的外生变量，如何预测系统的均值均衡状态，以及对希望达到的均值均衡状态，应如何控制外生变量以达到我们的控制目标.

例1 采用基于三部门的凯恩斯总需求决定模型，在不考虑进出口的条件下，消费者、企业、政府的经济活动的理论模型为[2]：

其中Yt为支出的国内生产总值（GDP），Ct为消费（COM），It为投资（INV），Gt为政府支出（GOV）；内生变量为Yt，Ct，It；前定变量为Gt.

上述结构式模型中，第一个方程是恒等式，无需识别，第二、三个方程都是恰好可识别的，模型系统是恰好可识别的.该宏观经济模型的简化式为

可见三个内生变量都是可预测的，对给定的外生变量Gt，内生变量的均值均衡状态为但只有一个内生变量是可控的，例如希望把Yt的均衡状态控制为，则只需外生变量.用最小二乘法求得简化式模型参数后，进而可得内生变量的均值均衡状态的无偏估计.考虑到由恒等式还可以得到所以由结构式模型的4个参数也可以唯一确定简化式模型的六个参数.

例2 考虑在宏观经济活动中，当期消费行为还要受到上一期消费的影响，当期的投资行为也要受到上一期投资的影响，因此，在例1所述宏观经济模型里再引入Ct和It的滞后一期变量和It-1.

这时，宏观经济模型可写为[2]：

或写为

其中Y表示内生变量，X表示先决变量，N表示随机干扰项，B表示内生变量的结构参数，Γ表示先决变量的结构参数

易求得

于是得简化式模型

可见三个内生变量都是可预测的，对给定的外生变量Gt，内生变量的均值均衡状态为

又由于Ct和It的滞后一期变量Ct1-和It1-是已经发生的、不能调控的，能够调控的外生变量只有一个Gt，所以只有一个内生变量是可控的.例如希望把Yt的均衡状态控制为Yt，则只需外生变量

对文[2]第175页表6-1数据，用最小二乘法求得简化式模型参数：

由于消费方程、投资方程都是过度识别的，在文[2]第177页，由二阶段法估计结构参数得估计值的基础上，进而由（12）式求得均值均衡状态中参数的估计值

这与最小二乘法所得简化式模型参数估计值(i=1,2,3,j=1,2,3,4)明显不同，进而再由（14）得内生变量的均值均衡状态的估计值则一般有不一定是的无偏估计.

由例1、例2更清楚的看到，如果我们只寻求预测系统的均值均衡状态（预测政策运行效果），或者只寻求将一些内生变量控制到我们预定的均值均衡状态，则应该用最小二乘法估计简化模型参数，没必要估计结构模型参数，特别是存在过度识别方程时，用二阶段、三阶段法估计结构模型参数再求均值均衡状态估计，所得估计量的性质并不好，估计值与上述无偏估计明显不同.