实变量函数和复变量函数的比较

岳红云

【摘要】本文从实函数和复函数的极限、导数、积分等多个方面来探讨实函数和复函数的差异及联系，从而可以借助实函数去研究复函数，并且可以利用复函数中解析函数的特殊性质应用到实函数的研究中去.

【关键词】实函数；复函数；差异；联系

【基金项目】河南工业大学理学院复变函数与积分变换示范课，项目号：26510041.

在自然科学和工程技术等诸多领域中，函数是被广泛应用的数学概念，在数学中处于核心地位，对不同类函数的深入讨论有重要的应用价值.根据数域的不同，函数可以分为实变量函数和复变量函数两种.

一、实变量函数和复变量函数极限的差异

根据实函数[1]与复函数[2]的极限定义可知，两者在定义形式上是相似的.但是两者取极限的含义却不相同.极限在一元实函数上表示为在数轴上一个动点到另一个定点无限地趋近，而复函数是平面的动点到一个定点的趋向.所以，它们取极限的要求差异很大，并且复函数的极限要求更为严格.

分析学就是研究形形色色的极限，因为极限要求的差异，所以实函数的可导（或可微）、可积与复函数相应的可导（或可微）、可积虽然定义形式相似，但实质差异很大.

在微分领域，微分中值定理是联系导数（或微分）和积分的桥梁，帮助人们了解函数在某个区间的整體性质，而在复数域，它们并不成立.

三、结 论

本文通过研究实函数与复函数在极限、导数（或微分）、积分等方面的异同点，为数学领域提供更为广阔的解题思路和解决手段，拓宽了人们的眼界和思想，在自然科学等多个相关领域加快了问题的解决.

【参考文献】

[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]林清.实函数和复函数的异同[J].课程教育研究，2014（4）：129-130.

[4]胡江.实函数与复函数上微分中值定理内在联系的探讨[J].科技资讯导报，2007（12）：177-178.