基于序列相关和小波变换的加速度计信号降噪∗

董雅雯，王建林，魏青轩，邱科鹏，赵利强

(北京化工大学信息科学与技术学院，北京100029)

加速度计是用于测量载体运动加速度的传感器，被广泛应用于航空航天、建筑、工业自动化等领域。有效滤除加速度计信号中的噪声，对提高速度计信号分析精度有重要作用。

加速度计比较法冲击激励校准是获取加速度计输出信号的常用实验方法，由于冲击激励具有持续时间短、频率范围宽等特点，使得冲击加速度计信号降噪较为困难。

传统的基于非递归型滤波器FIR(Finite Impulse Response Filter)的信号降噪是利用快速傅里叶变换获得信号的频谱，通过构建高通、低通或带通滤波器的方法对信号进行降噪，虽然原理简单，但难以有效降低宽频带非平稳信号中的噪声。

经验模态分解EMD(Empirical Mode Decomposition)[1]是一种自适应信号时频处理方法，适合处理非线性、非平稳信号[2－3]。基于EMD的信号降噪方法主要包括直接重构法和阈值降噪法两类[4]。直接重构法是通过去除含噪信号的高频固有模态函数IMF(Intrinsic ModeFunction)，直接对剩余IMF和余项进行重构的方法实现降噪，属于强制去噪[4]；阈值降噪法通常是将各IMF与阈值进行比较，将IMF中大于阈值的部分保留，并将小于阈值的部分置零的方法实现信号降噪[5]。上述基于EMD的信号降噪方法虽然利用了EMD自适应分解的优点，但EMD分解精度受端点效应、模态混叠等影响较大，使其应用受到局限。

基于小波变换的信号降噪方法利用了小波变换[6]的良好的时频多分辨性特点[7－9]，能够获得比基于EMD的信号降噪方法更好的降噪效果。基于小波变换的信号降噪方法主要有模极大值降噪[10]、尺度相关性降噪[11]和阈值降噪[12]等方法。模极大值法降噪时，容易产生伪极值点，对后续的降噪精度产生影响，而相关性降噪法需要估计噪声的统计噪声，在实际工程应用中，难以准确估计，增大了计算难度和实现难度。阈值降噪方法克服了模极大值降噪方法和相关性降噪方法的缺点，能够避免伪极值点的产生，更好保留原始信号的特征峰值点，且无需估计噪声统计特征，被广泛应用于信号降噪。王维等[13]提出一种改进的小波阈值降噪算法，利用小波去相关白化检验自适应确定分解层数，并将该方法应用于发动机振动测试，取得了一定效果。但当信号具有显著突变特征时，分解层数偏大，增大运算量的同时甚至会导致信噪比降低[14]，不适用于冲击激励下加速度计信号降噪；Lin H等[15]利用一种新的阈值函数实现小波阈值降噪，通过引入调节参数，使硬阈值函数在阈值处连续，抑制了震荡，保留了传统软阈值函数连续的优点，但阈值的选取依赖单一信号，降噪效果受新引入的调节参数较大；李昕等[16]结合能量谱分析，选择EMD分解得到的固有模态函数进行小波阈值降噪，这种采用EMD分解与小波阈值降噪方法相结合的方法[17]，虽然一定程度上能够再次对EMD分解后的高频IMF进行降噪，提高了降噪的精度，但其降噪效果受IMF选取和EMD分解结果影响较大。由于加速度计比较法冲击激励校准中，两个加速度计的响应信号为同一冲击激励所产生，应用上述基于小波阈值的降噪方法对加速度计信号进行降噪，是将两个加速度计信号作为独立信号分别进行降噪，阈值的选取并未考虑同一激励下不同加速度计响应信号的相关性，过分依赖单一信号，容易导致阈值过大或过小，使得被校加速度计频率响应函数估计误差较大，降噪精度较低。

本文针对加速度计比较法冲击激励校准中，噪声对加速度计频率响应函数估计的影响，提出一种基于序列相关和小波变换的加速度计信号降噪方法，对同一激励下参考加速度计和被校加速度计响应信号分别进行小波变换，利用相同尺度下小波系数的互相关系数计算阈值，并应用该阈值进行降噪，实现加速度计信号降噪。

1 基于小波变换的阈值降噪方法

设含噪一维信号

式中：s(i)为含噪信号，x(i)为不含噪声的原始信号，n(i)为高斯白噪声，m为信号长度。传统的基于小波变换的阈值降噪方法是对s(i)进行小波变换后，利用有用成分的小波系数绝对值比噪声成分的小波系数大的特点[10，18]，通过设定合适的阈值，使小于阈值的小波系数为零，大于阈值的小波系数保持原值或依照阈值函数进行变换，实现去除噪声，对经过处理的小波系数进行反变换，重构得到降噪后的信号~x(i)。

基于小波变换的阈值降噪方法的具体过程为：①信号的小波变换：选择一个小波基和适当的分解层数，其中小波基应尽量与被处理的一维信号波形相似，将信号分解得到相应的小波系数；②信号的小波系数阈值量化：对各层分解的小波系数设定一个适当的阈值，将绝对值小于该阈值的小波系数置零，将绝对值大于该阈值的小波系数保留或作收缩处理；③小波系数的反变换：将量化后的小波系数通过小波反变换重构信号。

在传统的基于小波变换的阈值降噪方法中，小波阈值的选取依赖于单一信号，容易导致阈值过大或过小的情况出现，过小的阈值无法有效滤除噪声信号，反之，偏大的阈值又会导致有用信号也被滤除，对降噪效果影响较大[19]。

2 基于序列相关和小波变换的加速度计信号降噪

2.1 基于序列相关和小波变换的阈值降噪方法

在加速度计比较法冲击激励校准中，参考加速度计与被校加速度计的输出信号来自同一冲击激励，两个加速度计输出信号具有较高的相关性。对加速度计输出信号进行相同的小波分解，原信号被分解成不同频率段的小波系数，对应的小波系数，同样具有较高的相关性。由于噪声和有效信号之间以及噪声之间通常相关性非常小[20]。受噪声影响，对应小波系数的相关性将发生改变。当小波系数中含有用信号较多、噪声较少时，对应的小波系数的互相关性较强，互相关系数较大；反之，当小波系数中含有用信号较少、噪声较多时，对应的小波系数的互相关性较弱，互相关系数较小。因此，可以根据对应的小波系数的相关性大小，来设置不同的阈值，提高加速度计信号的降噪效果。

给定参考加速度计与被校加速度计的响应信号分别s1(i)、s2(i)，对两信号进行小波变换，其第j层的小波系数分别为 d1，j(k)、d2，j(k)，则其互相关系数可表示为

式中：C1，2(p)表示为 d1、d2在时滞 p下的互协方差。σ21、σ22分别为 d1、d2的方差，¯d1、¯d2分别为 d1、d2的均值。

当序列x1(t)和x2(t)的某层小波系数的互相关系数较大时，则此层的小波系数的相关性较大，说明其中信号的有用信息较多，可适当减小阈值，防止过多有用信息被滤除，反之，当序列x1(t)和x2(t)的某层小波系数的互相关系数较小时，两组小波系数的相关性较小，说明有用信息较少，可适当增大阈值，滤除多余噪声。

设第j层小波系数的初始阈值Tj，并考虑同一激励下不同加速度计响应信号小波系数的相关性，利用互相关系数对初始阈值Tj进行改进，则改进后的阈值为

式中：α为权值系数，0＜α≤1；Tj为初始阈值，依据固定阈值原则按照式(4)计算。

由于软阈值函数降噪时会产生恒定偏差，因此，选择硬阈值函数作为降噪阈值函数，按照式(5)对小波系数进行处理。

当对应的小波系数的互相关系数较大时，表明其中含有的有用信息较多，式(3)中的αer2j增大，则Tn，j减小，有用信号得到更好的保留；反之，当互相关系数减小时，αer2j减小，则 Tn，j增大，噪声得到更好的去除。然后利用式(5)对小波系数进行处理，通过硬阈值量化，得到降噪后的小波系数。

2.2 基于序列相关和小波变换的阈值降噪算法

在比较法加速度计冲击激励校准实验中，假设参考加速度计、被校加速度计响应信号分别为 x1(t)、x2(t)。本文提出的基于序列相关和小波变换的加速度计信号阈值降噪算法的流程图如图1所示，其具体步骤如下：①对x1(t)、x2(t)分别进行n层离散小波变换，得到第 j层的细节系数 d1，j、d2，j(j＝1，2，…，n)及近似系数 a1，n、a2，n；②计算两输出数据序列第 i层对应的细节系数 d1，j、d2，j(j＝1，2，…，n)的互相关系数 rj；③根据固定阈值原则即式(4)计算出每层细节系数 d1，j、d2，j的初始阈值 T1，j、T2，j，根据式(3)得到新阈值 Tn1，j、Tn2，j；④根据式(5)到降噪后的小波系数；⑤将Step 4中阈值降噪后的参考加速度计和被校加速度计的输出序列的小波系数进行小波反变换，得到降噪后的两输出信号序列。

图1 基于序列相关和小波变换的加速度计信号降噪算法流程图

3 实验与分析

3.1 仿真实验

利用MATLAB软件仿真加速度计冲击激励与响应信号，其中，冲击激励信号通过四阶巴特沃斯滤波器产生，截止频率为10 kHz，采样频率为1 MHz，数据长度为5×104，设置仿真参考加速度计动态模型参数为 δ1＝0.006 3，ωn1＝2.775×105rad/s和 ρ1＝3.457×1010，仿真被校参考加速度计动态模型参数为 δ2＝0.004 3，ωn2＝1.644×105rad/s和 ρ2＝1.633×1010，分别对两个加速度计的输出信号加入信噪比为5 dB、10 dB、15 dB和20 dB的高斯白噪声，得到含噪声的加速度计信号，其中仿真加速度计输入信号和含噪声加速度计输出信号如图2所示。

应用本文方法对仿真参考加速度计和被校加速度计的输出信号进行降噪，权值系数α＝0.5，并与传统的基于小波变换的阈值降噪方法进行对比，选取去噪效果较好的小波基函数‘db3’，对信号进行6层数分解。

为了评价加速度计信号降噪效果，将信噪比SNR(Signal Noise Ratio)和频率响应函数均方根误差(RMSEH)作为评价指标，SNR、和RMSEH表达式分别为式(6)和(7)所示。

图2 仿真加速度计输入信号与含噪声加速度计输出信号波形图

式中：x(i)为不含噪声仿真加速度计输出信号，s(i)为含噪声仿真加速度计输出信号，i＝1，2，…，m，m表示时域信号长度，H(ωl)是利用测量得到的加速度计输出信号获得的被校加速度计频率响应函数估计，H0(ωl)为仿真被校加速度计的频率响应函数，l＝1，2，…，L，L 表示频率响应函数长度。

表1给出了参考加速度计和被校加速度计输出信号降噪前后的SNR。

表1 不同SNR下加速度计输出信号降噪结果

由表1可以看出，本文方法相较于传统的基于小波变换的阈值降噪可以获得更高的SNR，能够更好的降噪。

表2给出了不同SNR条件下被校加速度计频率响应函数估计误差。由表2可以看出，本文方法相较于传统的基于小波变换的阈值降噪可以减小与设定的被校加速度计的频率响应之间的误差。

表2 不同SNR下被校加速度计频率响应函数估计误差

由估计出的频率响应曲线与模型的频率响应曲线对比结果如图3所示。

图3 被校加速度计幅频响应

由图3可以直观看出，本文方法优于传统的基于小波变换的阈值降噪方法的降噪效果，幅频曲线更加平滑，并且可以有效降低被校加速度计频率响应中谐振频率附近的噪声。

3.2 加速度计比较法冲击激励校准

将本文方法应用于加速度计比较法冲击激励校准，实验系统如图4所示。该系统由冲击激励装置、参考加速度计(型号：271A01)、被校加速度计(型号：222A02)、电荷放大器及PCIe数据采集卡等组成。参考加速度计和被校加速度计通过背靠背方式固定，并内置于冲击激励装置的竖直圆管内，其上装有钢珠，利用钢珠下落实现冲击激励。两个加速度计输出的电荷信号经电荷放大器转换为电压信号，并以1 MHz的采样频率同步采集。

图4 加速度计比较法冲击激励校准实验系统

图5 加速度计比较法冲击激励校准加速度计输出信号波形图

利用上述实验装置获取参考和被校加速度计输出信号，实验共重复十次。

其中，第5次实验的参考和被校加速度计输出信号如图5所示。

应用本文方法对仿真参考加速度计和被校加速度计的输出信号进行降噪，权值系数α＝0.5，并与传统的基于小波变换的阈值降噪方法进行对比。其中，选取的小波基为‘db3’，分解层数为6。

为了评价加速度计信号降噪效果，将SNR[21]、RMSEH和平滑度[22－23]作为评价指标，其中，平滑度指标表示了信号的频率响应函数的局部变异信息，其值越小，表示降噪后更接近原始信号，降噪效果越好[3]。SNR、RMSEH和平滑度表达式分别为式(8)、式(9)和式(10)所示。

式中：s(i)为加速度计输出信号，~x(i)为降噪后的加速度计输出信号，i＝1，2，…，m，m 表示时域信号长度，H(ωl)是利用测量得到的加速度计输出信号获得的被校加速度计频率响应函数估计，~H(ωl)是由降噪信号获得的被校加速度计频率响应函数估计，l＝1，2，…，L，L 表示频率响应函数长度。

表3给出了参考加速度计和被校加速度计输出信号降噪前后的SNR。

表3 校准实验加速度计输出信号降噪结果

由表3可以看出，本文方法相较于传统的基于小波变换的阈值降噪本文方法可以获得更高的SNR，能够更好的降噪。由表4可知，在加速度计比较法冲击激励校准中，本文方法能够有效降低加速度计输出信号中的噪声，利用降噪后的加速度计输出信号获得的被校加速度计频率响应函数具有较低的RMSEH和较高的平滑度。

表4 校准实验被校加速度计频率响应函数估计误差

4 结论

本文提出了一种基于序列相关和小波变换的加速度计信号降噪方法，利用同一激励下不同加速度计响应信号小波系数间的相关性，将互相关系数引入小波阈值降噪中，改进阈值，使阈值具有一定的自适应性。实验证明，该方法能够有效降低了加速度计输出信号中的噪声，提高了加速度计频率响应函数估计精度。