融会贯通——概率与其他知识点的交汇分析

辽宁省凌源市凌源中学 戴天羽

数学是一门科学性极强的学科，知识点之间联系很紧密，如果学生只是学会了某些单独的知识点，而没有思考过将这些知识联系起来，那学生就不算真的学会，也就体会不到数学的精妙之处。概率是高中数学中非常重要的组成部分，与高中其他知识点之间相互渗透，且概率与其他知识点的交汇也逐渐成为高考试题中的一个亮点。所以，本文从以下两个方面来对高中数学中的概率与其他知识点的交汇进行分析，以期能够提高学生融会贯通的意识，进而促进学生数学能力和数学核心素养的提升。

一、概率与数列

数列一直是高中数学教学中的难点，数列的规律性和逻辑性较强，要想学好数列知识，不仅需要学生有一双善于发现的火眼金睛，而且对学生的逻辑思维能力要求也比较高。而概率近年来也比较受高考的青睐，将概率与数列结合起来，是对学生数学能力更高层次的要求，同时，学生的学习能力和创新能力也会在此过程中得到快速的提升。

例如：甲、乙二人玩“蒙眼睛跳格子”的游戏，甲这边的格子上分别标有01、04、07、010、013、…；乙那边的格子上分别标有02、06、010、014、018、…。游戏规则设定如下：由甲蒙着眼睛在乙那边打乱顺序的格子上任意跳一下，若甲所跳到的格子上所标的号码正好自己那边的格子上也有，则甲获胜，否则乙胜。求：在此游戏中，甲获胜的概率有多大？

这是一道典型的概率与数列相结合的题目，要想求甲获胜的概率，就要找出甲、乙两边有多少标有相同号码的格子。将甲这边格子上的数组成的等差数列设为an（1≤n≤100），则an=3n-2，1≤n≤100。乙那边格子上的数组成的数列为bn，同为等差数列，bn=4n-2，1≤ n≤ 100。 设 an=bm， 则 有 3n-2=4m-2，n，m∈N＊，由此可得n=m，m为3的倍数，设m=3k，k∈N＊，

二、概率与不等式

在高中数学教学中，不等式既是难点，也是重点。而将概率与不等式结合起来，可以给概率学习和不等式学习都提供一种新的思路，也可促使学生在学习中思维变得更加灵活。而且有时从概率的角度去看不等式，会让一些复杂难解的不等式变得更容易理解，最重要的是这有助于学生思维能力的培养。

例如：某蛋糕店以每个1元的成本制作布丁，然后以每个3元的价格出售。如果当天制作的布丁卖不完，剩下的布丁则会因为口感不好而不再卖出。为求利润最大化，也为了避免浪费，蛋糕店一天制作30个布丁，试运营30天。蛋糕店记录了30天布丁的日需求量（单位：个），如下表所示：

日需求量n 24 26 28 30 32 34 36频数 4 5 4 6 4 5 2

（1）请求出蛋糕店在这三十天内的日平均利润；（2）若蛋糕店一天制作30个布丁，以30天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于53元的概率。

在解答此题时，可以先求出利润y关于日需求量n（n∈N）的函数解析式，即：y=3n-30（n≤29）；y=60（n≥30）。有了函数解析式，则问题（1）中所求的30天的日平均利润y=[（3×24-30）×4+（3×26-30）×5+（3×28-30）×4+60×（6+4+5+2）]÷30=54.8。而问题（2）中，利润不少于53元当且仅当日需求量不少于28个，所以当天的利润不少于53元的概率为P=

这是一道常见的概率与不等式结合的题目，在解答时，学生需要先列出利润y关于日需求量n的不等式，然后再结合概率的知识求解。需要注意的是，在解答这类题时，学生要有清晰的思路，明确自变量的取值范围。

在概率与不等式中还有一类比较常见的题型，例如：小李报名了某公司8：00至9：00间举行的相亲会，相亲规则要求先到者等候10分钟，若在有效时间内见不到对方就可自行离去，假定在相亲的时限内见面的概率是等同的，求见面成功的概率。这道题是线性规划和概率的结合，在解题时只需将两人见面成功所满足的条件在坐标系中表示出来，根据面积之比即可求出概率。

这是一道典型的关于几何不等式的概率题，它的基本事件是平面上的一些点，而且发生的可能性都是等同的。对于这类题的求解是有规律可循的，即：如果是直线上的点，那么概率就是长度之比；如果是二维平面上的点，那么概率就是面积之比；如果是三维空间中的点，那么概率就是体积之比。

总而言之，高中数学中，概率与其他知识点结合的题目新颖别致、立意巧妙，着重于考查学生的综合素质，而且这对学生学习能力和思维能力都具有非常重要的促进作用。所以，在高中数学的教育教学中，教师有意识地引导将知识联系起来对学生进行训练，促进学生综合能力的提升。