基于GUI类氢离子中电子概率密度的可视化设计

李 轩 袁 琦 高志华，2

(东北师范大学 1物理学院, 2物理学国家级实验教学示范中心，吉林 长春 130024)

量子力学作为四大力学之一，在物理类本科学习阶段非常重要。但因其涉及的诸多物理问题与经典理论相差较大，相关理论的推导过程亦较为繁杂，故量子力学对于初学者来说接受起来往往较为困难。随着现代化教学手段的发展，基于Matlab等一些软件平台对一些物理问题进行可视化模拟被得到广泛研究[1-5]。本文利用Matlab软件中的GUI功能对氢原子或类氢离子中电子的概率密度分布问题进行可视化设计，利用该程序输入核电荷数、主量子数、角量子数和磁量子数等就可以直接得到相应的概率密度分布图像，方便快捷。

1 类氢离子中电子的概率密度

类氢离子中电子的定态波函数为

ψn lm(r，θ，φ)=Rn l(r)Yl m(θ，φ)

(1)

其中，Rn l(r)为径向分布函数；Yl m(θ，φ)为角向分布函数；n、l、m分别是主量子数、角量子数和磁量子数，每一组量子数(n，l，m)对应一组波函数。

类氢离子的径向分布函数和角向分布函数分别为

利用径向波函数，可以求得电子在(r，r+dr)球壳中的概率为

(4)

同理，可以求得电子在(θ，φ)方向的立体角dΩ中的概率为

wl m(θ，φ)=|Yl m(θ，φ)|2dΩ

(5)

2 基于GUI类氢离子中电子概率密度的可视化设计

2.1 类氢离子中电子概率密度的径向角向图像可视化设计

图1 类氢离子中电子概率密度分布可视化流程图

图1给出基于GUI得到类氢离子中电子概率密度分布的流程图。由图可知，概率密度分布界面包括了设置可编辑文本框、单功能按钮、绘图等控件属性及编写相应的回调函数(call-back)。考虑可编辑文本框输入的量子数之间必须满足l=0，1，…，n-1；m=-l，-l+1，…，l；在编写回调函数时，利用如图2所示的错误对话框以确保所输入的量子数准确有效。

图2 错误对话框提示

在量子力学教材和一些文献中，容易找到低阶量子态氢原子或类氢离子中电子的概率密度分布图像。为验证程序的正确性，下面以氦离子为例，取Z=2，给出部分量子数下的电子概率密度分布图像。同时考虑角向概率密度分布为三维图像，利用max函数和text语句得到角向分布的最大概率密度值，如图3所示。

图3 氦离子(Z=2)中电子概率密度分布运行图示(a) n=11，l=10，m=1时,He+中电子概率密度分布图像；(b) n=11，l=10，m=2时,He+中电子概率密度分布图像；(c) n=11，l=10，m=3时,He+中电子概率密度分布图像；(d) n=11，l=10，m=4时,He+中电子概率密度分布图像；(e) n=11，l=10，m=5时,He+中电子概率密度分布图像；(f) n=11，l=10，m=6时,He+中电子概率密度分布图像；(g) n=11，l=10，m=7时,He+中电子概率密度分布图像；(h) n=11，l=10，m=8时,He+中电子概率密度分布图像；(i) n=11，l=10，m=9时,He+中电子概率密度分布图像；(j) n=11，l=10，m=10时,He+中电子概率密度分布图像

对于高阶量子态氢原子或类氢离子中电子的概率密度分布，由于波函数形式非常复杂，所以一般在量子力学教材中很少涉及。通过该可视化软件可以得到任意一组量子数对应的电子概率密度分布图像。

图4所示的氦离子中电子概率密度分布图像由于核电荷数和量子数大小的增加，图像变得更为复杂。径向概率密度分布曲线存在14个极大值和13个节点，主极大距原子核距离较大，同时主极大的相对概率密度较低；角向概率密度分布图像呈带有圆盘的双钵状，与相关理论相符。

图4 n=25，l=11，m=9时，He+(Z=2)中电子概率密度分布运行图示

2.2 主量子数一定时，类氢离子中电子径向概率密度分布比较的可视化设计

为更好地研究在主量子数n一定时，氢原子或类氢离子中电子径向概率密度随角量子数l的分布规律，设计出图5所示的可视化程序，通过该程序输入核电荷数和主量子数即可得到不同角量子数下的径向概率密度分布比较图像。

图5 n=3时，氢原子(Z=1)中电子概率密度分布运行图示

图5说明在主量子数n已知的情况下，角量子数可取值l=0，1，…，n-1；每条曲线有n-l个峰，n-l-1个节点。特别地，对于l=n-1对应的“圆轨道”，峰对应的横坐标为r=n2az，此时峰值为曲线的最大值，与已知理论一致，表明该可视化程序是正确的。

3 结语

利用Matlab制作人机交互界面，直接输入或改变相应参数就可得到所需氢原子或类氢离子中电子概率密度分布图像，有助于量子力学等课程的多维度教学，为理解高阶量子态氢原子或类氢离子中电子概率密度分布提供了一种途径，对Matlab更好地在物理教学中发挥作用做出有益的尝试。