索末菲量子化条件及其在周期性运动中的应用

韩易龙

摘 要：氢原子问题和黑体辐射能谱问题催生了上个世纪旧量子论的发展[1]，至索末菲提出量子化条件，所有的周期性运动均在旧量子论的体系下得到初步解释，但结果时好时坏。本论文试图总结索末菲量子化条件应用到氢原子问题，谐振子问题，势阱问题中的结果，并对结果做出探讨和解释。这为理解和使用索末菲量子化条件以及旧量子论的有效性和局限性提供基础。

关键词：索末菲量子化条件；周期性运动；氢原子；光谱；势阱

中图分类号：G807 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）03-0228-01

索末菲量子化条件（以下简称索条件）∮pdq=（n+D）h[2]从提出到完善至今已有百年左右，其在氢原子问题中的应用广为人知，在谐振子问题，方势阱问题等问题中的应用尚未引起足够的关注，对索条件的正确性与适用性及其在一般性周期性运动中的应用的探讨不够深入。本文将针对几个具体的物理问题利用索条件求解其能级，并对索条件在一般性周期性运动中的应用进行抽象和总结。

1 氢原子问题

按经典电磁学理论，氢原子中的电子最终因变加速运动向外辐射电磁波而坠落到原子核，这是氢原子的稳定性问题。氢原子光谱问题是指，实验上测到氢原子的吸收谱有很多独立的吸收峰。这两个问题最初无法得到很好的解释。本文将利用索条件对氢原子电子绕核周期性运动进行量子化，从而解决氢原子问题。

将索条件应用到氢原子问题中（取常数D为0）：

结合氢原子中静电吸引提供向心力，可得到ke2=mernvn2。

因此轨道半径为rn=，进而可以得到氢原子的能级：

这些结果对应着波尔三条假设的定态假设，也即电子位于特定轨道上，由于存在能量最低的轨道（n=1），所以氢原子是稳定的。根据波尔的跃迁假设，电子从n跃迁到m（n

同时我们可以验证波尔的对应原理，可以使用上述结果验证当n很大时，相邻能级之间的跃迁频率和电子轨道的运动频率一致。另一方面，经典电磁理论预言辐射电磁波频率和电子运动频率相同。这说明在n很大时，量子力学的结果趋向于经典运动的结果。还可以做一个有趣的类比，将上述结果应用于天体运动中（只需要做替换ke2 GMm），但此结果物理意义不大。

2 谐振子问题和分子光谱

不同于原子光谱，分子光谱在近红外波段也有吸收峰，这些吸收峰实际上来源于分子的振动能级[3]。以CO为例，碳氧间的相互作用可等效为谐振子势V=mω2x2，原子间相对运动是周期性简谐运动。运用索条件对该运动进行量子化：

得到轨道An=和能级 。当然，索条件无法指出常数D的值，根据薛定谔方程的结果，取D=即为正确的谐振子能级。

依据上述结果结合原子质量和原子间相互作用强度可估算振动频率在10-13s-1附近，对应波长10μm左右，属近红外波段，和实验结果在数量级上吻合。

谐振子势应用十分广泛，原则上在平衡点附近的小振动基本可以利用谐振子势描述其运动，尤其值得指出，电子在磁场中的圆周运动也可转化为谐振子问题，最终得到朗道能级。但如果利用索条件对该运动量子化，得出的能级结果和朗道能级相差一个系数，这说明索条件具有一定的局限性。

3 势阱问题

势阱问题在物理学中也十分常见，金属中的自由电子，封闭空间内部的理想气体所受到的势都可以模拟成无限深势阱。在这里我们利用索条件对一维无限深方势阱（V（x）=0，0a）中的周期性运动进行量子化，∮pdq=2mvna=（n+D）h，得到能级（取D=0）。

这是单粒子的能级结果，考虑宏观系统中约有1023个粒子，原则上可以利用能量加和的办法（忽略粒子间相互作用）得到整个系统的能级。结合统计力学的方法，可以得到系统（包括自由电子气，理想气体，光子气体）的热力学性质。

一维势阱问题原则上都可以利用索条件进行量子化。考虑一个有趣的物理情形，自由落体的弹性小球撞击地面后反弹，其势能曲线为V（x）=mgx，x>0；V（x）=+∞，x<0。依据索条件我们计算轨道和能级：

∮pdq=（n+D）h=2，

能级为En=mgHn=。

4 一般性周期性运动

原则上，索条件可以运用于任意周期性运动。对于一般的一维势，我们可以利用相空间和相曲线的概念简化我们的求解过程。能量守恒要求运动过程中是一个定值，因此在（q，p）形成的二维相空间中，能量的等高线给出了运动的相曲线E（q，p）=E。周期性运动对应的相曲线是闭合的，索条件中积分∮pdq的含义是相曲线在相空间中的内部面积，另一方面，每一条相曲线和能量一一对应，因此，索条件实际上是挑选出来一系列符合该条件的相曲线和相应能级。对于二维甚至高维周期性运动，如果通过一定的方法将之分解为多个自由度上的一维周期性运动，即可利用以上讨论的方法量子化该运动，如果运动不能分解，我们可以回到先求解运动轨迹再量子化的方法。

周期性运动对应的轨道是闭合的，这意味着运动状态属于束缚态，利用索条件求解的结果为束缚态能级。针对非束缚态，索条件中的积分一般是发散的，同时运动也是非周期的，这意味着非束缚态的能级是连续的，而不像束缚态情况下求解出来的分立的能级。

5 结语

本文讨论了索条件在各种周期性运动中应用的结果，并对一般周期性运动的求解过程进行了讨论。可以看出利用索条件对周期性运动进行量子化，过程简单，结果通常不错，但是也有一定的局限性。一是索条件没有办法给出常数D的取值，二是索条件在某些情况下（如电子在磁场中的圆周运动）给出来的结果会和正确结果相差一个系数因子。这些优点和不足提醒我们在使用索条件时要谨慎小心。

参考文献

[1]刘乃汤.量子力学的历史回顾[J].物理通报，1999，09：44-45.

[2]朗道.量子力學（非相对论理论）[M].北京：高等教育出版社，2011：157-162.

[3]褚圣麟.原子物理学[M].北京：高等教育出版社，1979：256-259.