把握数学本质促进有效建模

林迎陶

摘 要：简便计算是学生需要掌握的一项基本计算技能，而乘法分配律又是小学阶段学生比较难理解与叙述的简便运算定律，因此在简便计算的教学中应该增强他们的对比辨析、从整体把握简算知识结构的能力，帮助他们有效建模，以提升简便运算能力。

关键词：有效建模；乘法分配律；简算意识

一、乘法分配律简便计算错误成因剖析

为了了解学生的错误原因，本文对福建省泉州市鲤城区实验小学四年1班60名学生展开了一次运用乘法分配律简便计算的专项调查。经过整理，我发现学生典型错误主要有：①35×201=35×（200+1）；②125×25×32=125×8+25×4；③12×97+3=12×（97+3）；④8×（125+9）=8×125+9；⑤35×201=35×200+1；⑥13×55+55×87=715+4785。造成以上错误有多种因素，但经过分析，总的来说可以分成教材、教师、学生三个因素。

（一）教材因素

教材的设置生活味很浓，但贴瓷砖对学生来说比较不熟悉，学生对不熟悉的事物难以理解也造成了学习乘法分配律的困难。此外数字的小化处理虽然节约了计算的时间，然而也正是因为数字太小，学生可以直接口算得出结果，因而学生丧失了探究的强烈动机。同时，较小的数量无法显示出乘法分配律的计算优势，因此造成学生后续学习效果欠佳。而且第七册就开始学习乘法分配律显得比较早（人教版、苏教版都安排在第八册），在学生未接触运算规律的学习及运用时过早地引入乘法分配律比较突兀。而且乘法分配律是具有中高难度的运算定律，根据对初高中学生的反馈，在乘法分配律这一块学生一直难以真正地掌握计算规律，造成以后在学习数学中遇到此类问题时容易出错，因此学生不易掌握知识模型。

（二）教师因素

绝大多数教师在进行乘法分配律教学工作的过程中均高度重视算式外在形式的部分，反而忽略了算理的介绍，这样造成的后果就是学生记不住乘法分配律的基本法则，更难以运用其进行简便计算。学生更偏向于死记硬背，并未掌握实际内涵，时间稍长，就会出现知识链断裂的现象，即便大量做题，也无法真正掌握技巧。因为大量做题应该是在熟悉基础知识后的巩固练习，在对基本知识不熟的情况下进行的练习产生了错误的印象反而难以去除。此外，教师为了帮助学生更快掌握乘法分配律的技巧，会加大练习题的数量，而练习题往往千篇一律、缺乏创新，这就使得学生感到学习乏味，降低了学习效率。乘法分配律的基本应用只有两个数相乘换算成两组数相乘再相加，或是两组数相乘再相加换算成两个数相乘，教师出大量的习题反而会增加学生的畏难情绪。

（三）学生因素

第一，心理因素：对于中高年级的学生来说，他们具有较强的自尊心，不仅不会高度重视自身心理或者是行为方面的不足，反而会下意识地予以掩饰。若无法学好数学，在题目无法解答时其往往会避重就轻，故意忽视问题。第二，认知因素：学生通常并未真正累积大量感性。乘法分配律对学生来说是新鲜的事物，之前并不具备相应的经验以及感性。尽管学生在学习笔算乘法（如两位数乘一位数、三位数乘一位数等）的过程中有接触到乘法分配律，然而当时并未予以高度重视，纯粹是自我感受，并未掌握清晰的算理，在教学过程中通常只是初步了解规律，其实没有对所学知识予以内化。第三，思维因素：学生经常对题目运算已经形成思维定式，课上学什么就做什么作业，在没有理解题目后就运用相同的方法计算，这很容易造成学生没有牢固掌握乘法分配律的方法后与其他知识相互干扰的情况。

二、提高乘法分配律简便计算的有效教学对策

只有知道自己的问题才可以真正解决问题。在上述因素研究之后，本人的观点是，必须加深学生对“数学本质”的理解。因此，本人认为应当从以下三个方面入手促使学生进行建模。

前伸阶段——全面掌握，重视前期渗透；中实阶段——认识实质，推动意义建构；后延阶段——向外拓展，增强简算意识。

（一）系统把握，提前渗透

在乘法分配率学习过程中教师应当切合实际，必须高度重视学生已经掌握的知识，明确其生长点，凭借适应与同化，创建相应的认知结构。而学生已经掌握的知识与其生长点又是哪些？如何创建全新知识结构？

对于学生而言，其已经掌握的知识便是几个几就是几个几再加上几个几的和，或者是几个几减去几个几的差。由于低年级学生在开始学习乘法数理之后，在之后的教学内容中均会有所提及。

1.全面了解乘法算式的实际内涵

在《7的乘法口诀》内的习题之中出现如图1所示的题目：

在教学这一题目时，我们不单纯为了计算而完成计算，必须尽可能反映练习题的多方面价值。若是学生计算出：“7×8=7×6+7×2”时，可以继续追问：你是怎么想的？学生明白6个7加2个7，就等于8个7，所以可以用“7×8=7×6+7×2”，接著教师再问：除了这种方法，我们还可以怎样表示呢？学生答“7×8=7×5+7×3”等。这实际上便是掌握乘法分配律的重要方式。若是在做该类习题的过程中，教师可以让所有学生均明确乘法的真正意义，则有利于其日后真正了解并掌握乘法分配律。

2.借助整数加减法提前渗透

例如，第四册教材中第43页，“整百数相加”——《买电器》，如图2所示。

“500+800”即可理解为“5个一百和8个一百合起来是13个一百”。如果把这个思维过程用乘法分配律写出来就是“5×100+8×100=（5+8）×100”。通过这种方式，教师可以把无意识渗透提升到有意识渗透，使学生对乘法分配律的内涵理解得更为透彻。

在平时教学中，如果教师能真正了解教材的实际意义，全面掌握教材的内容，在对低年级学生进行教学的过程中便融入乘法分配率的有关数理，这既能整理、概括乘法分配律打好基础，也能帮助学生在进入高年级后更快掌握乘法分配律的方法。

（二）立足本质，促进意义建构

在当代数学观的重点内容之中有如下介绍：在数学教学过程中应当致力于协助学生创建应用、研究与赏析、建构等各类模式的具体能力，换而言之，即必须通过简单的方式以及实质的内容对学生所掌握的有关知识进行建模。乘法分配律也是一样，应将实质当作切入点，给学生并不陌生的各类问题创建适宜的情境，促使学生可以在实际教学过程中自己领悟、探索、检验、归纳、总结，最后创建相应模型，给学生创建科学合理的“首因效应”。

1.精选问题情境，为自主建模提供支点

学生在明确计算方法时，主要还是凭借在日常生活中所积累的经验以及自身感悟，而且学生在建模的过程中要接触多侧面、多层次的丰富的现实问题原型。在乘法分配律教学时，可将“贴瓷砖”改为“买衣服”，购物情境更贴近学生的生活实际，让学生在熟悉的情境中，利用已有的生活经验、知识，探索数学和日常生活过程中的相似之处，由此便能真正解决数学学习过程中所出现的抽象性以及学生自身所具备的形象性间的不匹配的问题。

新授中，可出示例题：天气逐渐变凉，王叔叔前往批發市场采购衣物，其挑选了一件外套与一条裤子，其中外套价格为63元/件，裤子的价格则是37元/条，试问他要购入8套，总计多少钱？你能通过什么方法解答？学生列出63×8+37×8、（63+37）×8两种算式后，教师在要求学生对上述两个答题方式展开对比研究，除了应当明确上述两个方法均是正确的，也都可以使用，还应当让学生发现这套衣服的价格正好是100，若是将其先相加之后再相乘时则更加利于计算，并能掌握更为简便的答题方式。

2.注重意义感悟，为自主建模打下基础

在学生得出63×8+37×8=（63+37）×8后，我们不能仅单纯地由计算层面入手去探索同时予以检验，还应当乘机询问“若是不通过计算，能不能通过之前掌握的理论来予以阐述这两个方法相等的原因”，随后便运用数形有机融合的方式来促使学生按照乘法的真正意义来对上述问题进行分析。如可以呈现下面的情境：

小区有一个长方形花圃，原来长63米，宽8米，由于要扩大绿化面积，长增加37米，如图3所示。求扩建后的花圃面积，在数形图的帮助下明白8个63+8个37=8个100（63+37）的道理。在之后的学习之中，还应当不断强化该类情境，并且让学生可以根据算式去自由构想相应的情境，通过自主思考明确算式的实质意义。

3.逐步抽象概括，为自主建构搭建模型

依据前文分析，能具有横向对比、逐步符号以及新旧比较等三个层次的抽象过程，让学生在建模过程中对数学思想

方法进行提炼与感悟，增加建模的厚度，催化建模的理性提升。先将“8套”改成“20套”横向比较抽象，再将“20套”改成“c套”，“63元”则转变为“a元”，而“37元”则转变为“b元”，这便是不再具有相应数值的抽象，开始朝符号抽象的方向发展，由此来让学生加深对乘法分配律实质的理解，同时获取与之对应的字母表达方式；最后再引导学生进行新旧知识对比，相互交流长方形周长公式以及路程计算公式等所有理论与实践之间的关联性，进一步加强对乘法分配律特征的认识，完善关于运算定律的认知结构，这样乘法分配律模型的建构在以上三次抽象中自然就水到渠成了。

（三）后期延伸，提高简算意识

1.理解为本，强化对比性

乘法分配律对学生来说是一个比较难解的运算定律，且又容易与其他的定律混淆，再加上它的应用丰富多变，学生必然会有雾里看花的感觉，经常出现错误。因此，在初始学习阶段，教师一定要注重“悟”，不能“灌”，引导学生真正理解其意义本源，寻找这些特例与运算定律之间的内在联系，让学生从“形式”过渡到“内涵”，深入知识“心脏”，组建全新认知框架。比如，在简化计算99×38以及27×301的过程中，教师应该充分发挥出其引导作用，让学生做出比较研究，99×38所代表的是99个38相加所得的值，那么可以率先计算100个38相加得到的值为3800，再减去38，得出的值便是3762；而27×301则是301个27相加，可以率先得出300个27相加的值为8100，随后再加上27，得到的值为8127。如此一来，不仅能对算式意义进行准确划分，同时也可以从实质入手，在计算和乘法分配率之间创建内在关联性。为了提高学生对乘法分配律的兴趣，教师可以事先出一套计算卷子，题型全部为可分解应用乘法分配律的相关题。学生可以采用乘法分配律计算，也可以不采用乘法分配律计算，但一定要在规定的时间交卷，这样通过对比学生完成的题目数量以及正确律，让学生确实感受到乘法分配律的简便，增强学生的求知欲。

2.指导学法，拓展变式题

在学生掌握整数运算的前提下，便可以延伸至分数和小数计算来拓展学生的知识面，此时学生可能会觉得难度过大，产生排斥心理。因此，教师不仅应当不断强化算理实质的阐述，同时还应当不断强化学习方法的引导，培养学生举一反三的能力，提高他们对数字的敏感性。

针对一部分学生在对小数进行拆分的过程中会产生大小发生变化的情况，教师必须要求其在拆分环节进行检查，确定其是否正确。比如，针对9.9×3.4=（10-0.1）×3.4，则需要学生检验9.9拆分成（10-0.1）是否正确。而针对b+b×99时，学生在精算计算时也可以将b当作b×1，并把 b×1标在上面，也就是可以看成b×1+b×99，如此便能让学生明确拆分结构，并计算得出正确的答案。还有9.3÷0.25-5.3×4=9.3×4-5.3×4=（9.3-5.3）×4=4×4=16，3.6×7.3+0.64×73=3.6×7.3+6.4×7.3=（3.6+6.4）×2.3=

10×7.3=73。此时教师便应该让学生掌握小数各类运算的规律和各类变形技巧，以此来实现乘法分配律的具体结构特征的把握。教师在讲解并带领学生练习了一段乘法分配律后引导学生总结乘法分配律的基本法则，培养学生的归纳总结能力。在这一过程中教师可以提出几个问题让学生按照问题的思路来总结：乘法分配律通常将什么样的数进行拆分（接近于整数的数）？乘法分配律涉及哪几种运算（乘法、加法、减法）？乘法分配律分配两个字怎么理解（分别相乘再相加或减）？怎样用图形或字母表示乘法分配律（□×（△+☆）=△×□+☆×□，a（b+c）=ab+ac）。

3.优化算法，培养灵活性

絕大多数学生仅仅在标注了“简便运算”这四个字时才知道需要运用简算方法，这也跟上文分析的思维定式相关。面对该情况，在做练习题的过程中，教师应当引导学生在涉及相关计算时，无论是否要求进行“简便运算”，均应当具有简算这一理念，挑选适宜简化的计算方式，有效提升自身效率与准确率。比如，三年级2个班回收废纸，1班回收了53千克，2班回收了47千克。如果每千克废纸值6角，一共可以卖多少元？设计这样的练习，让学生意识到，简算绝非单纯计算题可以运用，应当针对所有涉及计算的方面均具备简算思想，尤其是在处理日常生活问题的过程中。此外，教师在教学过程中，需要同时呈现可以使用和不能使用乘法分配律的习题，增加练习难度，让学生明辨不同，加深他们的体验和认知。

4.集中易错题，强化练习

教师可以将乘法分配律计算中易错的题型集中起来，让学生进行挑错。学生容易发现别的人错误，在修改别人的错题过程中强化了记忆，避免出现类似的错误。比如，最初调查中发现的易错题型：①13×55+55×87=715+4785；②125×25×32=125×8+25×4；③12×97+3=12×（97+3）；④8×（125+9）=8×125+9；⑤35×201=35×200+1。由学生改正后教师归纳出乘法分配律一共容易出现以下几种错误：可以采用乘法分配律而未采用的，不可以采用乘法分配律而采用的，擅自加括号改变计算规则的，分配律展开计算时未分配乘入的，乘法分配律计算过程中应当加括号未加括号改变计算结果的。这样经过了纠错练习，使学生在利用乘法分配律时把握了规则的实质并做到熟练应用。

三、结语

刘加霞教授曾说：“把握数学的本质是一切教学法的根。”简便运算的最终目的是培养学生善于思考、思维灵活、自主运用的能力，它是一个长期培养的过程，因此我们在看到问题表面的同时，更应寻根问源。教师只有理解并把握数学本质，从学生的问题出发，把握学生思维的脉络，把教学落到学生的困难处，帮助学生真正理解数学知识的本质，才能有效促进学生自主建模。乘法分配律是小学数学教学中比较重要的内容，引导学生掌握乘法分配律的运算法则及精髓，才能更好地学习《乘法分配律》这一章节。

参考文献：

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