对称性在简化积分计算中的应用

林乐义

【摘要】 本文总结、归纳了积分区域的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性在积分计算中的一些重要结论，并通过例题演示了这些对称性的结论在计算积分时可以大大简化积分计算，提高解题效率.

【关键词】 积分;对称;应用

一、引 言

在定积分的计算中，利用积分区间关于原点对称的特点和被积函数的奇偶性可以大大简化积分的计算量，起到事半功倍的效果.此性质经过推广，在二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分的计算中，利用积分区域关于坐标轴、坐标面对称的特点和被积函数的奇偶性，同样可以大大简化积分的计算.此外，在积分的计算过程中，利用积分区域和被积函数的轮换对称性也可有效地起到简化计算的作用，本文拟系统介绍这方面的结论，并举出相关应用实例给予说明.

二、有关对称性的结论

（一）在定积分的计算中

若积分区间关于原点对称，则

∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函数，0，f（x）在[-a，a]上是奇函数.

（二）在二重积分的计算中

1.若积分区域D关于x轴对称，则

D f（x，y）dσ=

2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量y是偶函数，0， f（x，y）在区域D上关于变量y是奇函数，

其中D1是区域D在x轴上方（或下方）的部分.

2.若积分区域D关于y轴对称，则

D f（x，y）dσ=

2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x是偶函数，0， f（x，y）在区域D上关于变量x是奇函数，

其中D2是区域D在y轴右侧（或左侧）的部分.

3.若积分区域D关于原点对称，则

D f（x，y）dσ=

4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x和y都是偶函数，0， f（x，y）在区域D上关于变量x或y是奇函数，

其中D3是区域D在第一象限的部分.

4.若积分区域D关于直线y=x对称（轮换对称性），则

D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2  D [f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）在三重积分的计算中

1.若积分区域Ω关于坐标面x=0对称，则

Ω f（x，y，z）dv=

2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，

其中Ω1是Ω中x≥0的部分.

若把x换成y或z也有相同的结论.

2.若积分区域Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则

Ω f（x，y，z）dv= Ω f（y，z，x）dv= Ω f（z，x，y）dv

= 1 3  Ω [f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.

（四）在第一型曲線积分的计算中

1.设平面分段光滑曲线L关于x轴对称，则

∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）关于变量y是偶函数，0，f（x，y）关于变量y是奇函数，

其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.

若把x换成y也有相同的结论.

2.设空间分段光滑曲线L关于坐标面x=0对称，则

∫Lf（x，y，z）ds=

2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，

其中L2是L上x≥0的部分.

若把x换成y或z也有相同的结论.

3.若积分曲线L关于x，y具有轮换对称性（当x=y时曲线方程不变），则

∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.

4.若积分曲线L关于x，y，z具有轮换对称性（当x=y，y=z，z=x时曲线方程不变），则

∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds

= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.

（五）在第一型曲面积分的计算中

1.设分片光滑曲面Σ关于坐标面x=0对称，则

Σf（x，y，z）dS=

2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）关于变量x为偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x为奇函数，

其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.

若把x换成y或z也有相同的结论.

2.（轮换对称性）若积分曲面Σ关于x，y，z具有轮换对称性，则

Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS

= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.

三、应用举例

例1   计算∫ 1 2 - 1 2  1-x  1-x2  dx.

分析  ∫ 1 2 - 1 2  1-x  1-x2  dx=∫ 1 2 - 1 2  1  1-x2  dx-∫ 1 2 - 1 2  x  1-x2  dx， 注意到积分区间关于原点对称，其中∫ 1 2 - 1 2  x  1-x2  dx的被积函数关于x是奇函数，所以此积分为0.而∫ 1 2 - 1 2  1  1-x2  dx的被积函数关于x是偶函数，由前面总结的性质可得：

原式=∫ 1 2 - 1 2  1  1-x2  dx-∫ 1 2 - 1 2  x  1-x2  dx

=2∫ 1 2 0 1  1-x2  dx=2arcsinx  1 2 0=2× π 6 = π 3 .

例2   计算 D （x2-2x+3y+2）dxdy，

其中D：x2+y2≤a2.

分析  区域D既关于x轴对称又关于y轴对称，而x2关于x是偶函数，2x和3y分别关于x和y是奇函数，故：

原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy

= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy

=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.

例3   计算 Ω （xy+1）zdv，其中Ω为曲面

z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所围区域.

分析   Ω （xy+1）zdv= Ω xyzdv+ Ω zdv，Ω关于坐标面x=0对称，而xyz关于x是奇函数，故 Ω xyzdv=0，所以

Ω （xy+1）zdv= Ω zdv

=∫2π0dθ∫ π 4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π 8 .

例4   计算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L： x2+y2+z2=R2，z= R 2 .

分析  原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，

考虑到曲线L关于yOz面对称，2x是关于x的奇函数，所以∮L2xds=0，同理，曲線L关于zOx面对称，2y是关于y的奇函数，所以∮L2yds=0，所以

原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds

=∮L（R2+3）ds-∮LRds

=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π·  3  2 R

= 3 πR（R2-R+3）.

例5   计算曲面积分S（x+y+z）ds，其中S为上半球面z= a2-x2-y2 .

分析  曲面关于坐标面x=0，y=0对称，而x和y分别关于变量x和y为奇函数，故S（x+y）ds=0，又S在坐标面z=0上的投影为x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2 a2-x2-y2  =  a2 a2-x2-y2  = a z ，

原式=Szds=x2+y2≤a2z· a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy

=πa3.

例6   计算 Ω （x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.

分析  积分区域是个单位球，关于x，y，z具有轮换对称性，所以

Ω （x2+z2）dv= Ω （y2+x2）dv= Ω （z2+y2）dv，

1 3  Ω （x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv

= 2 3  Ω （x2+y2+z2）dv

= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.

例7   计算∮L（z+y2）ds，其中L： x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.

分析  由空间曲线L的方程知道，当x=y，y=z，z=x时，曲线L的方程不变，具有轮换对称性，所以

∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，

于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，

∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，

所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.

例8   计算 Σ （x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.

分析   Σ （x+z+1）2dS= Σ （x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.

由积分曲面Σ的对称性及被积函数为奇函数的特点，知

Σ xdS=0， Σ zdS=0， Σ xzdS=0.

又由积分曲面Σ的轮换对称性知，

Σ x2dS= Σ y2dS= Σ z2dS= 1 3  Σ （x2+y2+z2）dS，

所以 Σ （x+z+1）2dS= 2 3  Σ （x2+y2+z2）dS+ Σ 1·dS

= 2 3 R2 Σ dS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.

通过上面这些例子的计算演示可以看出，在计算积分的过程中，如果能及时利用积分区域（区间）的对称性和被积函数的奇偶性以及积分区域的轮换对称性，在很多时候可以有效减少烦琐的计算量，提高解题效率.

【参考文献】

[1]丁莲珍.高等数学（下册）[M].南京：河海大学出版社，2011.

[2]徐小湛.对称性在积分计算中的应用[J].高等数学研究，2001（1）：24-27.

[3]刘洁等.对称性在积分计算中的应用[J].邵阳学院学报（自然科学版），2008（4）：23-27.