一种可观测度分析方法及在匹配模式研究中的应用

王海亮，石志勇，李国璋，王志伟

(1.陆军工程大学石家庄校区，河北 石家庄 050003；2.解放军第96864部队，河南 洛阳 471000)

0 引言

为提高捷联惯导系统的导航精度，导航前必须对惯性器件(陀螺仪和加速度计)进行误差标定，标定过程中匹配模式的选择是影响滤波估计效果的主要因素之一。为了进一步优化捷联惯导在线标定方案，研究不同匹配模式对在线标定结果的影响是十分必要的。系统的可观测性是影响标定效果的决定因素，因此需要分析不同匹配模式下系统的可观测性以选择最优的匹配模式。文献[1]基于卡尔曼滤波算法及最小二乘理论，分别研究了速度加姿态匹配、比力匹配、角速度匹配模式下的弹载惯导标定效果，但没有分析不同匹配模式优劣；文献[2]通过仿真分析采用速度匹配模式时，失准角估计效果不理想，而采用速度加姿态匹配时，当载体进行特定机动时可有效提高系统可观测性，但并没有进行理论上的分析；文献[3]在对比四种典型的可观测度分析方法基础上，基于最小二乘理论，设计了改进的局部和全局可观测度分析方法；文献[4]针对弹载惯导误差在线标定对可观测度的实际需求，提出一种基于受约束最优化的可观测度分析方法，并对其准确性及有效性进行了数学证明，但是该方法不具备普遍适用性。

本文针对捷联惯导系统在线标定过程中的匹配模式选择问题，提出一种新的可观测度分析方法，并采用该方法研究了三种不同匹配模式下的在线标定效果。

1 基于最小二乘估计理论的可观测度分析方法

在设计卡尔曼滤波器之前，必须对系统进行可观测性分析，可观测性反映了系统在一定时间内通过观测量确定系统状态的能力，其估计的精度与状态量的可观测度密切相关[5]。下面从系统初始状态的最小二乘估计角度，考虑系统的可观测度，为简化分析，考虑如下离散线性系统：

(1)

(2)

将式(2)两端对x0求偏导可得：

(3)

令式(3)等号左端为零，则能够计算得出x0的最小二乘估计为：

(4)

设估计误差：

(5)

将式(4)带入式(5)可得：

(6)

将zk=HiFi,0x0+vi带入式(6)得：

(7)

(8)

式(8)等号右侧第一项表示估计误差的衰减程度，第二项表示观测噪声对估计误差的影响，在此忽略观测噪声的影响，则式(8)可简化为：

(9)

由式(9)可得，矩阵(I+P0L0,k)-1的对角线元素反映的是状态变量中各分量的估计误差相对于各初始估计误差的衰减程度。定义系统各状态量的可观测度指标为(I+P0L0,k)-1中相对应的对角线元素，即：

ηi={diag[(I+P0L0,k)-1]}i

(10)

由上述可观测度定义可知：|ηi|越靠近零，说明估计误差的衰减越明显，则对应状态量的可观测度越大；|ηi|越靠近1，说明估计误差衰减越小，对应状态量的可观测度就越小。

2 不同匹配模式下的在线标定滤波模型

2.1 速度加姿态匹配的在线标定滤波模型

根据文献[6]给出的系统误差方程构建系统滤波模型如下：

(11)

(12)

(13)

矩阵F中各子矩阵的定义参照文献[7]。

2.2 速度加姿态加位置匹配的在线标定滤波模型

状态空间模型的建立同式(11)，由于在速度加姿态匹配的基础上增加了位置观测量，因此状态变量改为：X=[ΔVnΦnΔpnμbΔkabΔkgεb]T，其中Δpn即表示位置误差，观测量

状态矩阵改为：

(14)

其中各子矩阵的定义参照文献[8]。

观测测矩阵改为：

(15)

2.3 速度加位置匹配的在线标定滤波模型

状态空间模型的建立同样参照式(11)，具体参数定义如下：

状态变量改为X=[ΔVnΔpnμbΔkabΔkgεb]T，观测量改为状态矩阵设置参照式(12)，观测矩阵改为：

(16)

3 仿真分析

3.1 初始条件设置

为了满足卡尔曼滤波要求，对式(11)离散化，且载体机动路径设置参照文献[7]。具体滤波参数设置如下：

表1 惯性器件误差参数设置

3.2 仿真结果分析

采用本文可观测度分析方法对以上三种匹配模式下的在线标定模型进行可观测度分析，结果如表2所示。

表2 三种匹配模式下各状态量可观测指标

由表2可知：当机动方式相同时，采用速度加姿态匹配模式时各误差参数的可观测度指标都很小，都具有较高的可观测度。采用速度加姿态加位置匹配模式时，可观测指标有稍微增大，说明各误差参数可观测度有所降低，这是由于增加了位置观测量导致计算量增大，收敛时间会有所延长导致的。当采用速度加位置匹配模式时，可观测指标大幅增大，状态参数可观测度普遍较低，尤其是Y轴、Z轴加速度计零偏，X轴陀螺刻度系数误差，Y轴陀螺漂移的可观测度最差。

为了验证本文提出的可观测度分析方法的准确性，利用Matlab软件平台分别对三种匹配模式下在线标定过程进行仿真，采用标准卡尔曼滤波算法对误差参数进行估计，惯性器件各误差参数的滤波估计结果如图1、图2所示，其中直线表示预先设定值，曲线表示滤波估计值(滤波估计曲线中实线表示速度加姿态匹配的估计值，点画线表示速度加姿态加位置匹配的估计值，虚线表示速度加位置匹配的估计值)。

图1 加速度计和陀螺刻度系数误差估计曲线Fig.1 Accelerometer and gyro scale factor error estimation curve

图2 加速度计零偏和陀螺漂移估计曲线Fig.2 Accelerometer bias and gyro drift estimation curves

由图1、图2可以看出，采用速度加姿态匹配模式时，惯性器件12个误差参数的标定精度都比较高，且除Z轴加速度计零偏之外的11个误差参数的收敛时间都比较短；采用速度加姿态加位置匹配模式时，惯性器件12个误差参数的标定精度与采用速度加姿态匹配时相当，但收敛时间明显增加，尤其是X轴、Z轴陀螺刻度系数误差收敛时间都达到了80 s以上；当采用速度加位置匹配时各误差参数的估计精度较低，且收敛时间也比较长，特别是X轴陀螺刻度系数误差、X轴加速度计零偏、Y轴加速度计零偏及Y轴陀螺漂移甚至无法完成标定。因此，标定结果与表2所示三种匹配模式下12个误差参数的可观测指标是相符的，证明了新的可观测度分析方法是可靠的。

为进一步考察不同观测量对标定效果的影响，下面分别从标定精度和收敛时间两方面对标定结果进行分析。当滤波基本达到稳定后，对140～180 s时间段内的滤波估计值求平均值作为该次仿真的估计值，且为了消除随机噪声的影响，重复仿真试验5次，将5次仿真估计值再求平均值作为最终的误差估计值并求出误差标定的相对精度(相对精度=|估计值-预设值|÷预设值)，结果见表3。同时，将不同匹配模式下各误差参数的收敛时间总结见表4。

表3 不同匹配模式下各误差参数标定相对精度

表4 不同匹配模式下各误差参数收敛时间

由表3可以看出，对比速度加姿态匹配模式下各误差参数的标定精度，采用速度加姿态加位置匹配时，Y轴、Z轴加速度计刻度系数误差的标定精度有一定下降，而X轴加速度计刻度系数误差、三轴加速度计零偏、X轴陀螺刻度系数误差及Y轴、Z轴陀螺漂移等7个误差参数的标定精度都有提高；采用速度加位置匹配模式时，X轴加速度计零偏和Y轴、Z轴加速度计刻度系数误差的标定精度有一定提高，其余9个误差参数的标定精度都明显降低，其中Y轴、Z轴加速度计零偏及X轴陀螺刻度系数误差的标定精度最差。

由表4可以看出，与速度加姿态匹配相比，增加位置观测量后各误差参数的收敛时间普遍增加，尤其是X轴、Z轴陀螺刻度系数误差、X轴陀螺漂移和Y轴加速度计零偏的收敛时间增大明显。这是由于增加了观测量导致系统维数增加，必然导致计算量加大从而需要更长的解算时间；而速度加位置匹配相比速度加姿态匹配，除了X轴加速度计刻度系数误差之外，其余误差参数的标定时间都比较长，说明单纯采用速度加位置匹配模式的在线标定效果一般。

综上所述，采用速度加姿态匹配时，惯导12个误差参数的标定效果较好；采用速度加姿态加位置匹配时，误差参数的收敛精度有一定提高，但收敛时间较长；采用速度加位置匹配时，各误差参数的标定效果较差。因此，在选择匹配模式时要根据实际应用对标定效率及标定精度的要求，做到合理取舍。本文研究的误差标定是以弾载捷联惯导系统为应用背景，结合火箭炮工作实际，综合考虑标定精度及标定效率，选取速度加姿态匹配模式标定效果最好。

4 结论

本文提出了一种新的可观测度分析方法，该方法从系统初始误差衰减的角度定义了系统状态的可观测性，能够定量得到每一个状态参数的可观测度。同时推导了“速度+姿态”、“速度+姿态+位置”、“速度+位置”三种匹配模式下捷联惯导系统的在线标定模型，并采用所提可观测度分析方法对三匹配模式下各状态量的可观测度进行了定量分析。仿真试验结果表明，本文提出的可观测度分析方法是正确有效的，能够对滤波估计效果进行预测，且通过对不同匹配模式下系统在线标定的估计精度和收敛时间进行对比分析，得出在捷联惯导在线标定中选取“速度+姿态”匹配效果最好，对惯导系统在线标定方案优化有一定借鉴意义。