直线参数方程的妙用

杨博翔

摘 要：参数方程与函数类似，它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，决定因变量的结果。参数方程可以表现出非常大的灵活性和深刻性，使得直线的参数方程在某些类型的题目的求解过程中发挥非常重要的作用。本文将对一些能够使用直线的参数方程的题目进行探讨，帮助同学们更加深刻的理解直线参数方程的作用。

关键词：直线 参数方程 解题能力

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）02-0-01

直线的参数方程在解决某些直线与圆锥曲线的位置关系的题目中有着独特且不可替代的优势，用好直线的参数方程的关键在于深刻理解其几何意义，能够理解的话，可以得到事半功倍的效果。但是现在参数方程是选修部分的内容，数学老师们逐渐压缩了在教学中分配给参数方程的时间，但是参数方程在解题过程中的意义是非常重要的，如果能够熟练应用参数方程，会在解决数学大题上争取到更多的时间，还可以拓宽自己思考的方向，所以我认为学好参数方程是极为必要的。

一、用参数方程求定点到动点的距离

例1已知点A（2，3）在参数方程为 （t是参数）的直线l上，直线2x+y-2=0和直线l相交的点为B，求A到B的距离[1]。

解：第一步，将直线l的方程进行等价转化，变形成为 ，将已知的直线2x+y-2=0整体代入第一步化简的结果得t= 。所以AB=

。

有的同学可能提出了疑问，第一步的变形的意义是什么呢？我们需要理解两种参数方程形式的不同，即 和 的不同，这两种都是正确的直线的参数方程的表达形式，但是它们的t的几何意义是不同的的，在使用的时候如果不加以区分，那么就会在解题的过程中误用，出现错误的结果。

第一种形式，设 是直线l的单位向量，那么 ，设直线上的一段向量为 ， = 即 ，改变形式可得 ， ，所以参数t可以表示定点M0到直线上任意点M的距离，当直线与圆锥曲线相交，那么截得的弦长就是 。

第二种形式，设方向向量为 ，与第一种形式类似我们可以得到 ，即 。 ， 表示定点M0到直线上任意点M的距离，当直线与圆锥曲线相交，那么截得的弦长就是 。

经过分析，我相信现在同学们已经能够理解两种不同形式的直线参数方程的t的几何意义的不同了，解题的过程中一定要小心判断具体情况，给出正确的答案，若是因为自己理解上的不到位，到手的分数白白飞走，那真的太可惜了。

二、用参数方程处理最值问题

例2过点 作倾斜角为a的直线与曲线 交于点M、N，求 的最小值及对应的a的值[2]。

解：设直线方程为 （t为参数），代入曲线方程，得

，由 ，解得 ，

因为 ，所以 ，那么 = 。

当且仅当 时，等号成立，其最小值为 。

在极坐标和参数方程类的问题中，距离问题、最值问题，都应当优先考虑参数方程。

三、参数方程在几何压轴题中的妙用

（2014年辽宁理科20题）圆 的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线 过点P且离心率为 [3]。

1.求双曲线C1的方程；

2.椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程。

解析：1.雙曲线C1的方程为 且 。设P点的为 ，则切线的斜率为 ，切线方程为 化简得 ，令x=0，则 ，同理 ，切线围成的三角形面积S= ，当且仅当 取等号，此时P（ ），代入双曲线方程，又知道离心率为 ，解得 。

2.由1知椭圆C2的焦点坐标分别为 和 ，令椭圆C2的方程为 （m>n>0），由已知得 ，解得 ，所以椭圆

的C2的方程为 ；令直线AB的参数方程为 与椭

圆方程 联立得 ，令A，B

对应的参数值分别为t1，t2则 ， ，又 ，

，由题意可知， =0，即

+ =0，整理可得

+7- =0.将 ，

代入，整理可得 ，

两边同时除以 得 ，解得 或 ，l的方程为 或 。

结语

直线的参数方程是考察学生综合素质的试金石，现在的高中教材中，参数方程不在必修的内容里，但是它的重要性是老师和同学们都知道的，在直线与圆锥曲线的位置关系等问题中有着不可替代的优势，在上文中我们简要的描述了参数方程中的一些重点，对它的灵活应用有了一定的认识。参数方程在应用过程中减少了巨大的计算量，在学习中我们如果有更高的追求，那么一定要对参数方程进行更加深刻的学习和应用，拓宽自己的认识，提升自己的水平。

参考文献

[1]潘用土.直线参数方程中t的应用与误用[J].新课程（下），2016，（09）：82.

[2]王新刚.挖掘几何意义，用好参数方程[J].数学学习与研究，2016，（21）：134.

[3]洪恩锋，赵雪薇.参数方程在高考解析几何压轴题中的应用[J].河北理科教学研究，2015，（01）：28-29+39.