浅谈解析几何中含参问题教学

汪本旺 姚文建

【摘要】本文以2018年浙江高考17题为例，从三种思路浅谈解析几何中含参问题教学，思路一函数与方程，即利用消元法得到二次函数最值问题；思路二利用参数方程，即参数法解决本题最值问题；思路三利用仿射变换将椭圆化为圆，结合圆的性质和有关定理得到了结论。

【关键词】题意理解 解法赏析 引申拓展 反思突破 教学价值

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）02-0124-03

四、反思突破

1.关注基础与通法

高中数学试题经常以教材为背景，关注高中数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。全面考查基础知识，主干知识，重点知识，强调基础落实，注重问题解决的通法，例如，本题考查椭圆中参数的取值范围，本质上属于直线与椭圆的位置关系问题，涉及直线方程、平面向量的运算、对勾函数和二次函数的性质等知识点，考查函数与方程的思想、转化与划归的思想，属于难题。

思路一函数方程思想：法1，韦达定理。根据题意可以分析，直线的斜率必然存在且不为零，于是可以设出直线的方程，然后代入椭圆的方程，整理得到韦达定理；根据平面向量的坐标运算得到坐标关系，由韦达定理转化，并求出最值；最后根据最值求得参数的值。这种操作我们在教学中已经讨论了很多了，可见这便是圆锥曲线中的通法；法2，设点法。设出焦点坐标，并代入椭圆方程，得到相应关系，然后利用平面向量得出两坐标的关系，再代入椭圆方程，与前面方程联立得到目标函数；最后对目标函数求最值，进而求得参数的值；法3，点差法。以坐标为切入点，向量问题转化为坐标问题，利用消元法，得到關于参数的二次函数最值问题.值得说明的是，无论是韦达定理还是设点法或点差法，三者皆体现了设而不求、整体代换的思想，这是解析几何的通性通法。

2.关注问题与转化

转化是数学问题解决的关键，问题的合理转化体现了数学能力.化未知为已知，化复杂为简单是基本转化路径，例如如何转化本题中最值问题。我们知道，最值问题的求解形式主要有两种：一是从几何角度，利用图形的几何性质直接判断；二是构建目标函数，利用求函数最值的方法（如导数、基本不等式或配方）解决。其关键在于选择一个便于表达目标的变量（如斜率、点坐标、参数等），难点是根据具体情境选择适当方法求解最值问题。

3.关注变化与确定

数学中有些量是确定的，有些量是变化的，确定与变化是相对的，可以互相转化。有些问题需要在变化中寻找不变量，也有些问题需要在不变中发现变化的轨迹，这样才能抓住问题的本质，才能合理的解决问题。

4.关注思考与角度

数学问题千变万化，不同的理解和认识会制定出不同的解决方案。所以，学习中要善于观察、善于思考，这样才能帮助我们找到合理的解决问题的途径，拓宽我们的思路，培养我们分析问题和解决问题的能力。

五、教学价值

纵观近几年高考解析几何试题，形式多变，但基本都是在运动变化过程中探究某些不变的性质与规律。对于这类运动变化问题，解题时要从已知出发深入探究产生运动变化的根源，从而确定从直线方程入手还是从点的坐标入手。只要我们抓住解析几何的知识本质，遵循解题的基本规律，认真探究已知、结论的本质联系，解题定会“柳暗花明”。

参考文献：

[1]张星晔.解析几何中参数取值范围的常见求解策略[J].才智，2010（33）：47-48.

作者简介：

汪本旺（1985.10-），男，安徽东至人，中教一级教师，致力于高中数学教育教学。