数学精神与高等数学教学

刘强 王书臣 周文书

[摘 要] 数学教育在文化的视角下应该是数学文化教育，数学精神是数学文化的灵魂，它包括理性思维、创新精神和数学家集体人格三部分。在高数教学中，要引导大学生建立积极、健康的数学观，培养他们的理性思维，培养他们的创新精神，优化他们的人格品质。

[关键词] 数学精神；高等教学；教学

[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2019） 02-0098-02

数学是一个文化体系，数学活动是一种文化现象，这一点已得到中外专家的普遍认同。文化的本意是“以文化人”，从这个意义上讲，数学文化就含有“以数学化人”的意思。数学教育是数学文化的主要传播方式，因此，数学教育在文化的视角下应该是数学文化教育。

高等数学是大学文理科大部分专业的最为基础的一门学科，承担着培养大学生科学素质和人文素质的双重重任。是大学生在接受了十二年的中小学数学教育之后的高级的数学教育，他们在中小学掌握了一定的数学知识与方法，并且经历了中考与高考的应试数学教育的锻炼与折磨，初步形成了数学观，这其中，很多人的数学观是片面的，甚至是消极的。他们渴望获得全新的数学教育，大学也有责任引导他们建立积极、健康的数学观，接受高级的数学文化的熏陶，提高数学文化素质。然而，传统的以知识传授为主，以掌握数学的基本概念、基本技能与方法为目标的高等数学课程是难以完成这个任务的。这就要求我们认识数学文化的内涵，深入思考高等数学课程作为高等数学文化教育的意义，形成理论并付诸实践。

文化是人类一切物质财富与精神财富的总和，从这个意义上讲，数学文化可理解成数学的一切物质财富与精神财富的总和，数学的物质财富就是到目前为止人类所得到的所有的数学结论，它所形成的语言，以及数学应用到所有领域所取得的成果，它是动态的，时时刻刻在积累着，分分秒秒在增加着；数学的精神财富则是指数学的思想、方法、观念、精神、数学美、数学思维方式、数学的发展与历史、数学与社会、数学与各种文化的关系等等。

“文化内涵整体至少有 5 个方面：知识、思维、方法、原则与精神”，“精神是文化的灵魂：它是前四者融成一体且上升到形而上的境界”[1]。如此看来，数学精神应该是数学文化的灵魂。什么是数学精神呢？M. kline说过：“在最广泛的意义 上 说，数 学 是 一 种 精 神，一 种 理 性 的 精神。正是 这 种 精 神，试 图 决 定 性 地 影 响 人 类 的 物质、道德和社 会 生 产；试 图 回 答 有 关 人 类 自 身 存 在提出的问题；努 力 去 理 解 和 控 制 自 然；尽 力 去 探 求和确 立 已 经 获 得 知 识 的 最 深 刻 的 和 最 完 美 的 内涵。”[2]建立数学文化教育观，教师要把自己当作数学文化的使者，数学文化的传播者，而非知识的传授者；学生也非单纯的知识的接受者，而是数学文化的感染者，受益者，将来也应是数学文化的传播者。就是要求我们除了传统数学教育所关注的数学的实用价值（工具说）和形式训练价值（思维说）以外，更要关注它文化价值，关注它对大学生人文价值培养的作用。简而言之，要倡导一种精神，这种精神来自数学精神，它会为人引入一种价值观，这种价值观是积极的、健康的、具有理性思维的，也是具有创新意识的，它会对人的发展和社会的发展起着巨大的作用。

数学精神包括以下三个方面。

1 理性思维。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，理性思维首先表现在数学的抽象性上，它从现实世界中抽象出来的数学关系和空间形式，已脱离了对象的具体内容，成为纯思维对象，形成数学知识理论，在此基础之上进一步抽象，形成更高层次的数学知识理论。在此过程中，不断提炼总结不同层次的抽象方法，逐渐形成了今天我们普遍认同并加以实用的思维方法，如抽象与概括、归纳与演绎、分析与推理、逻辑与直觉等等。

理性思维的另一个表现是，数学家总是力图用最简练、最精确、最形式化的语言去刻画现实自然界与现实社会的每一个现象，它始终追求完美，从两千多年前人类产生极限的思想和原始概念，到牛顿与莱布尼兹创立微积分，用极限工具解决各种数学问题与物理问题，再到柯西等几代人把微积分基础化、理论化，形成精确形式化的极限概念，无不体现数学家追求完美的理性精神；理性思维还表现在数学家不断地简化人类改造自然与社会所使用的数学方法，使其一般化、扩大化。从中国古代的双假设法、孙子算法，到积分计算面积与体积，以及今天的数理统计、大数据分析，都是数学方法一般化的例证。

2 创新精神。数学文化的发展史就是一部创新与发展的历史，数学家总是向过去挑战，打破传统的思维，形成数学的新面貌、新气象。数系的每一次扩张、数学的每一个猜想的提出、每一个反例的构造、一个个新的数学分支的建立等等，都展示着数学的创新精神，正是这种创新精神，才使得数学不断地蓬勃发展、更新，形成枝繁叶茂的参天大树。创新精神是数学发展的不竭动力。

3 数学家的集体人格。数学文化发展史也是数学家集体人格的展示。学习数学、研究数学以及传播数学会培养人的高贵品质，优秀的气质。尊重事实、坚持真理、实事求是、勇于怀疑、勇于批判、勇于探索、坚持不懈、敢于创新这些优秀品质，是一代又一代的数学家传承与沉淀下来的，古希腊的希帕索斯不畏权威、不畏生死，提出不可公度几何量，从而引发第一次数学危机，这是数学家捍卫真理的典型代表；中国古代数学家祖冲之祖孙几代人呕心沥血，坚持不懈，创造出领先世界的数学成果；挪威数学家阿贝尔在贫穷、饥寒、着人冷落的环境里，坚定信念，忍受孤独与寂寞，创造出大量的惠及人类的数学成果；数学家为了解决一个猜想，可能幾百年，甚至上千年都不舍不弃，费马猜想的解决，从1637年到1995年，用了整整300多年的时间；非欧几何的创立到群论的产生等等，举不胜举。

数学精神是人文精神的重要组成部分，在高等数学教育过程中，我们要努力弘扬数学精神、传承数学精神、贯彻数学精神，引导大学生建立正确的价值观，形成优良的人文素质。在高数教学中具体的做法是：

1 引导大学生建立积极、健康的数学观，培养他们的理性思维。受传统数学教育及应试教育的影响，很多学生在中小学形成的数学观是片面的、消极的，甚至是不健康的。如他们认为数学只是符号、定理、公式的堆砌；数学只是解题；学数学就是为了考试等等。这种数学观对大学生的学习与发展是不利的，我们应通过高等数学教育帮助他们修正与重新建立数学观。教师在教学中，要不遗余力的传递数学精神，特别是数学的理性思维的特征与作用，要让学生感知数学语言、数学思维的力量。如在讲解极限定义时，通过极限的自然语言的描述性定义，过渡到形式化的严格化定义，让他们明白两种语言的区别，知晓形式化语言的必要性。教师可把柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金等人坚持不懈的进行微积分的严密化工作，历经200多年的时间，才得到我们今天见到的这个形式化的极限定义的故事讲给他们听，让他们感悟到数学家工作意义，领悟数学的真谛；让他们尝试用数学语言刻画与描述各种现象。教师可以通过数学史的大量案例和现代科技与人文科学应用数学而得到飞速发展的典型案例，来阐明无处不在、无处不用的数学，从而，明确学习数学的意义和目的，通过高数学习，发展理性思维，完善人文素质。

传统的高数教学以掌握基本知识，培养基本技能为主，强调计算，不重视算法的来龙去脉，不重视知识的发生过程，不重视概念形成的过程，不重视严格的证明。有些教师把大量的定理证明删掉了，只留下结论，应用也很少讲。这种“掐两头，烧中段”的做法是不利于理性思维培养的。今天计算机高速发展，我们应降低对运算能力的要求，提高对推理与证明的要求，加大对其的评价与考核的力度。这样才能使我们的高等数学教育偏向理性思维的培养，从而提高大学生的科学与人文素质。

2 培养大学生的创新精神。数学精神的灵魂与核心是创新精神，创新精神是一个民族立足的根本，因此，培养大学生的创新精神是高等教育的头等目标。高等数学教学中，通过数学精神的熏陶与感染，使学生了解数学史上数学创新的经典案例，了解创新的意义与创新的思维方法，让他们学会创新，并非马上就有什么创造与发明，而是把学习的主动权交给他们，让他们自主学习，自主探索，通过教师的教学设计，让学生积极主动的获取知识，让他们发现问题，提出问题，尝试去解决问题，这样，很多知识对他们来讲就是探索发现的，就是一种初步的创新，长而久之，创新的意识就会逐渐形成，创新精神就会成为他们人格品质中的一部分。如讲定积分定义时，首先提出问题：中小学我们求的平面图形的面积的边界曲线，除了圆以外都是直线，当边界曲线是普通的曲线时，如何计算呢？然后通过划分归类，归结为只要解决只有一条边为曲线的情景，即曲边梯形的计算，进一步提出问题，如何计算抛物线与直线围成的面积，传统的近似计算误差很大，需要我们寻求新的方法，从而引出分割、近似替代、求和、取极限的方法，再进一步抽象出定积分的概念，有血有肉，学生与教师共同探讨，知识是学生主动建构的，而不是填鸭式的灌输。当学生成为学习的主人时，创新精神的培养才能有效地落实。

3 优化学生的人格品质。数学精神所体现出来的数学家的集体人格是高品质的，它是优秀人格的体现，当代大学生身上缺乏的也正是这种尊重事实、坚持真理、实事求是、勇于怀疑、勇于批判、勇于探索、坚持不懈、敢于创新的优秀品质。在高数教学中，教师可将数学家轶事、经典数学事件（如三次数学危机）、数学猜想的提出与解决、数学分支的诞生等数学文化题材植入到教学过程中，使其与教学融为一体，每一节课的教学设计都有所体现，久而久之，学生得到的不仅仅是熏染，而是实实在在的训练与培养。当然，人格品质的优化与完善并不是靠学生在课堂上光听教师讲就能完成的，更重要的是学生要参与到数学文化的共同建设中来。一方面我们要加强课堂的双边活动，把学生的思维调动起来，让数学教学真正成为数学思维的教学，学生成为知识的建构者；另一方面关注学生课下的学习环节，特别是高数作业这一重要环节，高数作业是高数教学的延伸，是教学整体的一部分，它是学生整理思维、修正思维、完善课堂学习的不可或缺的步骤，同时也是对学生思维品质、意志品质训练的好机会。我们设计了很多不同于传统的高数作业形式，如预案作业、章节总结报告、小组合作作业等[3]，严格要求，注重质量。学生做作业时，不是简单的机械模仿、重复操作，而是要求他们认真思考，查阅资料，反思自问，自主探索，不断总结。教师除了设计作业以外，课下还以线上指导、现场指导等多种形式帮助学生完成作业。实践证明，这种做法不仅仅提高了他们的数学成绩，更重要的是让他们学会了学习，学会了思考、学会了探索与专研，这表明数学家的优秀品质正在他们身上发酵，生根发芽，一步一步地优化着他们的人格品质。

參考文献：

[1]杨叔子. 数学很重要，文化很重要，数学文化也很重要[J].数学教育学报，2014（12）.

[2]王书臣. 民族院校小组合作学习的实践与认识[J].教书育人（高教论坛），2016（27）.

（责任编辑：张宏玉）