操作·碰撞·提升

刘娓

重叠问题是向学生介绍一种数学思想方法——“集合”，其实从学生刚开始学习数学时已接触过这种思想方法，如把相同类型的图形用圆圈围起来。尽管如此，学生对今天所学的这种含有重复部分的集合图，没有建立系统的知识结构。因此，笔者精心设计教学环节，在点滴中发挥学生的主体性，使学生在操作中体会，在思维碰撞中探求真理，在一次次辩驳中提升认知。

一、脑筋急转弯，巧问妙答，激发学习愿望

同学们，上课之前老师先来让大家猜几个脑筋急转弯，看看同学们的思维水平怎样。仔细听好：①小明排队买票，从前数起他第3，从后数起他第4，这队共有多少人？

生1：7个人，3+4=7。

生2：不对，小明多数一次，要减掉一人应该是3+4-1=6人。

生3：我们数一下我们组的人就可以知道了（生数验证）。

生4：还可以把他画出来

师：回答正确，再来一题：②照片上有两个妈妈和两个女儿，可只有3个人，为什么？

生：因为这是外婆、妈妈和女儿，外婆是妈妈的妈妈，妈妈既是女儿的妈妈，又是外婆的女儿，所以有两个妈妈和两个女儿，其实只有3个人。

教学思考：

怎样才能在开课时先声夺人，一下子抓住学生的心，唤醒他们的知识经验？用他们最喜欢的游戏和谈话应该是最好的方法。熟悉孩子最感兴趣的游戏和话题，才能让他们跟随老师的脚步。

二、用身边熟悉的人作素材，激发学生的学习兴趣

（一）谈话引入

师：同学们，今天的“数学广角”请来了两位客人，看是谁呢？（课件出示姚明和刘翔的照片）你喜欢他们吗？你喜欢谁呢？

学生回答有只喜欢姚明或刘翔的，也有既喜欢姚明又喜欢刘翔的。

根据回答师板书：只喜欢  既喜欢又喜欢

这种喜欢的情况在我们生活中很多，今天我们就来研究这样的问题。

（二） 呈现材料

老师课前对咱们班部分同学也作了一个喜欢情况的调查。

出示统计表：

从表格中你知道了哪些数学信息呢？

生1：我知道喜歡刘翔的有5位同学，喜欢姚明的有7位同学，比喜欢刘翔的多2人。

生2：我还知道有3位同学两个都喜欢。（老师马上请他找出是哪3位同学。）

（三）提出问题，产生矛盾

师：那你知道老师一共调查了几位同学吗？

生1：是12位同学，因为5+7=12人

生2：不对，是9人，因为有3人是重复的，应该去掉3人。

教学思考：

老师大胆地制造矛盾，引起学生的争论，让学生积极地参与到学习中来，才能呈现出学生思维碰撞的火花。

三、亲自操作、经历探究、体验集合

（一）学生操作，体验矛盾

师：同学们的结论都不同，怎么办？

师：老师准备了两个橡皮圈，你们想办法研究。

生：我想到办法了。我请喜欢刘翔的同学来这集合。生指着红橡皮圈。我用红橡皮圈把你们圈在一起。请喜欢姚明的同学到另一边来集合。我用蓝橡皮圈围住他们。

师：（只有4个人）是这4个人吗？

有学生喊：不对，董雅萱、余晓晓、李小石你们也是喜欢姚明的，快过去！

（被点名的3位同学疑惑地站到“喜欢姚明”的队伍里，学生给他们套上绿橡皮圈）

师：喜欢姚明的就这几个人吗？（对！）那边3位同学呢？

生：是喜欢刘翔的同学。

师：都包括进去了吗？

生：还差董雅萱、余晓晓、李小石。

师：那这几位同学应该是……

生：只喜欢刘翔的。

师：请董雅萱、余晓晓、李小石快过来。

董雅萱、余晓晓、李小石：我们两个都喜欢。

师：那怎么办呢？两边都离不开他们，他们又没有分身术。

生1：把两个橡皮圈拉得近一些，让他们站在中间。

生2：把两个橡皮圈交叉起来，让他们站在交叉的部分。

（师请学生上来整理橡皮圈）

师：这位同学将红橡皮圈和蓝橡皮圈交叉在一起，让既喜欢刘翔又喜欢姚明的三位同学站在交叉的小圈里。

教学思考：

真正放手让学生操作，展示交流，思维碰撞，才能在交流碰撞中提升学生的思维品质。

（二）画一画，意外精彩

师：真了不起！同学们想了这么好的办法，可这些同学（指圈）不能老站在这儿，你们能把它画下来吗？

①生试画，兴趣较浓，不一会儿就画出来了各种各样的作品，接近集合图的最多。

②汇报展示：

孩子们画出来的有分三部分的、图画的、符号表示的，其中也包括交集图形式的，看来学生的创造力是无限的。

③对比作品，优化方法。

师：观察这几种设计你觉得哪一个设计最合理，为什么？（大多数学生认为是集合图，觉得比较清楚完整）展示课件。

（三） 课件演示，深入理解

师：大家真棒！不约而同地画出了集合图。很多年前英国的逻辑学家韦恩，就用这样的图来分析这类问题（课件展示集合图），后人就用他们的名字来命名这种图叫“韦恩图”，又叫“集合图”。如果你比韦恩早出世，那它就将用你们的名字命名啦。

（四）理解韦恩图各部分的含义

师：你们自己创造了集合图，一定也明白集合图各部分的含义吧！这幅图中红圈里有几位同学表示什么？蓝圈里有几位同学表示什么呢？中间交叉部分有几位同学表示什么呢？左边月牙里有几位同学表示什么呢？右边月牙里有几位同学表示什么呢？

教学思考：

抽象的集合图在孩子眼中不再陌生难懂，因为孩子们经历了整个形成过程，有了鲜活的认识，再次认识各部分的意义，使他们的认识从形象上升到了抽象，真正建构了对集合的认识，实现了一个思维上的跨越。

（五）对比前后表

师：我们把统计表变成了这种图，你觉得怎样？

（六）数形结合，列式计算

师：是啊！集合图可以帮助我们更方便地分析和理解这类有重复现象的问题。现在你能借助集合图用算式解决老师提出的问题吗？

交流、汇报算法：

①5+7-3=9（人）（請学生解释各个数字表示的含义）。

②2+3+4=9（人）。

③5+4=9（人）。

④2+7=9（人）。

教学思考：算法多样化，不只是为了计算或发展学生的发散思维，其实更重要的是学生在计算中更深一步地理解了集合图丰富的内涵。

（七）揭题

师：同学们太厉害了，其实今天我们研究的这种有重复现象的数学问题我们把它叫作“重叠问题”，我们可以通过画韦恩图来帮助理解，解决问题。

（八）小结

师：今天我们知道了重叠问题可以用集合图来帮助理解，还学会计算重叠问题，并知道计算时要注意重叠的部分只能算一次，重复的部分要去掉。

四、利用生活中的数学问题提升学生运用知识的能力

师：你们现在敢挑战自己，解决几道重叠问题吗？

①在集合图中填会飞会游的动物。

请学生再次解释集合图中各部分的含义。

②统计喜欢吃香蕉和喜欢吃苹果的同学。

列算式解答统计了几位同学并解释算式中各个数字的含义，体现算法多样化。

③计算一个班有多少人。

④计算三年级有多少人既参加跳绳比赛又参加找篮球比赛？

五、总结教学经验，进行教学反思

（一）在操作活动中体会集合思想

小学生的思维特点是从形象思维逐步过渡到抽象思维，在学生的成长过程中，形象与直观是其认识事物的主要方式与方法。本课学生从争论“老师到底调查了几个人”开始，发现矛盾后，用不同的橡皮筋操作，用直观的操作活动体会、理解抽象的集合图，教会学生利用数形结合理解问题的思想。

（二）在碰撞中提升思维品质

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调要发展学生的思考能力，让学生学会独立思考，体会数学基本思想和思维方式，培养创新意识和实事求是的科学态度。本课在学生的探究过程中，发现矛盾时，老师不急于解答，只在旁提供协助与引导，把课堂还给学生，使学生在一次次的思考和调整中、在一次次操作中体会集合思想，掌握了含有重叠部分的集合图的含义。