数学概念教学环节谈——一道高考题引发的思考

☉江苏省海安市立发中学 吉训玫

异面直线所成的角一直是自主招生和高考的重要考点之一，其是通过平面几何与平面解析几何中两条相交直线的夹角来进行刻画的，实现了立体空间问题的平面化，使得平面几何与立体几何之间构造起有效的联系.而异面直线所成的角的概念教学一直是重点与难点，下面结合一道高考真题，通过对异面直线所成的角的求解，来具体剖析数学概念教学的一些重要环节.

【高考真题】（2018·全国卷Ⅱ理·9）在长方体ABCD—中，则异面直线AD与DB11所成角的余弦值为（ ）.

一、引入概念

要求解异面直线AD1与DB1所成角的余弦值，首先要有异面直线所成的角的概念.而引入概念就需要根据实际问题来确定.利用两条异面直线间的位置关系，可以通过确定一条直线位置不变，另一条直线旋转变化来说明两者之间存在某种角度关系.再借助立交桥的现实模型来设置合理的教学情景，通过角的变化来明确学习异面直线所成的角的意义与作用.

其实，引入数学概念，需要根据具体数学概念的不同情况，有时可以从数学概念体系的发展过程来引入，有时也可以从解决实际问题的必要来引入，方式各样，场景多变.

二、形成概念

引入概念之后，就是两条异面直线之间存在某种角度关系，借助两条相交直线的夹角，自然就形成了有关异面直线所成的角的概念.又由于平面上两条相交直线的夹角是已知的概念，那么异面直线所成的角的概念就必须在平面上两相交直线的夹角的基础上加以形成.

实际上，数学概念的形成阶段，往往可以借助相关典型、丰富的实例，通过相互之间的分析、比较、综合等有意识的活动，进而揭示出相关的数学概念的本质属性.

三、概括概念

有了前面的引入与形成概念的基础，简明扼要且正确的概括就是核心内容.而正确的概括就是从某类个别事物中抽象出相应的有效的本质属性，进而推广延伸到该类所有事物的本质属性中，进而形成关于这类事物的普遍性、一致性的认知与规律，这就是相关概念的概括.正确的概括概念，要充分把握好相关数学概念的本质属性，这也真正有利于学生语言概括能力的培养与提升.

借助前面对异面直线所成的角的部分所进行的分析与比较，把这类异面直线所成的角的共同特征通过语言并结合数学形式描述出来，进而推广到一般情况，这就是给异面直线所成的角的概念下了个定义：

异面直线所成的角的概念：已知a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a1∥a，b1∥b，我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角.

其实，通过教学设计，让学生关注异面直线所成的角的特征，并进一步完善相关概念，如此操作，不仅可以真正有效地进行异面直线所成的角的概念教学，而且能够提升学生正确理解数学概念的能力，还能够培养学生的语言思维能力.

四、明确概念

明确异面直线所成的角的概念，即明确异面直线所成的角的注意点与求解步骤.实质上，就是要明确相关概念的内涵部分与外延部分.

根据上面异面直线所成的角的概念，通过总结分析，可以进一步来明确概念：

1.异面直线所成的角的注意点

（1）由等角定理可知，异面直线a、b所成的角与点O的位置无关.

（2）若两条异面直线所成的角是直角，则说明这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.

2.求解异面直线所成的角的步骤

（1）一作：恰当选点，通过平移构造出一个相交角.

（2）二证：证明平行关系成立.

（3）三求：把角放入三角形或其他平面图形中来求解.

（4）四结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求的异面直线所成的角.

有了对异面直线所成的角的注意点与求解步骤的进一步明确，才能为概念的应用奠定基础.

五、应用概念

在掌握异面直线所成的角的概念的过程中，需要进一步从概念出发，通过概念来有效地解决相关问题，充分认识同类事物，解决相关问题，有效求解异面直线所成的角.而如何正确求解异面直线所成的角，这是应用概念与理解概念齐头并进、充分理解与掌握的过程.

其实，抓住异面直线所成的角的概念，可以通过平移两条异面直线中的一条或两条，形成相交直线，把空间问题平面化，转化为相应的三角形问题，再通过求解三角形最终达到求解的目的.在通过实际平移构造异面直线所成的角的过程中，往往要抓住几何体中的一些关键特殊点，进而构造异面直线所成的角，再结合相关的知识来分析与求解.

解法1：如图1，连接BD1交DB1于点O，取AB的中点E，连接OE，DE.由长方体的性质知，点O为BD1的中点，则有AD1∥OE，根据异面直线所成的角的定义可知，∠DOE即为异面直线AD1与DB1所成的角.由题可得D1B=DB1=

所以在△DOE中，由余弦定理可得cos∠DOE=所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.

其实，数学概念的应用也可以与其他原有的数学概念相结合，从而进行逻辑思维水平上的延展与应用.比如，在求解异面直线所成的角时，还可以通过补全几何体，平移相关直线使之相交，从而作出相应的异面直线所成的交角.补形法往往是通过补形，转化为熟悉的空间几何体中的相交直线问题来求解.

解法2：把两个相同的长方体组合成一个新的长方体，如图2所示，则知AD1∥EB1，异面直线AD1与DB1所成的角就转化为直线EB1与DB1所成的角，即∠DB1E.

图2

所以在△DB1E中，由余弦定理可得cos∠DB1E=，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.

只有充分理解与掌握异面直线所成的角的概念，才能加以正确应用.其实，求解此类异面直线所成的角的问题时，经常通过补形法，可以借助特殊的空间几何体为问题的背景场所，如正方体、长方形、平行六面体等，进而利用相关的特殊空间几何体的图形特征、结构、线与线、线与面的关系等，达到合理转化与构造异面直线所成的角的目的.

六、形成认知

在学习了一个全新的数学概念之后，一定要把此新概念与相关的已知的数学概念构造起有效的关联，明确相关概念之间的从属、平行、包含或延伸等关系，从而把新的数学概念纳入到相应的数学概念体系中，然后进行有效的概念教学，形成认识.我们知道，异面直线所成的角的概念是空间图形的平面化思维表达，其也是平面上两条相交直线的夹角的空间拓展与体现.由此形成了两条直线的夹角的系统概念，为平面几何与立体几何的转化构造平台.

数学概念具有高度的抽象性、概括的精简性以及广泛的联系性等特点，在具体概念教学过程中应该充分体现基本概念的实际需要、产生背景与来龙去脉，并通过相关的实例分析引入基本概念，然后形成相关概念并加以概括，同时明确相关概念的本质属性，进而概括概念、明确概念、完善概念、不断巩固和应用概念，真正达到初步掌握概念，进而形成认识，从而达到有效地用数学概念教学的目的.H