考虑跟踪性能约束的近空间飞行器控制器设计

董朝阳，刘 晨，王 青，刘雨昂

(1. 北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京 100191；2. 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191)

0 引 言

临近空间是指海拔在20～100 km之间的空域[1-2]。近空间飞行器(Near space vehicle，NSV)是指持续飞行在临近空间内以完成特定的军事或民用任务的飞行器[3]。近空间飞行器具有飞行包线大，飞行速度快，发射时间短，续航时间长及生存能力强的特点，从而引起各国深入研究和广泛关注[4]。另一方面，临近空间中的飞行环境存在着较大的差异，空气密度与温度变化较为复杂，风场干扰十分剧烈。这些因素使得NSV的数学模型呈现出很强的非线性，各通道间的强耦合性，快时变性以及剧烈变化的气动特性，传统的控制器设计方法将不再适用，也导致NSV的控制系统设计十分困难。

目前，针对NSV的控制系统设计已存在一定的成果。文献[5]针对考虑控制器故障的NSV信号跟踪问题，设计了基于T-S模糊系统的自适应容错控制策略。文献[6]针对考虑参数不确定以及执行器故障的NSV指令跟踪问题，设计了一种鲁棒可靠控制器设计方法。文献[7]建立了非线性切换模型对NSV的动态进行描述，设计了自适应模糊动态面控制器，并基于公共Lyapunov方法对系统的稳定性进行了分析。文献[8]通过非线性干扰观测器对NSV受到的干扰进行观测，并基于反步法设计了变增益鲁棒控制器。文献[9]提出了一种基于滑模干扰观测器的广义预测控制方法，提高了NSV的抗扰能力。文献[10]设计了二阶终端滑模控制器，提高了NSV指令跟踪的收敛速度。文献[11]针对受饱和约束限制的NSV姿态控制问题，提出了一种基于输入饱和抑制的自适应模糊控制器设计方法。

但前述成果中，均仅针对系统的稳态特性进行控制器设计，未考虑对指令信号的动态跟踪性能以及姿态角速度的约束。若在动态过程中系统的跟踪误差或者姿态角速度过大，则需要较大的控制信号确保系统稳定，从而容易引起控制器的饱和，控制性能也会有所下降，严重时甚至导致系统失稳。基于Barrier Lyapunov函数的系统稳定性分析方法是解决这一问题的有效方法，且在理论与工程中均已有较多应用。文献[12]针对一类考虑状态受限问题的非线性系统进行了研究，基于Barrier Lyapunov方法对系统稳定性进行了分析，并提出了一种自适应次优控制器的设计方法。文献[13]解决了一类考虑时变输出约束的非线性系统的控制器设计问题。文献[14]针对高超声速飞行器的高度及速度指令跟踪误差及攻角、俯仰角和俯仰角速度受限的问题，通过引入Barrier Lyapunov函数，基于反步法进行了自适应控制器的设计。文献[15]针对一类考虑时变状态约束的直流电机控制问题，设计了自适应神经网络控制器。因此，本文后续将结合公共Barrier Lyapunov函数方法，以解决NSV的跟踪性能约束及状态受限情况下的控制器设计问题。

基于上述分析，本文针对一类存在外部干扰及不确定项的可变后掠角NSV非线性切换模型，考虑对指令信号的跟踪性能以及姿态角速度的约束，对其指令跟踪问题进行研究。针对以非线性切换系统描述的NSV姿态角子系统及姿态角速度子系统，分别设计模糊系统对子系统内的未知非线性项进行实时估计，在所设计的切换控制器中对所受扰动进行实时补偿，并构造公共Barrier Lyapunov函数确保整个切换系统的稳定性，确保了系统在指令跟踪过程中能够满足对跟踪性能以及系统状态的约束，从而有更为良好的动态特性；数值仿真验证了本文所提出控制方案的有效性与优越性。

1 问题描述

本文所研究的NSV气动外形如图1所示[7]。NSV的控制主要由发动机推力矢量和气动操纵机构来实现，气动操纵机构主要有单垂尾方向舵、左右升降副翼舵以及可伸缩水平鸭翼。NSV能够通过调整机翼后掠角保证各飞行阶段的飞行操纵性能[8]。

图1 NSV气动外形Fig.1 Near space vehicle aerodynamic model

NSV的姿态动力学模型如式(1)所示[7]:

(1)

(2)

(3)

(4)

[sinα(tanγsinμ+tanβ)-

cosαtanγcosμsinβ]

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

假设Ωref=[αref,βref,μref]T为给定的制导指令信号，并定义姿态角跟踪误差为eΩ=Ω-Ωref，则本文的目标即为：在NSV受到外部扰动以及参数不确定影响的情况下设计控制器，确保NSV的姿态控制系统能够实现对给定制导指令的快速稳定跟踪，同时确保系统满足如下跟踪误差约束及状态约束：

(12)

(13)

其中：

AeΩ=[Aeα,Aeβ,Aeμ]T,Aω=[Ap,Aq,Ar]T

(14)

且Aeα,Aeβ,Aeμ,Ap,Aq,Ar均为正常数。

在前述分析的基础上，本文对NSV的姿态控制问题做出如下假设：

假设1[7].飞行器的姿态角及姿态角速度信息均可测，参考跟踪信号Ωref光滑连续。

注1.制导回路产生的指令信号应确保系统的飞行过程是平稳的，且对飞行器姿态及姿态角速度的测量在实际工程中易于实现，因此假设1合理；在NSV后掠角变化过程中，飞行器的转动惯量始终是正值且有界，因此假设2合理；假设3说明飞行器的初始姿态应调节到制导指令给定的初始值附近，这在实际飞行过程中也是易于实现的。

2 基于模糊系统的非线性切换控制器设计

本文研究NSV在后掠角变化时多模态间切换的控制器设计问题，同时假设飞行器水平鸭翼收入机体内不起控制作用。控制器的设计目标是当飞行器进行模态切换时,控制器能够实现对给定指令信号的稳定跟踪控制，并保证系统满足给定的跟踪性能及系统状态约束。针对NSV的非线性切换模型具有严格反馈形式以及飞行器模型参数不确定、外部干扰强的特点，拟利用公共Barrier Lyapunov函数方法对系统稳定性进行分析，并设计模糊系统对系统的未知扰动与不确定进行实时估计，通过反步法完成控制器的设计。

2.1 模糊系统设计

以如下的模糊规则定义一个模糊系统:

那么y是Gi,i=1,2,…,N

(15)

若定义模糊基函数为：

(16)

y(x)=θTφ(x)

(17)

引理1[16].若f(x)为定义在紧集Θ上的连续函数，则对模糊系统(17)及任意常数ε>0，均有

(18)

(19)

(20)

注2.本文后续拟采用公共Lyapunov函数方法对切换系统的稳定性进行分析，在基于反步法的控制器设计过程中，需要针对所有子系统设计公共的虚拟控制量。因此，在本文中针对外环设计的模糊系统中包含对切换非线性函数的估计，在虚拟控制器中以连续的估计值代替原不连续的切换函数，从而确保了后续所设计的公共虚拟控制量的连续性。与传统的通过自适应方法进行公共虚拟控制量设计的方法[7-8]相比，上述对于切换非线性函数处理的优势即在于能够有效地降低虚拟控制量的复杂度。另一方面，增加部分预估计的非线性项并不会增加模糊系统的负担。

2.2 基于反步法的控制器设计

第一步：由式(1)及式(19)可知，跟踪误差的动态为：

(21)

(22)

其中，ln(e)表示e的自然对数。同时，设计姿态角系统的虚拟控制器为：

(23)

式中，kΩ=diag{k1,k2,k3},k1,k2,k3>0表示控制器增益。从而，可得式(22)的导数为：

(24)

根据Young不等式：

(25)

将(25)代入(24)可得：

(26)

第二步：定义姿态角速度指令跟踪误差eω=ω-ωref，结合式(1)和式(20)，得到姿态角速度跟踪误差的动态为：

(27)

为确保系统外环跟踪误差满足式(12)，则系统状态约束(13)也必须同时满足。假设虚拟控制量ωref有界且满足：

(28)

式中，Aωref=[Apref,1qref,Arref]T，且Apref,Aqref,Arref>0。从而，若令Aeω=[Aeq,Aeq,Aer]T,Aeq,Aeq,Aer>0，且所设计的控制器能够确保姿态角速度子系统的跟踪误差满足：

(29)

则系统的状态约束(13)将同时成立。也即，系统状态约束(13)被转化为对虚拟控制量的跟踪误差约束(29)。在此基础上，可选择Barrier Lyapunov函数的形式为：

(30)

此时，可设计姿态角速度子系统的控制器为：

(31)

(32)

根据Young不等式：

(33)

将(33)代入(32)可得：

(34)

2.3 稳定性分析

在前述基于反步法的控制器设计方法的基础上，可选择系统的Lyapunov函数为：

L=LΩ+Lω

(35)

且其导数满足：

(36)

定理1.考虑NSV姿态控制系统(1)，如果假设1～3均成立，则系统姿态角能够实现对给定信号的稳定跟踪，且跟踪误差及系统状态分别在集合ΨeΩ和Ψω内。

(37)

(38)

(39)

因此，系统状态满足给定的状态限制。

同时，由式(39)可知下述不等式成立：

(40)

从而，系统的过渡过程与稳态过程分别满足

(41)

式中，i=1,2,3。结合前述分析，可知所设计控制器能够确保系统满足式(37)和(38)。证毕。

注4.由式(41)可知，如果增大控制器增益kΩ和kω，能够使得系统对指令的跟踪误差减小。但增大控制器增益同时也会使得控制器的幅值增大。因此，在进行控制器调参时应综合考虑系统跟踪性能以及执行机构的性能。

注5.为避免在反步法中存在的虚拟控制量“微分爆炸”问题，同时简化其微分操作，本文中采用动态面方法，选用具有如下形式的非线性滤波器对虚拟控制量进行处理：

(42)

其中ωn1,ωn2和ζ为可调参数。

3 仿真校验

首先，对两个子系统分别设计模糊系统，选择高斯隶属度函数的具体形式为：

i=1,2,3,l=1,2,…,5

(43)

i=1,2,3,l=1,2,…,5

(44)

并选择模糊基函数为：

(45)

(46)

式中，l=1,2,…,5。NSV姿态角的跟踪误差约束给定为AeΩ=diag{1°,1°,1°}，姿态角速度的约束为Aω=diag{3(°)/s,3(°)/s,3(°)/s}。

同时，假设飞行器的气动参数存在30%的不确定，且两个模态的外环与内环分别受到的外部扰动为：

[2×105sin(3t),3×105sin(2t),2×105sin(2t)]TN·m

[sin(t),cos(t),sin(1.5t)]T(°)/s

(47)

[3×105sin(3t),2×105sin(2t),3×105sin(2t)]TN·m

[1.2cos(t),1.2sin(t),1.2cos(1.5t)]T(°)/s

(48)

最后，加入文献[8]的控制策略与本文控制方案进行比对。在前述条件下，可得系统的仿真结果如图2～图6所示。

图2 姿态角响应Fig.2 Attitude angle response

图3 姿态角速度响应Fig.3 Angular rate response

图4 姿态角系统总干扰及其估计值Fig.4 Total disturbance in attitude angle subsystem and its estimate

图5 姿态角速度系统总干扰及其估计值Fig.5 Total disturbance in angular rate subsystem and its estimate

图6 控制量Fig.6 Control input

从图2可知，本文所提出方法能够确保系统姿态快速稳定地跟踪给定信号，同时，姿态角的跟踪误差满足给定的跟踪性能约束。与文献[8]的方法相比，本文所提出方法能够确保系统具有更为良好的动态性能，超调量小且收敛速度快。图3为系统姿态角速度的响应曲线，可知姿态角速度满足给定的状态约束条件。图4与图5为模糊系统对系统总扰动的估计值曲线，可知本文所设计的模糊系统能够对系统中的未知扰动进行有效的实时估计。图6为系统的控制量曲线，系统的舵偏角均保持在合理范围之内。从而，上述仿真结果表明了本文所提出控制方法的有效性与优越性。同时，与文献[8]相比，由于本文所提出的控制器不存在自适应项，因此结构更为简单，更容易在实际工程中实现。

4 结 论

对于一类可变后掠角的近空间飞行器，考虑其受到外界扰动及参数不确定的影响，并考虑跟踪性能约束及姿态角速度约束的指令跟踪问题，本文提出了一种基于模糊系统的切换控制器设计方法，并通过公共Barrier Lyapunov方法对系统的稳定性以及动态性能进行了分析。理论分析与仿真结果表明所设计的控制方案能够确保系统在满足跟踪性能及状态约束的条件下实现对指令信号的稳定跟踪。