振子质量非均布的有限结构梁减振频带优化

吴旭东 张茗海 左曙光 刘盼学 孙铃洲

摘要：对有限结构的声子晶体梁，首先结合传递矩阵法和有限结构的边界约束条件，在理论上计算了其振动传递特性，从而得到减振频带的频率范围和衰减深度。然后通过有限元法和样件试验得到的加速度传递函数验证了计算方法的准确性。进而分析了不同周期数对振动传递特性的影响，发现一定周期布置后的声子晶体梁减振频带已趋向稳定。最后，以振子总质量和减振频带总宽度为优化目标，通过NSGA-Ⅱ算法对6周期布置的有限结构声子晶体梁的各个振子质量进行优化。保持减振频带宽度不变时，以振子质量最小进行优化，振子总质量减小50. 3%。综合平衡振子质量和减振频带宽度进行优化，优化后振子质量减小27%，减振频带宽度增加120%。该方法为声子晶体的工程应用与优化提供了参考和指导。

关键词：声子晶体梁;减振频带;有限结构;传递矩阵法;多目标优化

中图分类号：TB535+.1

文献标志码：A

文章编号：1004-4523 （2019） 06-0935-08

DOI：10. 16385/j. cnki. issn. 10 0 4-4523. 2019. 06. 001

引言

近年来，声子晶体因为其弹性波带隙特性受到了学者广泛关注。当弹性波频率在其带隙频率范围之内时，弹性波就不能自由的传播[1]。声子晶体中的带隙可以分为布拉格带隙（对应的弹性波波长和晶格常数处于同一数量级[2]）和局域共振型带隙（频率所对应的弹性波波长比晶格常数大几个数量级[3]）。

针对声子晶体梁结构已经有很多学者进行了研究;文献[4—5]对无限周期的声子晶体梁结构弯曲振动进行了研究，通过传递矩阵法计算了能带结构并利用试验进行验证;文献[6]推导了声子晶体梁结构带隙的开始和截止频率计算公式;文献[7—8]通过改进传递矩阵法和微分求积法对声子晶体梁结构振动带隙进行研究，便带隙计算结果更准确;文献[9]在一个周期内并联多个不同质量的振子组成梁结构，计算了能带结构，与集中质量相比，带隙宽度明显拓宽。因此，现有研究主要是针对无限周期结构的能带结构，且需要具有完全的周期性，而有限结构下减振频带解析计算较少。

在带隙优化方面，对于二维声子晶体结构，现有研究将遗传算法和平面波展开法[10]、有限元法[11]和集中质量法[12]结合进行形状拓扑优化和多目标优化[13]。对于一维声子晶体结构，文献[14]用传递矩阵法对二组元声子晶体杆进行数值计算，通过遗传算法对组合杆的夹角进行最优化设计。文献[15]用谱元法和行波法对有限长的声子晶体组合杆振动传递特性进行计算，对二组元的材料、长度和间距进行多目标优化。文献[16]使用神经网络构建了周期结构参数对带隙宽度和深度的数学模型，通过NS—GA一Ⅱ算法对参数进行多目标优化，优化后带隙宽度和深度都明显增大。现有研究主要集中在声子晶体的纵向振动带隙宽度优化，通过优化单个周期的基体材料和尺寸参数拓宽带隙，对于有限结构的一维声子晶体梁各个振子质量优化研究较少。轻量化对于工程应用具有较高价值，因此质量增加和减振频带拓宽之间的矛盾是实际应用必须考虑的问题。

针对有限结构的声子晶体梁，采用传递矩阵法对振动传递特性进行理论数值计算，得到减振频带范围和衰减深度，并通过有限元仿真和样件试验验证理论分析的准确性。结果表明在保证谐振器固有频率不变情况下，周期数达到一定数量后减振频带宽度和深度趋于稳定。因此，通过NSGA一Ⅱ算法对6周期声子晶体梁进行多目标优化，以减振频带宽度和振子总质量为优化目标，对6个振子的质量进行优化，达到更小的质量，获得更大的减振频带宽度的目标。

1声子晶体梁减振特性计算

1.1 有限结构传递矩阵法计算

图1所示为一个截面形状为矩形的欧拉梁局域共振有限结构，由长度为L的梁和等间距分布的n个弹簧振子组成，每个振子的质量为mi（i=1，2，…，n），彈簧刚度为为ki（i=1，2，…，n），晶格常数为a，梁截面积为A，二次矩为I。考虑欧拉梁的弯曲振动，将未变形时的梁中轴线作为x轴，振子仅存在y轴方向的自由度。

Fig.10ne-dimensional locally resonant beam with finite

structure

对于第i段梁，欧拉梁的横向位移公式可写成：

A段：

式中

分别为A段和B段梁上相对坐标。A，B段中系数A，B，C，D为需要求解的待定系数。

在局域共振梁的左端施加单位位移的扫频激励，因此梁的边界条件为：

1）梁的最左端位移为1：

Y11（O）=A11+C11 =1

（3）

2）梁的最左端弯矩为O：

3）梁的最右端弯矩为O：

4）梁的最右端剪力为O：

将式（3）一（6）整理成矩阵形式

其中：

对于第i周期，A与B之间位移、转角、弯矩、剪力连续，得到A与B间传递矩阵为

其中：

而第i周期与第（i+1）周期间位移、转角、弯矩、剪力连续，得到传递矩阵

其中：

则第i段梁总传递矩阵为

第n段梁的B部分与第1段梁的A部分之间的传递关系可表达为

将方程化为简单矩阵形式

结合式（7）和（1 2），可以解出[An2 Bn2 Cn2Dn2]。

将求解得到的值代入下式，则局域共振梁的最右端振动位移幅值表示为

因此可以求出局域共振梁的振动传递特性

1.2 有限元与试验验证

传递矩阵法计算时，局域共振梁参数如下：梁的截面尺寸为20 mm×10 mm;材料密度为7850 kg/m3，杨氏模量为2.1×10 11 P a，泊松比为0.3;晶格常数为100 mm，周期数为6;弹簧刚度为500 N/mm，每个振子质量为100 g。

本文通过有限元方法建立了有限周期的局域共振梁结构，如图2所示，其中梁与振子均使用C3D8R三维实体单元，振子则通过线性弹簧单元与梁共节点连接。在有限元仿真中，梁设定为两端自由约束，在一段施加一定频率范围内的单位幅值位移扫频激励，再在梁的另一端拾取位移响应，然后计算得到局域共振梁的振动传递特性。

在试验中，梁结构和振子均使用45号钢加工完成，而弹簧单元则使用模具弹簧代替，模具弹簧与振子及梁通过502胶粘接在一起。由于模具弹簧质量为30 g，需要将其自身质量的1/3（10 g）转移至振子中，因此加工振子质量为90 g。试样样件通过弹性绳悬吊，确保其处于自由状态，如图3所示。试验中通过激振器产生单位白噪声对局域共振梁激振，测量声子晶体梁两端的输入及输出加速度信号后计算得到振动传递特性，如图4所示。

将传递矩阵法、有限元法和试验得到的振动传递特性曲线进行对比，如图5所示。传递矩阵法计算得到的6振子有限结构局域共振梁结构在351-451 Hz频率范围内存在明显弯曲振动减振频带，有限元法和试验数据曲线表明在相同位置出现了减振频带宽度和深度完全相同的隔振减振频带。在减振频带范围外的振动传递曲线也完全拟合，由于胶水与弹簧的阻尼存在，会使振动的峰值有所削弱，但其频率基本与传递矩阵法一致，证明了传递矩阵法的准确性。

2 局域共振梁多目标优化参数分析

2.1 有限机构梁的最佳周期数确定

实际应用中，不存在无限周期结构的梁，必然需要确定布置的周期数。首先研究在振子总质量保持一定的情况下，确定合理的周期数。

在本文中，研究的梁的总长度为600 mm时，振子总质量为600 g。保持谐振器的固有频率ω=（k/m）1/2 =350 Hz不变，在周期数增加时，局域共振梁振动传递特性变化三维图如图6（a）所示，图片的颜色代表振动传递特性的位移传递函数幅值大小。蓝色部分衰减深度大于20 dB，属于减振频带范围。可以发现，随周期数增加，减振频带范围趋向于固定范围，在周期数达到6时，减振频带范围固定不变，即351-451 Hz。振子總质量为300 g时，改变谐振器固有频率ω=（k/m）1/2=500 Hz，如图6（b）所示，同样可以发现在周期数达到6时，减振频带范围趋向于500-630 Hz固定不变。即当振子数量达到一定时，结构的振动衰减效益将不再增加，考虑到增加振子数量必然增加弹簧数量，提高振子加工成本，本文中的结构应以布置6振子结构为宜。

2.2 多目标优化流程

NSGA一Ⅱ算法由遗传算法发展而来，降低了非劣排序遗传算法的复杂性，具有运行速度快，收敛性好的优点，通过快速非支配排序，引进精英策略，采用拥挤度和拥挤度比较算子，保证了种群的多样性，能够迅速找到Pareto前沿，具体流程如图7所示[17]。

限结构局域共振梁中，减振频带宽度与振子总质量之间总是存在矛盾，更宽的减振频带宽度往往需要更大质量，而工程实际中要求轻量化，因此需要通过多目标优化寻找两者之间的最优解集。

声子晶体梁结构中各振子参与吸振的贡献量不同。因此，传统意义上的质量均布声子晶体梁结构并非最佳的振动吸收结构，有必要针对特定需求对质量分布进行重新设计。通过打破声子晶体结构的严格按照周期排列的规律，将更多的振子质量向主导振子分配，从而得到更宽的减振频带范围。2.1节中对周期数影响分析表明6周期布置具有较好的减振频带效益及经济效益，因此通过智能算法，以最小有效衰减量为边界条件，减振频带有效宽度和振子总质量为目标，对6周期局域共振梁的振子质量进行非均匀分布优化。

1）优化变量：6周期声子晶体各振子质量

[mi m2 m3 m4 m5 m6]

2）优化目标：减振频带总宽度D20dP，和总质量m

Min：m=ml+m2+m3+m4+m5+m6（15）

Max： D20dP =ml，m2，m3，m4，m5，m6式中 D20dP，为衰减量超过20 dB的有效减振频带的宽度。选择6振子有限结构声子晶体O-1000 Hz内的有效减振频带宽度为优化目标，以使得声子晶体在隔振过程中振动吸收能力均能够工作在收益较大的中等衰减量范围。定义衰减量超过20 dB为有效衰减量，此时振动衰减超过90%，已经有很好的衰减效果。

3）约束条件：单个振子质量不超过200 g，振子总质量不超过600 g

O≤ml+m2+m3+m4+m5+m6≤600 ，

（16）

O≤ml，m2，m3，m4，m5，m6≤200

3 局域共振梁多目标优化结果分析

3.1 振子质量最小优化

实际应用时，确定了目标的隔振减振频带范围，为保证减振频带范围内具有良好的衰减效果，要求减振频带内整体振动衰减20 dB以上，此时振动衰减已达90%，因此以衰减幅值大于20 dB的减振频带宽度作为有效减振频带宽度;同时考虑到工程轻量化要求，应该使振子的总质量最小。

对振子质量进行多目标优化，设置最优前端个体系数为0.3，种群大小为100，最大进化代数为500，停止代数为5 00，适应度函数值偏差为1×10 -10，得到第一前端最优个体Pareto解集如图8所示。

第2节中，6振子质量均匀布置时减振频带范围为350-450 Hz，同时在减振频带开始时衰减深度达到80 dB，减振频带内衰减深度变化较大。优化要求减振频带总宽度不变，因此选择100 Hz的减振频带宽度对应的最优目标函数值，此时振子总质量仅为298 g，相比优化前振子总质量减小50.3%，各振子质量变化如表1所示。可以发现，振子质量相互变化较大，最小振子仅3 g，最大振子达到119 g。因此6振子中存在着主要振子及次要振子。主要振子为2，4和5，次要振子为1，3和6。

优化前后的振动传递曲线如图9所示，减振频带范围均为350-450 Hz，优化后衰减深度减小，但整体衰减深度均大于20 dB，具有良好的衰减效益。在有限元软件中对优化后模型进行频响分析，减振频带内外局域共振梁振动形态如图10所示。质量均匀分布时，起到吸振作用的主要是前排振子，而振子质量不均匀分布时，此时振子间的相互耦合作用导致减振频带的产生。在减振频带频率外，梁的整体振动幅值较大，此时振动没有得到衰减，激励能量能顺利地传到输出端。而在减振频带频率内，梁的振动主要集中在输入端，同时6个振子振动幅值较大，能量有效转移到振子处，梁的后半段振动幅值很小，表明优化的效果明显。

3.2 综合平衡优化

3.1节优化是在保证减振频带宽度不变情况下，振子质量最小。而实际情况往往是平衡振子质量和减振频带宽度之间的关系，在达到减振频带宽度增加的同时振子质量减小。

通过NSGA一Ⅱ多目标优化，设置最优前端个体系数为0.3，种群大小为200，最大进化代数为500，停止代数为500，适应度函数值偏差为1×l0-10，得到的最优个体Pareto解集如图11所示。为平衡振子质量和减振频带宽度之间的关系，选取振子质量为438 g，减振频带宽度为220 Hz的目标点为最优点。此时振子质量变化如表2所示。局域共振梁结构1，3和5号振子质量占比最大，2，4和6号振子的占比较小，两者相差约一倍，大小振子呈正弦交错型布置。优化后振子总质量减小27%，而减振频带总宽度增加120%。

优化后局域共振梁振动传递特性如图1 2所示，优化后减振频带宽度为351-571 Hz，且减振频带衰减深度基本在20 dB，具有较好的衰减效果。同样在有限元软件中对优化后模型进行频响分析，减振频带内外局域共振梁振动形态如图1 3所示。在减振频带外，梁的整体振动幅值较大，此时振动没有得到有效转移。而在减振频带内，梁的振动主要集中在输入端，能量有效转移到振子处，梁的输出端振动幅值很小，表明优化结果的效果显著。

3.3 边界约束下优化结果分析

在質量最小优化后的有限元模型上，梁两端截面分别设置为简约束条件。在距一端约束面50mm的位置施加垂向单位扫频加速度激励，在距另一端约束面50 mm的位置监测加速度响应，得到其振动传递特性函数，如图14所示。约束对衰减频带的频率分布位置影响相对较小，主要影响其衰减频带内的幅值特性。因此优化在约束条件下依然有宽频减振频带效果。

4 结 论

实际应用中，不存在无限周期的梁结构，因此对有限结构的局域共振声子晶体梁进行研究，得到以下结论：

（1）结合有限结构梁的边界条件和传递矩阵，计算出欧拉梁的横向位移振幅，进而求得梁的振动传递特性，从而得到减振频带频率起始范围及衰减深度，并且有限元仿真和样件试验得到的加速度传递函数与传递矩阵法理论计算基本吻合，证明了方法的准确性。

（2）在有限结构的梁中，保持谐振器固有频率和振子总质量不变，分析了周期数对梁振动传递特性影响。减振频带范围随着周期数变化，在周期数达到一定数量后，减振频带的宽度和深度已基本稳定。

（3）对6周期的有限结构声子晶体梁，以最小有效衰减量为边界条件，减振频带宽度和振子质量为优化目标，对6振子的质量进行优化，保证减振频带位置及宽度不变，振子质量减小了50.3%。当综合考虑减振频带宽度和振子质量时，优化后振子质量减小了27%，且减振频带宽度增加了120%;同时，在梁两端简支约束下该优化方法依然具有宽频减振效果。

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