浅谈高中数学应用题中的最值问题

连晓颖

近年来，随着新课程标准的深化实施，高中数学教学在知识实际应用方面有较大的改善，逐步从注重知识过渡至学生学习能力与应用意识的锻炼.高中数学应用题中的最值问题与实际应用较为贴近，题目背景复杂多变，题型新颖个性，是以建立数学模型为基础，将实际问题抽象成数学问题，并利用求解数学模型解答实际问题，这对改善教学质量来说相当重要.

一、及时转变传统观念，注重应用数学知识

在高中数学教学过程中，针对应用题中的最值问题，教师首先需要及时转变传统落后的教育观念，注重学生对数学知识的实际应用，引导他们尝试利用数学知识求解应用题中的最值问题.因此，高中数学教师在具体的应用题教学实践中，应关注数学知识产生的实际背景，增强数学教学与现实生活之间的关联性，可以让学生利用课堂上学习到的知识来解决现实生活中的问题，使其深刻体验到学习数学知识是相当有用的.

在这里，以函数类应用题教学为例，教师设置应用题：某养殖场需要定期购买饲料，已知该养殖场每天需要使用饲料200千克，每千克饲料的价格是1.8元，饲料保管费及其他费用平均每天每公斤0.03元，每次购买饲料的运费是300元.求该养殖场多少天购买一次飼料，才可以让平均每天支付的总费用最少？解析：设该养殖场应该每隔x（x∈N+）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用是y元，根据题意得知饲料保管和其他费用每天比前一天要少200×0.03=6元，那么x天饲料的保管和其他费用一共是6（x-1）+6（x-2）+…+6=3x2-3x（元）.所以有y=1x（3x2-3x+300）+200×1.8=300x加3x+357≥417，当且仅当3x=300x，即x=10时y有最小值，答案即为10天.

如此，教师在进行函数应用题教学时，利用生活化的应用题引领学生求解最值，锻炼学生的知识应用意识，使其利用学习过的函数知识求出最值，让他们充分感受到成功与喜悦.

二、鼓励学生善于观察，发现生活数学问题

在高中数学应用题教学中，教师需结合实际知识点恰当引入现实生活中的实际问题，既能够将枯燥乏味的数学知识和学生数学化的生活原型有机整合，还可以更好地吸引他们的注意力，激发学生求解最值问题的探究动力和欲望.因此，高中数学教师在应用题教学中，需鼓励学生善于观察和体验生活，发现生活中的数学问题，让他们积极、主动地参与到求解最值问题中，将数学知识和生活实际相联系，并自觉接纳数学知识.

比如，在学习三角函数过程中，教师设置应用题：如图所示，游客从某景区的景点A处下山到C处有两个路线可选择，一种是沿直线直接步行至C处，路程为1 260米，另外一种是先乘坐缆车至B处，在沿直线步行至C处.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度是50米/分钟，出发2分钟，乙从A乘坐缆车至B处，速度是130米/分钟，且在B处停留1分钟，之后再匀速步行至C处.其中cosA=1213，cosC=35，求乙出发多少分钟之后在缆车上和甲的距离最短？解析：设乙出发x分钟后，甲、乙的距离为y，则有y2=（130x）2+（100+50x）2-2×130x×（100+50x）×1213，即y2=200（37x2-70x+50）.又因0≤x≤1 040130，即0≤x≤8，所以x=3537时，也就是乙出发3537分钟后，和甲的距离最短.

上述案例教师将三角函数知识和生活中的行程问题相结合，使学生意识到数学知识和生活之间的关联性，培养他们善于发现生活中数学问题的意识，且求最值能力也得以锻炼.

三、创设良好教学情境，学生主动求解最值

在高中数学应用题最值问题教学中，为改善课堂教学效率，教师需让学生对所学内容产生一定的兴趣，这是学习好最值问题的关键.所以，高中数学教师在课堂教学中，应当为学生营造一个宽松自由、轻松愉悦的学习环节，使其心理得以保障，并随时随刻鼓励他们，让学生能够大胆提出个人对应用题最值问题的想法与见解，帮助他们养成主动学习的良好习惯，且有助于学习效率的提高和应用意识的改善.

举个例子，房地产是一个社会热点，教师可设置应用题：为稳定房价，某市政府决定建造一批保障房，计划花费1 600万元购买一块地皮，建造10幢楼房，层数一样，每层建筑面积都是1 000平方米，建筑费用和楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用是（kx+800）元，（k为常数）.经测算，假如每幢楼高5层，该保障房每平方米的平均综合费用是1 270元.求k的值;将费用降至最低，每幢楼是多少层？每平方米的平均综合费用是多少？对k的值学生能够轻松求出是50，然后设每幢楼为n（n∈N+）层时，每平方米的平均综合费用是f（n），则f（n）=16 000 000+[（50+800）+…+（50n+800）]×1 000×101 000×10×n，1 600n+25n+825≥21 600×25+825=1 255，当且仅当1 600n=25n，即n=8时等号成立，也就是楼层为8层，费用是1 255元.

这样教师利用学生熟悉的房地产创设教学情境，他们将会主动参与到应用题的最值问题求解中，以积极的心态解答应用题，从而提高解题效率，进一步提升运用所学知识解决实际问题的能力.

总之，在高中数学应用题教学中，教师需格外关注最值问题的教学，利用多元化的教学方式，激发学生学习求应用题最值的积极性与兴趣，增强他们的知识理解能力与数学应用能力，并提升学生的文字信息转变能力与推理变形能力，最终提高他们解决实际问题的水平.