浅谈三视图还原直观图的方法技巧

樊仕松 刘强

摘 要：三视图还原直观图的问题是高考必考內容。然而在近几年的教学中，感觉学生对三视图的还原是越来越困难。这里笔者就三视图还原的方法技巧浅谈三视图还原直观图的方法技巧。

关键词：三视图；直观图；方法

众所周知，对于旋转体；可根据三个视图的点线位置直接想象还原；对于组合体，可以用拼接法还原；这两种方法还原特定类型的三视图，比较容易求解。但平时我们会遇到大量的棱锥，棱柱的三视图的还原。这类问题对于空间想象能力要求较高，学生求解起来比较吃力。这类问题可以分为两种类型：

1. 几何体的底面水平朝下

底面水平朝下这一特征在三个视图中显示出来表现为正视图和侧视图的底边线段是水平的。所以通过正视图和侧视图的底边线段是否水平就可以大致判断几何体是否底面水平朝下。还原时可以从俯视图寻找突破口，求解也相对容易。

2. 几何体的底面非底面朝下

底面非水平朝下这一特征在三个视图中显示出来表现为正视图和侧视图的底边往往是点。所以正视图和侧视图的朝下的形状表现出来是点，则可以大致判断几何体底面并不是水平朝下。这类问题还原起来相对麻烦。从俯视图入手显然行不通。

对于第二种类型，笔者在这里展示一种非常有效的还原方法——切割描点法。下面对这种方法详细描述。有几点要加以说明：

首先，棱锥棱柱的还原，一般可以放在长（正）方体中来思考。视图如果不是长（正）方形，我们就称之为视图有“缺失”。对于有缺失的视图，如果顶点相对对边处于中间位置或底边相对对边长度较短，我们就称之为“一半”。

其次，视图中虚实线的作用。虚实线实际上是几何体棱投影的体现。实线是前面的棱的投影，虚线是被挡住的棱的投影，一般是处于几何体沿投影线方形靠后的棱的投影。

最后，从投影方向上在长方体（正方体）根据某个视图的外部轮廓线进行切割，应得到能产生视图中的线面关系的最大几何体。

由此得到“切割描点法”的步骤，通过下面的例题来说明：

例1 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A. 22 B. 6

C. 3D. 23

第一步：切割

首先观察三个视图，从有“一半”的侧视图入手，在正方体ABCD-A1B1C1D1的左、右两个侧面上画出相应的左视图形状，即可得到能产生左视图所有线面关系的最大的几何体——三棱柱PDD1-QCC1，易见该三棱柱前面两个斜面上面的和下面的部分（即棱锥PA1D1-QB1C1和棱锥PAD-QBC）被切除。这里把去掉的顶点用覆盖，如图1-1所示。

图1-1

其次，从另一个有“缺失”的视图入手。这里选择从正视图入手，只考虑得到外部轮廓线，从前后两个侧面上画出相应的正视图的图形，显然该正方体对角面ADC1B1下方的部分被切除。故正方体右下方的顶点B需去掉，则得到如下图1-2。

图1-2

最后，从俯视图入手，和前面过程一样，在上下两个侧面上画出轮廓线，则对角面ACC1A1前方的部分（即几何体ABC-A1B1C1）需要切除，如此前面侧面右边的棱上的顶点Q（即为该棱的中点）需去掉，如图1-3。

图1-3

第二步：描点

将正方体中剩下的顶点P、D、C1、D1描出，如图1-4即可得到，该几何体为一个三棱柱，标记字母，即为三棱柱P-C1D1D（见图1-5）。

图1-4

图1-5

第三步：检验

对照三个视图进行检验，完全吻合，故最长的棱长为PC1=12+22+22=3，故选C。

例2 还原下边的三视图。

第一步：切割

步骤参照例1，得到初步图像2-1。

图2-1

第二步：描点将点描出后，可得该几何体为四棱锥A-BCDE（图2-2）。

第三步：检验

检验三个视图，发现左视图不吻合。具体体现在虚实线没有对上，由此可见，上述四棱锥的底面四边形需要根据实线连接相应对角线，如图2-3。

图2-2

图2-3

该对角线实际上为几何体的棱，只有投影方向前方的棱的投影才能是实线。这就意味着该底面另外两个顶点B、D中，需要去掉一个，经分析可知，需要去掉的顶点为B，如图2-4所示。

这样就得到的几何体应为一个三棱锥A-CDE，如图2-5所示：进行验证可知，该几何体的三视图完全吻合。

图2-4

图2-5

“切割描点法”步骤：

第一步：切割（从有缺失的图形入手，尤其是有“一半”的视图入手。）

第二步：描点（将最后保留的顶点描出。）

第三步：检验（检验三个视图。到了这一步，可能出现虚实线不吻合的情况，这时应该用下述的想法来操作：实线在所得几何体沿投影方向的前方连，虚线在后方连。虚实线实际上是棱的投影的体现。故连起来之后，一般来说，有顶点要去掉，通过视图分析所去掉的点，最后再进行检验。）

对于虚实线的应用，可以用过下述例子来说明。

例3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为 。

解析：三个视图都没有“缺失”，故而只能通过虚实线和轮廓线入手。需要在正方体中进行考虑，实线在前方连，虚线在后方连，如图3-1所示。

描出该几何体（粗线部分），如图3-2，经计算可得，几何体的体积为7。

图3-1

图3-2

还原三视图可用的方法技巧归纳如下：

1. 根据三个视图的点线位置直接想象还原，特别是旋转体；

2. 拼接法还原组合体；

3. “切割描点法”还原较难想象的几何体。

三视图识别与还原几何体关键在于有强大的空间想象能力，这个能力是数学科学核心素养之一。在培养空间想象能力的同时，掌握一定的还原技巧也是十分必要的。平时需要多观察，多想象，多归纳，努力提升自己的数学学科核心素养。

笔者浅薄的探究希望为迷途中的学生起到一定的指导作用，不足之处，敬请指正。也希望有更多的同仁展现自己的好的方法，供大家欣赏学习。

作者简介：

樊仕松，刘强，湖北省恩施土家族苗族自治州，湖北省巴东一中。