考虑随机利率和通货膨胀的连续时间资产组合选择

李爱忠，汪寿阳，彭月兰

(1.山西财经大学财政金融学院，山西 太原 030006；2.中国科学院大学经济与管理学院，北京 100190)

1 引言

自1952年Markowitz发表了他的博士论文 “资产组合选择的均值方差理论”以来[1]，投资组合理论得到不同深度和广度的拓展，取得了很多研究成果。由于真实的市场环境中，资产收益具有明显的时序变化特性，单调的静态资产配置模型往往不能适应实际组合管理的变化，从而实现多期均衡乃至连续时间下的动态投资组合优化。Merton基于总消费期望效用最大化的原则，运用随机最优控制技术，解决了经济个体在不确定环境下的最优投资和消费决策问题[2]，提供了该类问题的经济学含义和分析范式，奠定了后续研究的坚实基础。后来的研究人员在Merton模型的基础上做了很多扩展，如Cox J等在连续时间刻画的随机方程下给出期权定价的简化方法[3]；Sharpe WF等提出负债约束下投资组合管理的新方法[4]；Leippold M等通过几何方法研究基于资产和负债的多期均值-方差的投资组合优化问题[5]；Chiu M C在连续时间均值-方差优化框架下得出资产和负债管理的优化方法[6]；Papi M采用动态规划的最优化方法对资产和负债进行管理与约束[7]；Deelstra G等在CIR框架下给出资产组合选择的最优投资策略[8]。这些成果不同程度上拓宽了投资组合问题的分析范式，丰富了资产组合选择的研究内容。

国内也有大量关于资产组合选择问题的研究文献，特别是以随机控制模型为基础的资产组合选择问题的研究层出不穷，将Bellman最优化方法应用于资产负债组合选择的连续时间模型中，广泛研究最优消费投资策略、模糊投资组合评价、资产定价的风险溢价问题、突发事件和参数不确定性对动态资产组合选择的影响以及养老金的最优投资问题等等[9,23-27]。相关研究虽然拓展了组合理论的应用边界，然而其模型参数的静态假设常常不符合真实市场的不确定环境。事实上，风险资产的价格往往随市场波动而变化，其投资组合的目标之一就是降低这种波动带来的风险，在金融市场中选择各种资产的最优组合策略，使投资者在整个投资时期内累积财富的期望效用达到最大化。利率作为金融市场上最重要的价格变量之一，其波动性直接影响着资产价格、资产动态管理和投资组合策略的选择。从金融市场发展历史来看，金融危机、股市崩盘等突发事件经常会对资产价格造成一定冲击，由此进一步影响资产组合的投资策略。在现代经济社会中，通货膨胀是比较普遍的经济现象，它和资本市场中金融资产价格的关系历来是金融学研究的重点。通货膨胀会影响资产价格的收益率，特别是与证券市场收益的关系更为直接，它通常会引起资产价格的重估从而导致投资组合的重新配置。所以，理性的资产组合策略在最大化收益和最小化风险的基础上，还应该考虑资产的收益能否弥补通货膨胀带来的损失以及利率、汇率等宏观经济因素变动造成的影响。近年来，关于随机利率模型下的资产组合理论也取得一些研究成果，如应用随机最优控制和HJB方程以及鞅方法对Vasicek利率模型和CIR利率模型下的组合投资问题进行研究。但这些文献仅仅研究了随机利率环境下的证券组合投资问题[10-15]，并没有综合考虑通货膨胀、随机利率和交易成本等不完全市场面临的实际情况，且这些研究大都以效用函数的分析方法为基础，而实际金融市场中，基于效用函数的具体形式及参数由于其经济含义不明确且难以确定下来，限制了其在真实市场环境中的应用效果。

本文将通货膨胀、随机利率和交易成本等因素引入金融市场模型中，以便更好地刻画不完全市场的真实情况，并将利率假定为服从Vasicek利率模型的随机过程，通货膨胀和交易成本等因素的引入可为机构投资者提供更为客观和科学的理论指导。同时，充分考虑宏观经济和市场内在因素的影响，应用连续时间的动态均值-方差方法得到符合实际环境下的值函数HJB方程，通过数值逼近方法求解相应HJB方程，得到双目标优化问题的最优投资策略，并用实证方法与国内证券市场上同类型优质基金的性能和表现进行对比研究，以期对投资组合问题的研究提供借鉴意义。

2 考虑通货膨胀等因素的投资组合决策模型

2.1 模型的建立

考虑有限时域固定投资时间期为[0,T]的投资问题，各种资产可连续交易，假设市场上有无风险证券、股票和债券可供选择，其中利率期限结构采用Vasicek模型，其利率只受一个布朗运动的影响，设瞬时无风险利率满足Ornstein-Uhlenbeck过程，即满足以下随机微分方程：

(1)

其中α,β,σt是严格正常数，上式表明了利率的均值回复，β是利率长期平均水平，在给定利率方程下，可推导出固定期零息票债券和利率的值。

根据上式，得到利率的显式解为：

(2)

Vasicek随机利率模型简单好用，但其缺点是利率会以一个正的概率取负值。Cox、Ingersoll和Ross于1985年研究推导出CIR模型，运用Merton所使用的研究方法，通过将利率的平方根引入到波动率的函数中，当利率增加时利率的波动也会跟着比例增加，即将瞬时利率随机过程的随机项系数设成与瞬时利率平方根大小成正比，构建了一个基于市场利率为正的模型，得出投资机会是随机变化的结论并给出了随机环境下利率为正的约束条件。从式(2)不难看出，若对利率方程施加约束r>β，则可避免Vasicek随机利率取负值的情况。根据预期理论，长期债券的现期利率是短期债券预期利率的函数，债券期限越长，短期债券预期利率降低会使收益率曲线下降。因此，如果利率下行导致收益率曲线下降，利率有回归长期平均水平的要求，此时通过Vasicek随机利率模型得到的利率可确保为正值。不失一般性，假设在到期期限T时，零息票债券P(t,T)时刻价格为

P(t,T)=eA(t,T)+B(t,T)r

(3)

(4)

边界条件A(T,T)=0，进一步得P(t,T)满足微分方程

(5)

其中λr表示风险的市场价格，也即利率受布朗运动的扩散溢价。无风险证券价格满足如下微分方程：

(6)

另外风险资产股票的价格满足如下随机微分方程刻画的随机过程：

(7)

(8)

由于投资者关注最大化财富的真实增长率，而不是名义总资产的增长情况，因此在考虑通货膨胀影响下，对资产价格进行适当处理，以获得实际价格。这里采用Brennan和Xia定义资产真实价值的方法，即通过名义资产价格和消费品价格水平的可比关系对资产的真实价值做出评价，设πt和ψt分别表示通货膨胀率和消费品价格水平，二者满足如下的扩散过程：

(9)

令m=ψ-1代表单位货币的购买力，则m可以理解为货币价值。根据伊藤定理，m满足如下随机微分方程：

(10)

(11)

(12)

式中为了研究问题方便忽略协方差的影响。假设投资者是理性的风险厌恶者，其最优策略为终期

资产价值最大和忍受风险最小，即最大化EX(T)和最小化风险VarX(T):

(13)

其中li,hi为投资份额的限制，引入Lagrange乘子λ，易知上述问题等价为以下问题

(14)

该优化问题并非标准的二次型随机最优控制问题，借助Zhou X Y and Li D[16]嵌入法可将类似问题转化为易处理的辅助问题，即求解如下优化问题的最优策略：

(15)

(16)

(17)

2.2 值函数的数值算法

2.2.1 值函数迭代的HJB方程

根据值函数迭代的动态规划算法，利用随机最优控制理论，以值函数为中心，由贝尔曼最优性原理可得到值函数V(x,r,π)满足的HJB微分方程：

(18)

Kim&Omberg揭示了最优控制方程解的特殊构建方式[17]，值函数通常与目标函数具有形式一致性，这里采用值函数的线性多项式逼近形式：

Vx=V1x+V4r+V5π+V7,Vxx=V1,

Vr=V2r+V4x+V6π+V8,

Vπ=V3π+V5x+V6r+V9,Vrr=V2,

Vππ=V3,Vxr=V4

由最优控制问题的一阶必要条件可得最优投资策略为：

(19)

将Vx,Vxx,Vr,Vπ,Vrr,Vππ,Vxr,ω*(t)代入Bellman方程,并令其等于M即：

(20)

2.2.2 多重网格计算优化法

由于值函数的迭代性和实际问题的约束比较复杂，随机控制方程一般不存在解析解，带条件约束的HJB方程几乎没有封闭解，具有递推决策和随机过程约束的非典型资产组合选择优化问题一般不能通过Riccati方程得到其解，这常常导致经典的偏微分算法在解决实际问题时往往不能达到满意效果[18-21]。本文根据文献[22]将原问题对应的HJB方程通过离散化的多重网格近似算法转化为相应的辅助优化问题，通过遗传规划等启发式算法间接得到原问题的最优解。具体方法为：首先用线性核函数逼近价值函数并进行多重网格离散化处理；然后将最优控制方程转化成标准最优化问题；最后通过遗传规划和神经网络等算法求解约束优化问题得到最优控制。其中值函数的自变量主要考虑资产总值、通货膨胀和利率等随机变量，动态参数为x,r,π，然后将x,r,π多重网格离散化处理，代入(20)形成一组向量{M1,M2,…,Mk}，通过相应步骤处理后，最终随机最优控制方程转化为如下最优化问题，由此可得其最优资产配置策略。即

(21)

上述问题是带有随机过程约束的非线性最优化问题，本文使用遗传规划算法求解投资者相对满意的投资策略。即在资产价格随机漫步并满足(21)要求的约束条件下，对于给定的初始财富，最优投资策略是使投资者获得期望的终端财富最大并且忍受风险最小。

3 基于支持向量机的参数校正

金融市场是非常复杂的非线性系统,资产价格与许多不确定因素有关,资产价格的波动具有某种规律性，其历史数据和成交量、换手率等信息蕴含着预测未来股价的信息。近年来，基于机器学习等人工智能技术大量应用于金融领域，进行量化投资[28]。本文通过支持向量机预测股票价格中潜含的非线性、时变参数。支持向量机无需依赖全部数据，可以从小样本出发，在解决高维特征分类、模式识别和回归问题方面有独特优势，里面包含大量的核函数，可以灵活解决非线性的回归和分类等问题，即使样本量不是海量数据，也有比较强的泛化能力，在机器学习领域中有广泛的应用背景。为了揭示金融市场价格波动的不稳定性和复杂变化特征，解决本质上非线性的优化问题，本文采用基于ε-不敏感函数的非线性核映射SVM方法，根据经济运行指标和金融市场技术指标预测模型必备的各主要参数值。由于不可能所有样本点都落在ε管道中，ε-不敏感函数的支持向量回归机通过引入松弛变量ξi来解决噪音干扰的问题。定义ε-不敏感损失函数:

L(f(x),y,ε)=

(22)

同时利用结构化风险最小化准则构造其最小化目标函数:

s.t.yi-w·φ(xi)-b≤ε+ξi,

(23)

目标函数中C的大小表征训练误差对于ε样本的惩罚程度，支持向量机灵活地在模型复杂度和经验误差之间进行折衷以便提升泛化能力。该优化问题可转换为对偶问题，通过引入拉格朗日乘子可得到所求问题的支持向量。

这里以上文提到的随机利率模型为例，通过支持向量机给出相关参数的具体校正方法。步骤1，把方程(1)满足的随机微分方程离散化可得

ε～N(0,1)

(24)

当然从方程(1)和(2)可以得到随机利率的均值和方差，联立它们可以获得α,β,σt与均值、方差的显式关系，这样就可以通过神经网络或支持向量机为步骤2变相生成对应参数的预测数据，然后混合蒙特卡洛随机产生的数据作为优化数据输入，为后续工作打下良好基础。这些处理技术在图像识别、自然语言处理、神经网络以及人工智能等领域被广泛应用[29-30]，可以极大增强其预测能力。与一般统计方法的参数估计相比较，该方法的好处是通过支持向量机出色的函数逼近功能和预测能力来校正相应参数。同样地，对于通货膨胀和风险资产满足的随机微分方程中的参数也可采取类似方法进行参数校正。由于通货膨胀率是宏观变量，可以考虑更长的时间跨度，取1978年到2017年的数据为宜；风险资产的数据则取1995年到2017年为研究对象。另外，交易费用由平均交易成本和冲击成本加权合成，冲击成本包含两个部分：一是流动性溢价，二是价格反向变化导致的高于最优买卖报价的中值成本。

由于金融市场资产价格具有很强的时变特征，其收益率结构往往不能用标准的概率分布描述，股价运动状态更多呈现非线性非高斯波动情形，用一般几何布朗运动刻画股价扩散方程容易忽略结构变化的问题。因此，本文采用支持向量机分段逼近、反复训练的方式提升目标泛化能力，先选取指定时间段的样本进行拟合，然后不断移动滑窗块选取另一时域的测试样本进行预测从而估计相关参数值。本文以中债指数、沪深300和为债券和股票的参照物，选取研究时段为1995年1月3日到2015年12月22日期间数据为训练样本，2015年12月23日到2017年6月23日期间数据为测试数据，其中沪深300指数2005年才上市运行，1995到2005期间数据可由上证指数和深圳成指加权合成。通过基本面分析和技术分析相结合的方法，选取反映有投资价值的价格、流动性、市净率和市盈率等指标，利用支持向量机进行预测，从而得到连续时间模型中各参数的估计值。最后，利用本文提出的投资组合模型构造大类资产配置组合，并与市场上有代表性的指数基金相比较，以便更好反映各投资策略之间的区别，从而有效甄别出组合的最优投资策略。

4 实证研究

4.1 参数校正

本文通过支持向量机预测的方法进行参数校正，风险资产以沪深300指数为参照物，相关输入变量包括：价值指标(收盘价、最高价、开盘价、最低价)、流动性指标(成交量、平均换手率、成交金额)和企业基本面指标(流通市值、市净率、市盈率)等，输出变量为均值和方差，然后嵌入遗传算法，通过多次迭代得到方程中涉及收益率和波动率的参数值。利率部分参数值则参考金融机构人民币二年期定期存款基准利率，然后和中债指数收益率和波动率的预测结果加权合成得到参数估计值。其中突发事件可能影响到资产价格的骤然变化，可通过德尔菲法进行综合分析和调整。表1列出采用支持向量机得到各变量的最终结果。

表1 支持向量机方法得到的各参数值

4.2 连续时间投资组合的优化结果

本文通过粒子群算法优化支持向量机中的主要参数，粒子群优化算法是根据飞鸟集群活动的规律性启发衍生出来的进化计算技术，可用于解决全局最优化问题。它模仿鸟群的捕食行为，搜寻距离食物最近的周围区域，不断更新个体最优位置使整个群体的运动产生从无序到有序的演化过程，从而获得最优解。PSO总体上采用粒子的速度决定其方向和距离，在搜索过程中，粒子通过跟踪个体最优Pbest和全局最优Gbest来更新自己，通过不断迭代和更新找到整个种群最优解，具有较快的收敛速度。PSO用如下公式优化粒子的速度和位置，其特征用位置、速度和适应度三项指标表示:

V′=V·α+c1r1(Pbest-P)+c2r2(Gbest-P)

P′=P+V′

(25)

表2 数值逼近得到值函数在测试期间的各参数值

为了更清楚刻画随机利率和通货膨胀对资产配置的影响，放宽对投资组合中资产配置的比例限制，加入卖空机制，考察投资者的投资组合性能和偏好的变化情况。图1分别展示了随机利率和通货膨胀影响下资产组合的有效前沿，从图上可以发现，投资组合在加入通货膨胀和利率因素后，有效前沿进一步向右下方移动，即在同样预期收益和忍受同等风险的情况下，组合收益有减小趋势。究其原因，通货膨胀和利率变动会影响资产估值和企业融资水平，利率升高，融资成本增加，企业盈利能力下降，降低了投资者期望收益率，组合资产的内在价值下降；通货膨胀则会对经济造成负面影响，通货膨胀上升在一定程度上减缓潜在经济增长速度，使得资产价格承压，收益率下降，尤其通胀后期，往往配套紧缩货币政策推动利率上涨，风险资产吸引力减小，投资者出于避险需求，资金配置将转向债券和银行市场。这无疑从另外角度揭示组合内部适当增加防通胀的对冲性资产可有效改善有效前沿，使其向左上方移动，进一步获得更稳定的投资收益。

图1 考虑通胀情况和随机利率环境下有效前沿变化示意图

图2显示了通胀情况和随机利率环境下投资组合内各资产投资比例变化的情况，可以发现，通货膨胀会影响投资预期，引起投资机会集的改变，导致投资策略随之变化，严重通货膨胀甚至会削弱资产收益能力，组合为了保持收益最大而风险最小必须重新优化资产配置比例，这直接导致不同资产间的投资比例随经济环境呈现潮涨潮落的变化，为了避免通货膨胀带来更大损失，投资组合会适时调整风险资产头寸来对冲组合价值下跌的风险；同时，利率的不确定性特别是加息情况下，投资者风险偏好和其有效前沿均会受到影响，导致风险调整收益、夏普比等指标下降，表现在投资策略上就会逐步增加无风险资产头寸来抵御利率变动造成的不利影响，相应组合的资产配置比例将会随时间推移而发生非线性非光滑变化。因此，实际金融市场中，通货膨胀和利率变动通常情况下都会引起投资组合中资产配置比例的非线性变化，有效前沿也会改变，债券与股票之间的比例必须动态调整，简单维持固定比例不足以保持组合总价值最优且风险最小，这无疑扩充了基金分离定理对有效前沿资产组合进行线性组合投资的限制，投资者可以通过连续时间资产配置的非线性均值调整策略来近似最优策略以保证组合总资产最优。本文可为从事实际投资活动的机构投资者提供实实在在的策略建议，对其管理组合起到重要指导作用。

图2 考虑通胀情况和随机利率环境下债券股票投资比例变化示意图

另外，为进一步考察本文提出的连续时间投资组合的具体效果，特别引入有代表性的市场风格指数作为比较对象，以反映不同投资组合间的差别。表3列出了连续时间投资组合和上证指数、深证成指、创业板指数、中小板指数和中证500指数收益情况和业绩对比的表现，其中连续时间投资组合的投资比例采用三元组的均值组合{0.6956,0.1239,0.1805}按照股票、债券和无风险资产的顺序表示。从表中不难看出，2015年6月股灾发生以来市场长时间处于调整当中，加之英国脱欧、美联储加息预期增强，市场跌声一片，各指数难有好的表现，但采用连续时间的动态投资组合策略在组合收益、组合方差、夏普比率、信息比率、最大回撤损失以及VaR等方面都优于市场上其他指数，实证研究发现，连续时间的非线性资产配置策略可以获得更高的风险调整收益，组合方差、最大回撤损失以及在险价值等指标都有所改善，策略在一定程度上表现出相当的优越性。

表3 不同组合的收益情况和业绩比较

5 结语

本文通过随机控制技术、Bellman最优性原理、HJB方程和数值逼近方法研究了通货膨胀、随机利率和交易成本等因素影响下的连续时间投资组合选择的最优化问题,利用嵌入法得到终端财富最大和其风险最小的双目标优化问题的最优投资策略，用实证方法与国内证券市场上代表性指数基金进行对比研究，发现组合最优策略很大程度上受宏观经济变量如通货膨胀和利率以及投资者风险偏好和异质信念等因素影响，资产配置比例并不是简单维持固定比例就可以保持组合总价值最大和风险最小，拓展了基金分离定理。实证结论对资产配置及组合管理具有重要的指导意义，本文的创新点在于：

1)将通货膨胀、随机利率和交易成本等因素引入到连续时间投资组合模型中，使得模型更贴近实际，通过多重网格化的数值逼近方法和贝尔曼优化原理得到相应最优控制问题的最优策略。

2)突破效用函数的分析方法，利用嵌入法引入辅助问题解决了连续时间的动态均值-方差投资组合问题，运用数值逼近法得到了含约束HJB方程的数值解。

3)采用基于支持向量机的非线性预测方法进行时变参数估计，克服了资产价格服从正态分布以及爆发性、集聚性等非线性现象和大样本要求，SVM利用核函数进行非线性映射，更有利于揭示金融市场非线性和非高斯分布的本质，比传统的统计方法更有效。

实际投资环境中，借贷利率是不同的且利率的影响因素极其复杂，投资组合的管理还会受到负债条件的限制，利率的期限结构和其服从的随机过程很难被明确地确定下来。因此进一步研究有关利率模型下资产-负债管理问题的最优投资策略，考虑利率服从更加复杂的利率模型且利率与风险资产存在一般的相关性，深入研究负债情形下多种风险资产的最优投资策略问题仍是一个长期努力的方向，相关研究亟待进一步深入。