强不确定系统“全系数之和等于1”的实现方法*

孟 斌

1.北京控制工程研究所，北京 100094；2.空间智能控制技术重点实验室，北京 100094.

0 引 言

图1 “全系数之和等于1”输入变换示意图Fig.1 Diagram of input transformation for“sum of all coefficients being one”.

图2 全系数自适应再入制导总体结构图Fig.2 Diagram of all coefficients adaptivereentry lifting control[4]

本文考虑强不确定系统“全系数之和等于1”的实现问题，强不确定系统指的是系统的静态增益及其界不完全确知且范围较大.针对采用静态增益标称值的倒数进行输入变换的方法，给出“全系数之和等于1”的条件，以及进一步实现“全系数之和等于1”的方法，为特征模型理论在实际中的应用提供一定的基础.

1 预备知识和问题描述

1.1 预备知识

本节给出“全系数之和等于1”的相关引理，为后续研究提供准备.考虑开环稳定最小相位连续时间传递函数

(1)

其中αi,βj,i=0,1,…,n-1,j=0,1,…,m-1,表示实系数，T表示采样周期，k表示系统增益，d为正数，0≤f<1,表示系统的时滞.其零阶保持采样离散化传递函数[6]为

(2)

其中ai,bj,i=1,…,n,j=0,1,2,…,n是实数.“全系数之和等于1”指的是，离散化系统(2)的系数满足如下关系：

(3)

上述关系是在一定条件下成立的，具体的引理如下：

引理1.在连续时间模型(1)与它的零阶保持采样离散时间模型(2)的参数之间存在下列关系：

(1) 离散时间模型与系统静态增益G(0)之间满足

∀T(4)

(2) 离散时间模型在

(5)

的条件下满足

其中，λi<0,i=1,2,…,n,表示(1)的n个特征值.

从引理1可见，当式(4)中静态增益G(0)=1，或者式(5)成立时，可以近似得到(3).在引理1的条件中，静态增益G(0)=1是显然的，但条件(5)较复杂.在主要结果部分，将给出条件(5)的一个简化的充分条件.

1.2 问题描述

本文对实现“全系数之和等于1”的一类输入变换方法开展理论研究.考虑连续系统(1)，其传递函数为：

(6)

2 主要结果

本节给出主要结果.首先定义时间常数为

最小时间常数为

其中，λmax为特征值的绝对值的最大值.下面给出引理1条件(5)的一个简化的充分条件.

证明.首先证明当λi<0,i=1,2,…,n,时，

(7)

通过简单分析函数

(8)

的性质可知：f(x)单调增加，当x<0时，f(x)<1.通过函数泰勒展开易见，

由于λiT<0,i=1,2,…,n,结合函数f(x)的性质，可知式(7)成立.下面分析α0Tn的性质.由最小时间常数的定义可得

所以

因此，如果

(9)

|α0Tn|≪1(10)

结合式(7)和式(10)，当|G(0)-1|<1时，通过简单分析可知式(5)成立.引理得证.

注2.由引理2可知，如果静态增益与1的距离较小，也即满足|G(0)-1|<1.可以通过选取采样周期的方法，近似实现“全系数之和等于1”.当已知系统的最小时间常数，可以通过适当选择采样周期T满足引理2的条件，从而近似实现“全系数之和等于1”的关系.

下面进一步研究标称值变换的性质.从图1可以看出，通过标称值变换以后，系统的传递函数为

(11)

则有

(12)

易见，

(13)

3 数值仿真

选取连续传递函数(1)，具体取值为

(14)

为简化书写，这里仅假设存在不确定性Δβ，Δβ在下面的仿真中取不同的值.通过简单计算可知，

s4+26s3+251s2+1 066s+1 680=

(s+5)(s+6)(s+7)(s+8)(15)

易知，最小时间常数Tmin=1/8.静态增益

将G(0)分成标称部分和不确定性部分，从而可以利用标称部分进行输入变换：

其中，

易见

(16)

(17)

第一组仿真结果为：

第二组仿真结果为：

第三组仿真结果为：

上述仿真结果验证了定理1的结论.通过比较第一组和第三组的仿真结果可见，通过减小采样周期，误差可以得到大幅改善.

注3.从上面的仿真可以看出，采样周期在全系数之和等于1中具有重要作用.在采用“全系数之和等于1”结论的场合中，要特别注意特征参数T/Tmin的选取.

4 结 论

本文研究强不确定系统“全系数之和等于1”的实现方法.当系统静态增益的不确定性和标称值的比值小于10%时，可以直接采用标称值输入变换方法，变换后的系统可以近似认为实现了“全系数之和等于1”；当上述比值较大时，进一步给出了通过选取合适的采样周期，选取采样周期和最小时间常数的比值较小，近似实现“全系数之和等于1”的方法.通过仿真可见采样周期的选取是实现“全系数之和等于1”的关键要素.