定点、定值和轨迹，“设而不求”显神威

■湖北小池滨江高级中学 汪亚洲

一、试题呈现

例已知椭圆),△A O B的面积为1。

(1)求椭圆C的方程。

(2)设P为椭圆C上一点,直线P A与y轴交于点M,直线P B与x轴交于点N。

求证:|AN|·|BM|为定值。

二、初识庐山

本题第一问的门槛低,能够较轻松地解决,问题是要注意椭圆的几何意义中的:a2=再结合已知条件中的和面积等于1就可以了。第二问倒是让人觉得有些难做,P为椭圆C上任意一点该怎么处理?如何求出|AN|·|BM|的值,本文尝试对这些问题进行回答。第一问易得a=2,b=1,c第二问要证明|AN|·|BM|为定值,只需设出P点的坐标(x0,y0),把P(x0,y0)当作已知点,结合A(2,0),就可以求出直线P A的方程,再令x=0,就可以求出点M的坐标,点B和点M都在y轴上,两点的纵坐标相减就得到|BM|的值。同理,可以求出AN|的值,然后计算乘积即可。

另一种解法是:点P的坐标设为参数形式,其他的不变,也可以算出|AN|·|BM|的值。

三、拾级而上

首先我们要把第一问解决好,因为这样就更有信心去做第二问。我们一看就知道椭圆的方程是标准形式,那么椭圆的长轴在哪个坐标轴上呢?教科书上讲了“分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上”观察发现焦点在x轴上,椭圆是横着放的,离心率是所以列出第一个等式:;再由△A O B的面积为1,列出第二个等式;最后由椭圆的几何性质得出第三个等式:a2=b2+c2。

接下来如何解决定值问题呢?

(一)对点P的坐标“设而不求”

这里的定值之所以难处理,关键就是点P的不确定性,怎么办呢?没关系!设P(x0,y0),把x0,y0当作已知数处理。又因由直线方程的点斜式得直线P A的方程-2),再令x=0,就可以求出点M的坐标因为B(0,1),所以|BM|=同理可求出|AN|的值。

(二)发现x0,y0的关系

因为P(x0,y0)在椭圆上,所以中,能算出结果吗?不要担心,一切都在意料之中!鼓足勇气去证明试试。

(三)尝试证明,收获成功的惊喜

因此将|BM|、|AN|放在一起相乘的结果是:

太棒啦!这个证明成功了!

四、另辟蹊径

在本题第二问的证明中,若P点的坐标不设为(x0,y0),而改设为参数形式,会不会减少计算量呢?由,类比联想(c o sθ)2+(s i nθ)2=1,故令=s i nθ,即P(2 c o sθ,s i nθ)。

五、名师指点

1.有关定点、定值、轨迹的数学问题,可以根据需要设定一些未知数,不必求出未知数,在计算中可以巧妙地将未知数消去或代换,使问题的解决变得简捷明快,在这里不妨称为“设而不求”法。初次接触这一方法的人,无不惊叹它的微妙。

2.对程度较好的同学,还是应进行适当的训练,通过做典型的习题使自己熟悉各类试题中的变化,提高自己的解题能力。

3.在解题过程中既要大胆,又要细心。任意点的坐标先设出来不要紧,在随后的计算中会被约分,变成常数。

六、巩固练习

2.已知椭圆C:9x2+y2=m2(m＞0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段A B的中点为M,求证:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。

答案及解析:

1.设P(x0,y0),依题意有:(定值)。

2.设直线l:y=k x+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)。

将y=k x+b代入9x2+y2=m2,得(k2(定值)。