2017年高考浙江理科卷压轴试题命题手法探究

福建省泉州第五中学 (邮编：362000) 福建省泉州实验中学 (邮编：362000)

研读2017年高考浙江卷的压轴试题，追根溯源，发现本题源自数列不动点的解题思想，将数列、函数、不等式等知识进行交汇，并从中提炼、设置问题．下面展示探究本题命题方法的思考过程，并根据此命题方法进行试题命制.

1 试题展示

题目(2017年高考浙江卷理科)已知数列{xn}满足x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).

证明：当n∈N*时,

(Ⅰ)0

2 命题手法探究

数列是特殊的函数，命题者考虑以函数为背景构造递推数列，并利用函数与导数来研究数列的性质，强调数列的本质.

第一步：确定函数解析式.

命题者先确定题干的函数背景.

指数函数和对数函数是高中阶段学习的两个重要的基本初等函数，是函数与导数题目中的热点函数模型；不等式x-1≥lnx、ex≥x+1更是教材的习题中证明过的一组不等式，命题者拟增加考查不等式x-1≥lnx的放缩应用(可以变形为x≥ln(x+1))，故确定函数模型f(x)=ln(x+1)+x.

第二步：确定递推数列，寻找不等关系.

接着，命题者构造数列{xn}满足递推关系xn=xn+1+ln(1+xn+1).

图1

由x≥ln(x+1)，知当x>0时，x

图2

第三步：模拟学生解答.

下面证明问题(Ⅰ)“不等式00.

图3

此题干的一个亮点就是数列递推关系是xn=f(xn+1)形式，且无法写成xn+1=g(xn)，则导致无法从数列的前项推后项，只能由后向前推，故本问的证明宜采用反证法．

假设∃n0∈N*，使得xn0+1≤0，则xn0=xn0+1+ln(1+xn0+1)

第六步：不等式变形设置问题(Ⅱ).

经过上述步骤，便完成了2017年高考浙江理科卷压轴题的命制.

3 命制新题

经历了上述试题的探究过程，我们掌握了试题的一种命题手法．应用同样的手法，我们可以进行试题的命制，下面笔者命制两个试题，供读者赏析.

新题1已知数列{an}满足a1=1,an+1=sinan，n∈N*.(附：sin1≈0.84.)

证明：(Ⅰ)0

(Ⅱ)an+1an>an-2an+1；

证明(Ⅰ)数学归纳法证明.

当n=1时，a2=sin1，显然0

假设当n=k时，原不等式成立，即00，ak+2>0.

f(x)=sinx-x，f′(x)=cosx-1≤0，所以f(x)递减，由ak+1>0，得f(ak+1)=sinak+1-ak+1

综上可得∀n∈N*，0

即an+1an>an-2an+1.

新题2已知数列{an}满足a1=1,an=2ean+1-2.

证明：(Ⅰ)0

证明(Ⅰ)数学归纳法证明.

假设当n=k时，原不等式成立，即0

当n=k+1时，由假设ak+1>0可知2eak+2-2>0，则eak+2>1，所以ak+2>0；函数y=2ex-2单调递增，若ak+2≥ak+1，则2eak+2-2≥2eak+1-2，即ak+1≥ak，与假设矛盾，故0

(Ⅲ)g(x)=ex-1-x,g′(x)=ex-1,当x∈(0,1)时，g′(x)≥0，g(x)递增，g(x)≥g(0)=0，