对一道函数隐零点问题的思考

新疆维吾尔自治区石河子市教育局教研室 (邮编：832000)

案例已知函数f(x)=x·ex-1,g(x)=lnx+kx,且f(x)≥g(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则实数k的最大值为.

本题是一道不等式恒成立问题，也是一个函数隐零点问题.主要考查导数的运算、利用导数研究函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力、分析解决问题的能力，属难题．其主要考查：(1)函数与导数、单调性、最值；(2)不等式与函数的转化；(3)转化与化归的思想方法；(4)构造法.

解决数学问题不是仅解决学会了多少知识点，而是研究在解决问题的过程中所涉及知识点上有多少思维点，有哪些关键过程，蕴含了哪几个数学核心素养，教师要有意识地引导学生学习和掌握思维点，创造学生思考的时间和机会，让学生学会思考，形成和发展数学素养.

关键过程一理清思路 汇聚智慧

在解决该问题的过程中，能够培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等的综合素养.

通常来讲，解决这类问题的思路，一般有以下三种思路.

思路1利用数形结合，问题转化为kx≤xex-1-lnx，x>0时恒成立，即φ(x)=xex-1-lnx(x>0)的图象在直线y=kx的上方.

思路2将不等式恒成立转化为函数的单调性，借助于导数得到所求参数不等式，通过函数最值求得k的取值范围.问题转化为xex-1-lnx-kx≥0，x>0时恒成立，即y=xex-1-lnx-kx(x>0)的最小值大于或等于0.

解题思路形成、汇聚和选择的过程，就是智力活动养成习惯的过程,也是数学核心素养的重要成长点.不难看出，上述三种思路的形成过程中，包含了数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，也就是发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养的具体过程.

关键过程二异曲同工 凸显过程

按照以上思路，下面是对应三种解法：

三种解都有相对完整的阶段性过程，核心素养的培植离不开这些看得见、摸得着的解题步骤.数学符号、多样的方法、详实的解题过程，呈现在学生面前，知识与技能在解决问题的过程中积累，数学抽象、逻辑推理、直观想象素养在解题过程中无声无息中形成，感悟知识与数学素养的有机融合.

关键过程三步步为营 追本溯源

所以h(x)在(0,x0)内单调递减，在(x0,+∞)内单调递增.

关键过程四临门一脚 揭晓谜底

核心素养的培养需要给学生提供多样态的学习方式.特别是被称为“数学基本功”的逻辑推理素养，需要长期不断、多角度、多方式地综合培育.经过上面解题的“行不通”，学生才会发现问题的难点，也就是关键点，如何求出h(x)的最小值.在云计算和人工智能时代，利用信息技术也是一种必需的学习手段，如借助几何画板来探寻上面的问题.画出函数h(x)(图中的f(x))的图象，由图不难发现，hmin(x)=1.所以k≤1，故填1.

通过数学应用软件，使问题得到初步解决，但数学是培养人的严密的逻辑思维素养的学科，逻辑思维需要经过缜密的推理过程来形成，解题过程就是推理过程，这个结果不能让人“心服口服”.从解决问题的过程来看，借助几何画板，看似“合情”，但不一定“合理”.这样解决问题不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，数学素养的培养就是要“刨根问底”，找到解决这个问题的根本理由和依据，特别是严格的逻辑推理过程.需要设置问题的合理性、解决过程的简洁性、数学思维的批判性和严密性，这就是说，即便是普通学生，也渴望发展逻辑推理素养.数学核心素养成了学生的内需，这就是数学核心素养在“问题”的解决中逐步落实的过程.

严格推理，详细解答，才能使对知识的接受与发现、对结果的理解和认可、对解决问题与数学素养有统一的认识.接着前面的过程深入进行：

则ln(x0ex0)=lnm，即lnx0+x0=lnm，

所以φ(x)在(0,+∞)内单调递减，而φ(1)=0，

所以hmin(x)=1，

所以k≤1.故填1.

通过巧妙的构造，经过严格的计算、推理，经历了从始至终的过程体验，问题解决了，学生心中的“疑云”消失了，心里敞亮了，学生的智慧被启迪了，也就改变了他们的思维方式.在学生的解题过程中，数学核心素养如“润物无声”般地发芽、生根、开花、结果，将来才能成为能够独立解决问题的人.

基于案例中解决问题过程对数学知识、思想、方法的灵活应用，面对具体的数学问题，学生通过认真观察、分析、思考、归纳、大胆质疑，提出新的问题.为了解决问题，必须重新积极思考、探究、创造性地建立假设.所以，以笔者拙见，解决数学问题的过程是培育学生数学核心素养的基本方法和重要抓手，目标和难度适当的问题情境，以及参与、思考、探索的过程会为数学核心素养的培育提供强劲动力.

由此，在解决问题中培育数学核心素养的几点启示：

(一)设置数学问题的质优性

对数学问题的有效解决不仅仅表现为对问题的思考，学生与教师、学生与学生之间的对话，更是与数学实质的一种思辨和表达——这才是触及数学学科实质的有效交流，但它的最基本条件是问题本身要适合学生的生活实际，科学合理，要选择优质的数学问题.优质数学问题应具有普遍性、针对性、合理性、活动性和思维性.

(1)普遍性

对拟解决的数学问题情境的设置和选择，应规避陌生、偏难等现象，具有在学生的生活中普遍存在的数学问题，学科间具有的基础、共性和综合的问题.需要学生在活动中、在生活体验中慢慢形成.

(2)层次性

提供的数学问题，既不能过于简单，也不能过于复杂到学生无法解决.一般来说，问题蕴藏的条件逐步加强，所运用的综合知识渐渐增多，难度应该逐步上升，素养要求也循序渐进.当然不能难度无极限，甚至不合理，这样就失去了解决问题的价值.解决方法比较灵活，问题难度有梯度，具有很强的层次感，有助于问题的解决，更能激发学习数学的兴趣，有益于数学核心素养的形成.

(3)合理性

在选择数学问题情境时，对培养对象、内容、目标都应全面平衡，是否合理.明确要解决的数学问题应适合哪个年龄段的学生，首先要关注学生是如何思考、如何理解的，要尊重学生的认知规律.他们的认知规律，已经具备了哪些数学知识、有哪些相关的数学活动经验.要解决这个问题应该储备的知识、思想和能力，解决过程中或解决后，能培育哪几个具体的数学核心素养.如上面的案例，对高中低年级的学生就不适合，没有具备必要的知识和解决综合问题的能力，而针对高三的学生，不仅可以复习函数与导数的知识、开阔思路，激发学习的欲望，还可以提高必要的数学核心素养.

(4)活动性

优质、开放的数学问题包含了丰富的数学活动空间.利用所学知识，通过独立思考、展示交流、深入探究等活动性过程，既有一题多解，还有多解归一；既有动脑，还有动手运算，形成解决问题的全过程，这就是数学活动经历，也是数学活动经验，这也是所要解决数学问题的价值所在，更使解决过程更有培育素养的意义.

(5)思维性

数学学科的作用是培养人的思维素养，使人更有逻辑地分析问题，提高解决问题的能力.其中数学问题承载着培养多样思维的任务，蕴含着多种思维品质.学生的学习生活中，机械、简单运算，这种不注重思维的培育只关注计算结果和算法一统的数学问题，对培育和发展学生的思维没有多大价值的数学问题，不该至少是尽量不出现在学生的学习中.由此可见，数学问题与思维要相匹配，问题情境应该具有一定的思维价值.

(二)解决数学问题过程的完整性

解决问题的完整性包括解决问题的过程、思维的过程、培育数学核心素养的过程.基于核心素养问题的解答，不仅仅是学生对思维结果和思维过程的表达，还能促进学生思维的发展，它更象一种对话——多种观点的分享、沟通和理解，更是多种思维的分析、比较、归纳、批判和整合的互动过程，并最终促进学生对知识的深刻理解，对数学核心素养的无声内化.

(1)解答要有过程性

记录自己的思考过程，哪怕是任何转瞬即逝的想法，更应尊重解决问题过程中的多种方法并合理表达，其实就是让学生成长的过程.解决质优量适的数学问题，让学生表达不同算法的思考过程、达到相互沟通理解，实际上就是承认了解答过程是一个群体中互动的经验过程；对不同的算法做出比较、判断和优化，也即把解答视为一个具有“社会协商”性质的主动建构过程.从这个角度来看，多种解法问题的实质与当前人们对学习的认识是一脉相承的.原来认为数学学习中只要让学生解决某个问题就行了，现在的理解是仅仅解决问题还是不够的，还得有过程，过程中还要引导学生彼此的思想碰撞和独特的个性.

(2)解答保证完整性

解决数学问题中基本数学活动过程非常重要，它包括思维的过程和解答的经验，其本质是会想问题、会做事情，而这些主要来源于积累.对一个数学问题的完整解答，全方位、大视角就是把“想法”、“做法”表达完整，突出解决问题的细节描述，才使学生疑惑变“透亮”.完整的过程要放在培养创造性思维和提高问题解决能力上，多角度探究，让学生有理性和批判精神.要鼓励学生创造，宽容错误和失败，学生要不怕思考不畏运算，鼓励学生质疑问难，进行自主、合作、探究式学习，就是在用多种方式，追求完整的解决问题的过程.学生更像在知识丛林中散步，在其中慢慢探究、深入思考、全身心感悟.看似“低效”的“散步式”课堂教学，让学生离核心素养更近了一些.

(3)解答方法多样性

解答不必过度关注过程的技巧，以及问题解得是否精彩，而是要更多地关注学生是如何思考的、能否很好地接受学习内容，视角是否独特，想法是否有创意，敢幻想敢尝试，尽情展示思维的发散性，倡导深层次、多样态的解答方法，保证解法完整无缺，讨论各种解法的异同，最终找到最优解法.通过对截然不同，或“形散神聚”解答的深度体验，蕴含其中的数学素养根植于学生灵魂，同时也能真正实现从“被动接受”到“主动探究”的学习性质的转变.

(4)过程性评价

完整的过程应包含过程性评价.对每个关键步骤想法的创新性、解答情况、思维的表达情况和数学素养的生成情况，形成阶段性、过程性的评价标准.这样的评价指标使学生始终知道自己做到什么程度了、距离更高的标准还有多远，能很好地引领学生感悟数学本质，提升数学素养.过程性评价强调过程，能够及时、有效地反馈到每一位学生才会有更好的效果.

(三)数学核心素养在解决问题中生成

在解决数学问题中获得一些基本知识、学会一些基本技能之外，终极目标是培养核心素养.数学核心素养在解决问题中生成，大致可以分为三个阶段：

第一阶段是解决问题.对具体的数学问题能够彻底解决，对过程无可置疑，对结果毫无疑义，这是初级阶段，也是数学核心素养在学生中生长的必经历程.

第二阶段是强化解决问题的过程.解决问题本质上是一种过程，可能是思考的过程或者智慧结晶的过程.因此以素养为本、致力于能力的问题，在本质上是一种强调过程的解决问题.这种完整的解答过程，无论繁与简，优与劣，甚至对与错，都应在解决问题中凸显，如独立思考的过程、书写的过程、交流展示、自我评价的过程等.

第三阶段是对问题智慧解决的过程.现在提出的解决问题目标不是一维的而是三维的，不仅重视结果(知识)，还要重视过程(智慧)、重视学科素养的培养.首先对解决方法和过程进行优化选择，然后明确在具体环节、以最易接收的方式融入哪(几)个数学核心素养.

解决问题的过程要突出什么？就是要突出教师的教学方式，而改变教师的教学方式只是手段，不是目的，目的是要改变学生的学习方式，最终改变学生的思维方式，在过程中培育数学核心素养.

学生的个性化成长，特别是数学核心素养成长成为数学学习的中心目标之后，优质的数学问题将逐步演变为数学素养的平台中心、测评中心、活动中心和个性化教育培育中心.

总之，数学核心素养的形成，不是依赖单纯的数学问题，而是依赖学生参与其中的数学活动；不是依赖记忆与理解，而是依赖感悟与思维；它应该是日积月累的、自己思考的经验的积累.基于核心素养的数学问题，要求教师要抓住数学问题的关键，结合学生的认知规律合理优化数学问题，启发学生充分思考、展示、交流，让学生在解决问题的同时，深度感悟数学知识的生成、发展过程，积累数学思维和数学实践的活动经验，形成和发展核心素养.

将核心素养的培养融入到解决问题过程当中，学生数学核心素养才会生根、发芽、成长，终究学会在关联，甚至在综合的环境下，从数学角度发现问题，可以用数学的思维方法分析问题，还可以用数学的方法解决生活中的实际问题.