水下发射装置非线性冲击响应分析及减振器参数优化

张亚静， 苏金鹏， 董彦鹏， 彭雪明， 华宏星

(1. 上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 20240； 2. 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 20240； 3. 北京机械设备研究所，北京 100854)

水下弹体发射时会产生巨大的冲击载荷作用在发射筒底部，出筒时航行体同时受到流体阻力[1]、摩擦力和气密环-减震垫的支撑作用[2]，引起的整个发射装置的剧烈瞬时振动响应非常复杂，对发射装置及未弹体的结构强度将产生很大影响[3]。对弹体发射引起的瞬态冲击响应进行分析计算和控制是水下弹体发射动力学的重要研究内容[4-5]，也是进行冲击隔离的基础。

连续发射时，如图1所示，第一枚弹体发射引起的有阻尼衰减振动响应还未完全结束，第二枚弹体发射。显然，第一枚弹体引起的系统振动对第二枚弹体来说是一种初始扰动，会影响弹体的发射精度。而第一、二枚弹体发射引起的残余振动又会叠加影响后续弹体的发射。如此循环，连射时这种叠加会一直持续下去。另外，随着弹体数目的减少，整个发射装置的质量发生变化。在发射过程中，为了保证发射精度，对应发射筒底部的纵向减振器会在发射瞬间锁死，其刚度发生突变。系统的质量，刚度矩阵都发生变化，即系统是时变非线性的，故不能用谱分析法或者模态叠加法计算冲击响应，可利用直接积分法处理之[6]。

求解系统瞬态冲击响应的直接积分法分为显式方法和隐式方法，在显式积分中，数值稳定性取决于积分步长Δt；隐式积分满足一定条件时，对任意Δt都稳定[7]。在隐式积分中，基于平均加速度的NewMark方法由于无条件稳定和具有二阶精度，使用最为广泛[8-9]，本文即基于该方法进行冲击响应计算。

图1 水下发射装置连射时的振动叠加问题

本文将一个连射的水下发射装置简化为多自由度的弹簧-质量-阻尼系统，根据牛顿第二定律推导了该系统的动力学方程，并将质量、刚度和外载荷矩阵表示为随时间变化的矩阵通式，随后基于NewMark直接积分法，每隔一个弹体发射间隔改变系统参数及初始条件，求解系统考虑参数变化的非线性冲击响应。最后给出一数值算例，采用本文方法求解系统的非线性冲击响应，通过与有限元建模得到的计算结果比较，验证了本文方法的准确性。在此基础上提出了纵向减振器刚度、阻尼参数的优化方法，根据给出的时域响应约束条件求出纵向减振器刚度、阻尼系数的合理取值范围，在该范围内，减振器具有较好的减振性能。该优化方法在发射装置减振器的设计和参数优化方面有较高效率和优势，具有重要工程意义。

1 模型简化及公式推导

1.1 模型描述及简化

本文研究的水下发射装置结构如图2(a)所示，主要包括底座、纵向减振器、横向适配器及多个发射筒和弹体。发射装置安装在潜艇预设的发射井内，底座与发射井底部安装座相连，将底座简化为质量-弹簧系统，其参数m0,k0可以通过求解底座的模态质量和模态刚度得到。

发射筒和弹体为壳体结构，其纵向振动模态频率非常高，在纵向激励下，可将其简化为集中质量。纵向减振器安装在每个发射筒底部和底座之间，可简化为弹簧-阻尼元件。当弹体发射时，为了保证发射精度，对应发射筒底部的纵向减振器在发射瞬间锁死，并在之后的发射过程中一直保持此状态，刚度扩大为原来的N倍，此时纵向减振器相当于刚体。

(a) 水下发射装置结构

(b) 横向适配器结构

横向适配器由适配器本体、液压顶块和减振环组成，如图2(b)所示。适配器本体用来增加发射筒之间的连接刚度，其质量跟发射筒相比小的多，可忽略不计。液压顶块在发射装置放入发射井后，伸出至压紧井壁，在本文的分析计算中将其简化为弹性连接。减振环为橡胶材料，整体嵌在适配器本体中，用来缓冲一部分弹体发射时产生的冲击，液压顶块和减振环都具有三向刚度。水下弹体垂直发射时产生巨大的燃气流冲击力作用于发射筒底部区域，该冲击载荷中垂向激励远远大于横向激励，故本文只考虑垂向激励。因此，为便于计算和分析，令减振环横向刚度K1y=0，纵向刚度K1x取橡胶减振环的纵向静刚度，通过有限元静力分析得到。液压顶块纵向刚度为K2x。

经过上述简化，可得到如图3所示的多自由度质量-弹簧-阻尼系统。

1.2 控制方程

假设水下发射装置有n个发射筒，按照发射顺序从左到右排列，分别标记为(1), (2),…,(i),…, (n)，如图3所示。其中mi，ki，ci分别为发射筒和弹体总质量，纵向减振器的刚度，阻尼参数；xi，fi分别为位移，任意波形外载荷；x0为底座位移。根据牛顿第二定律，建立机理模型的运动方程[10]：

(1)

图3 水下发射装置的简化机理模型

当第i(i=1, 2, …,n) 枚弹体体发射时，发射装置立即去掉一枚弹体的质量，mi，ki，fi的变化情况如图4所示，其中，mc为发射筒质量，mm为弹体质量，t0为发射时外载荷fi的作用时间，t1为发射间隔。

图4 mi, ki, fi的变化情况

由图4可知，M(t),K(t),F(t)每隔t1s改变一次，故当第i个弹体发射，即 (i-1)t1≤t≤it1，系统的矩阵通式可表示为：

M(t)=Mi(t)=diag[m0,m1,…,mi,…,mn]=

(2)

K(t)=Ki(t)ki=Nk,j=1,2,…,i

(3)

(4)

1.3 运动方程求解

当(i-1)t1≤t≤it1时，第i枚弹体发射，此时系统的质量，刚度，阻尼和外载荷矩阵分别为Mi,Ki,Ci和Fi，根据NewMark法，多自由度系统的速度和位移可表示为[10]：

(5)

(6)

式中：α，β是可以按照积分的精度和稳定性要求调整的参数，Δt为时间积分步长。t+Δt时刻的位移应该满足公式(1)，即：

(7)

将式(5)和(6)代入式(7)可得：

(8)

(9)

以此类推，每隔t1s修改系统的质量，刚度，阻尼，外载荷矩阵和初始条件，即可得到考虑振动叠加和参数变化的时变多自由度系统的非线性冲击响应：

x(t)=[x1,x2,…,xi,…,xn]

(10)

2 数值算例

2.1 冲击响应验证及分析

如图5(a)所示的4自由度非线性时变系统，假设发射顺序为1, 2, 3，利用本文方法求解其非线性冲击响应，并和有限元建模结果进行比较来验证本文方法的准确性。

该系统参数为：m0=2 000 kg，mt=2 500 kg，mm=1 500 kg，ki=8.5×105N/m，ci=aki(其中，a=0.01)，k0=3.53×108N/m，K1x=1.7×106N/m，K2x=1×108N/m，N=1×108，载荷作用时间t0=0.3 s，发射间隔t1=0.5 s。发射过程中产生的冲击载荷fi为幅值为F0=8×104N，周期为2t0的半正弦波，如图5(b)所示。NewMark法中的α和β取值为α=1/4，β=1/2。

在ABAQUS中建立图5(a)所示的系统动力学模型，用Point mass单元模拟质量块，Connector单元模拟弹簧。

(a) 数值算例示意图

(b) 冲击载荷fi

图6为利用本文方法求解和有限元建模得到的系统非线性冲击响应，方框中为局部放大图。从图中可看出二者完全吻合，验证了本文方法的正确性。

图7为整个系统的非线性冲击响应，方框中为局部放大图。由图可知，当t=0时，第一个弹体发射，产生巨大的冲击载荷作用在m1上，由于m0和m1之间的减振器锁死，二者的位移响应几乎同时迅速增加，之后一起振动。在前0.3 s内系统在f1的作用下做强迫振动。当t=0.3 s时，冲击载荷f1结束，0.3～0.5 s内系统以f1结束时刻的位移和速度为初始条件，在c2和c3的作用下做衰减的自由振动。

当t=0.5 s时，在第一个弹体发射引起的残余振动基础上，冲击载荷f2作用在m2上，与此同时，减振器2锁死。m0，m1和m2的位移响应幅值迅速增大，m3由于减振器3的隔振作用，振动幅值变化不大。当t=0.8 s时，f2结束，之后系统以f2结束时刻的位移和速度作为初始条件，在c3的作用下做衰减的自由振动。

图6 本文方法和有限元建模得到的非线性响应曲线

图7 系统的非线性冲击响应

当t=1 s时，冲击载荷f3瞬间作用在m3上，减振器3同时锁死，此时所有减振器都不起作用。整个系统在前两个航行体引起的响应叠加基础上做强迫振动。当t>1.3 s后，系统以f3结束时刻的位移和速度为初始条件做基本无衰减的自由振动。

设计意图 继续让学生探究直角三角形中，特殊度数的角的对边与邻边的比值是否为固定值，为猜想、归纳一般结论提供素材.同时为后面求特殊角的正弦函数值、余弦函数值做准备.

此外，从图7还可看出，在整个发射时间历程中，m1的位移响应幅值最大，故在进行减振器设计时需特别注意对m1振动响应的抑制。

2.2 纵向减振器刚度优化

为了便于分析，定义下面的无量纲参数：

(12)

式中：初始刚度k0=8.5×105N/m，η的分析范围为[0.1, 20]。

和与 η的关系

(b) maxx2与η的关系

2.3 纵向减振器阻尼优化

本算例中，纵向减振器的阻尼系数与刚度存在如下关系：

ci=aki

(13)

通过改变比例系数a值对阻尼系数进行优化。其中，a的取值范围为[0.01,0.1]，ki可在2.2节求出的刚度取值范围中任意取值，这里取ki=k0=8.5×105N/m。优化要求为：

(1) 单发发射后，相邻未发射发射筒的振动加速度响应绝对值衰减至最大峰值的30%所需的时间t不大于0.5 s，从而不会影响后续导弹的发射。

(2) 单发发射后，相邻未发射发射筒的最大加速度响应幅值maxA小于100 mm/s2。

(a) 衰减时间t与a的关系

(b) maxA与a的关系

由图9(a)，m2和m3的振动加速度响应衰减至最大峰值30%所需的时间随着a的增大逐渐缩短，当a≥0.04时，二者均小于0.5 s。相同的a取值下，m3所需的时间始终略大于m2，这与m3受到的初始扰动叠加有关。由9(b)，随着a的增大，m2和m3的最大加速度响应峰值逐渐增加，当a≥0.056时，二者均大于100 mm/s2。结合图9(a)和9(b)可知，较大的a值可使加速度响应衰减的更快，但却会使最大加速度响应峰值快速增加，故a的合理取值范围为[0.04,0.056]，即阻尼系数为初始刚度k0的0.04～0.56时，减振器具有较好的减振性能。

3 结 论

本文提出了一种基于NewMark直接积分法计算水下发射装置连射状态下非线性冲击响应的方法。该方法可考虑连射导致的响应叠加和系统质量、刚度突变，还可利用求出的时域响应对系统的减振器刚度、阻尼参数进行优化。通过数值算例，可得到如下结论：

(1) 本文方法求解的非线性冲击响应与有限元建模结果基本完全吻合，验证了本文方法的有效性。

(2) 水下弹体发射过程中，系统在冲击载荷的作用下作强迫振动，弹体发射后，系统以冲击载荷结束时刻的位移和速度作为初始条件做自由振动，随着减振器锁死，这种自由振动衰减速度逐渐减慢。初始扰动的存在使得后续发射引起的非线性冲击响应幅值变大。

(3) 对纵向减振器刚度、阻尼优化的结果表明，减振器刚度为初始刚度的0.9倍～7倍，减振器阻尼系数取为刚度的0.04倍～0.056倍时，减振器具有较好的综合减振性能。

本方法在发射装置连射动力学特性分析和减振器参数优化方面有较高的效率和优势，具有重要的工程实际意义。