陶瓷大板抛光加工轨迹运动规律修正

徐斌

（广东科达洁能股份有限公司，佛山528313）

1 前言

大，成了我们这个时代最好的写真。我们可以看到，从2018年佛山潭洲陶瓷展之后，整个中国都在往大板上走[1]。岂止于大，已经成为了各个陶瓷企业追赶的目标，大板一夜之间如梨花前进千家万家，同时我们也发现规格再也不是我们传统的统一规格，而是根据不同品牌的定位及战略壁垒而开发属于自己价值体系的规格。

2018年潭洲陶瓷设备展会和广州陶瓷工业展会同步展出了陶瓷大板的加工设备，陶瓷所有的深加工设备都在围绕着陶瓷大板而创新开发。陶瓷大板抛光机还是沿用传动摆动式抛光机，唯一不同的是机床加宽。陶瓷大板采用现有摆动式抛光机加工之后，会出现平整度差的问题。因为横梁从陶瓷大板的一端摆动到另外一端时，采用的是同一个速度。陶瓷大板中间位置磨削的时间长，边缘磨削的时间短，造成了磨削不均匀的现象。为了解决这个问题，在起始和终点的位置速度慢，在中间的位置摆动速度快。

目前高校学者和企业工程师在分析摆动式抛光轨迹时，都是采用正弦或者余弦曲线不模拟[2、3]，或者直接建立梯形轨迹去说明。这样就脱离了加工实际。

本文在前人研究的基础上，立足实际。对陶瓷大板摆动式抛光加工轨迹运动规律进行修正，并建立修正模型。建立修正后抛光加工轨迹运动规律的基本运动规律数学模型，并将基本运动规律进行组合并建模。修正后的抛光加工轨迹运动规律由刚性冲击变为柔性冲击。

2 现有陶瓷大板抛光加工轨迹的运动规律

图1所示为陶瓷大板抛光机摆动加工瓷砖原理图。陶瓷大板表面的加工轨迹由横梁摆动、陶瓷大板直线进给运动，这两个运动合成的运动轨迹，其合成运动轨迹为一个之字形或梯形轨迹。如果横梁摆动到陶瓷大板两端不作停留，那么形成的就是一个字形轨迹，图2（a）。如果横梁摆动到陶瓷大板两端作停留，那么就形成梯形轨迹，如图2（b）。目前瓷砖所有的抛光机在瓷砖加工过程中，都会在瓷砖边缘作短暂的停留，目的就是为了消除瓷砖边缘的漏抛部分和暗影。因此，目前陶瓷砖加工领域不论是普通瓷砖还是陶瓷大板加工所形成的加工轨迹都是梯形轨迹。

图2（b）中所示的梯形加工轨迹由AB、BC、CD及DE四段曲线组成，而且BC、DE两段为水平直线，AB、CD为倾斜直线。

磨头中心点与瓷砖在A点接触时，横梁处在最低位置。当磨头在横梁的驱动下，开始向上移动时，陶瓷大板也在均速向前移动。因此磨头才陶瓷大板表面的加工轨迹，沿着斜直线AB，由最低点位置A被推到最高位置B，横梁处在了最高位置。横梁的这一过程称为推程。横梁从最地位置摆动到最高位置之间的距离称为推程摆动幅度，用h0表示，所用的时间为t0。因此推程摆动的速度为v0=h0/t0。相应的在t0时间内，陶瓷大板直线进给的距离为s0，因此陶瓷大板直线进给的速度为v1=s0/t0。称s0为陶瓷大板推程进给量。

横梁到达最高位置，磨头中心处在最高位置B时，横梁开始处在这个位置作短暂的停留。磨头中心在陶瓷大板表面上的位置由B移动到C位置。所用的时间为t1，所走过的距离为s1，s1=v1×t1，因为陶瓷大板作直线匀速运动，所以速度还是v1。横梁处在最高位置而静止不动，这一过程称为远休。在这段时间内，陶瓷大板所进给的距离s1称为陶瓷大板远休进给量。

而后，横梁开始由最高位置向下摆动回到最低位置，磨头中心位置由最高点C到达最低点D。横梁在向下摆动的同时，陶瓷大板依旧在作匀速直线进给运动。因此，磨头的中心在陶瓷大板表面所走过的轨迹CD还是一条斜直线。横梁的这一过程称为回程。横梁的回程摆动幅度值与推程是一样的，因此还是用h0表示，所用的时间也是一样的，因此还是用为t0。因此回程摆动的速度为也是一样的，用v0表示。相应的在横梁回程的t0时间内，陶瓷大板直线进给的距离为s2，与推程时是一样的，s0=s2。因此陶瓷大板直线进给的速度为v1=s2/t0。称s2为陶瓷大板推程进给量。

最后，横梁到达最高位置，磨头中心处在最低位置D时，横梁开始处在这个位置作短暂的停留。磨头中心在陶瓷大板表面上的位置由D移动到E位置。所用的时间为t1，与远休时是一样的，所走过的距离为s3，s3=v1×t1，因为陶瓷大板作直线匀速运动，所以速度还是v1。横梁处在最高位置而静止不动，这一过程称为近休。在这段时间内，陶瓷大板所进给的距离s3称为陶瓷大板近休进给量。然后再从E点开始推程，周而复始，不断的重复这一过程。

3 现有陶瓷大板抛光加工轨迹线图分析

由上所述可知，磨头在横梁驱动下沿着横向摆动，同时陶瓷大板不断的匀速直线进给。因此磨头中心在陶瓷大板表面的上加工运动轨迹，由四段组成：推程段、远休段、回程段、近休段。本文选择推程段分析加工运动轨迹线图，如图3所示。

磨头中心点在陶瓷大板表面所形成的加工轨迹，是由两种运动的合成。横梁的摆动和陶瓷大板的直线运动。因此，在推程段，由于两种运动的合成，磨头在陶瓷大板表面上的加工轨迹是一条斜直线，如图3中的AB线段。磨头总A点运动到B点是匀速运动。磨头在等速运动过程中加速度为零。但在推程开始位置A，由于速度由零突变为v0，故在该瞬时的加速度为+∞。同理，在推程终止位置B，速度由v0突变为零，进入远休段，其加速度趋于-∞。在这两个位置，由于速度的瞬时变化而产生理论上无限大的加速度。由加速度产生的惯性力在理论上也由零突变为无穷大，致使机构产生强烈的冲击，其太小决定于该设备的挠性。这种在某瞬时速度突变，其加速度及惯性力在理论上趋于无穷大时所引起的冲击称作刚性冲击，虽然实际上由于材料的弹性变形，加速度和惯性力不会达到无穷大，但冲击还是相当强烈的。

此加速度使横梁产生高度的陡振，磨头在陶瓷大板表面的边缘位置，会产生西瓜皮一样的磨痕，影响了瓷砖表面质量。

4 现有陶瓷大板抛光加工轨迹修正方法

目前陶瓷大板之字形加工轨迹、梯形轨迹，在陶瓷大板边缘处都会发生“陡振”观象。所以这种停留-上升-停留的轨迹曲线并不实用。为消除等速运动规律的这种不良现象，常对起始点与终止点的运动规律进行必要的修正。

如果既要采用等速运动规律，又要避免刚性冲击，可将等速运动规律作些修正。有两种方法：第一种是圆弧修正。如图4所示，将轨迹曲线的始末两小段直线改成圆弧，为避免速度突变，图中斜直线必须分别与两端的圆孤相切。显然，修正后的OA和BC区域内，磨头在陶瓷大板表面不再保持等速运动。设计时可根据工作要求，在满足所需的等速部分情况下，尽量选取较大的圆弧半径r值。

第二种是抛物线修正。如图5所示，将轨迹曲线的始末两小段直线改成抛物线，为避免速度突变，图中斜直线必须分别与两端的抛物线相切。显然，修正后的OA和BC区域内，磨头在陶瓷大板表面不再保持等速运动。

从上述两种加工轨迹修正方法看出，原来的加工轨迹斜直线AB被修正了三段，OA段是加速段，AB是匀速段，BC是减速段。是由三段不同的轨迹线组成。上述只是推程阶段的，回程阶段修正与推程一样，不再详述。

5 磨头在陶瓷大板表面加工轨迹修正后的运动规律

修正之后的磨头在陶瓷大板表面加工轨迹运动规律有两种中基本运动规律组成，一种是等速运动规律；二是等加速等减速运动规律。下面分别介绍这两种基本规律。

加工运动基本规律指磨头在陶瓷大板表面加工轨迹位移s、速度v、加速度a随着时间t的变化规律。它全面反映了磨头横向摆动的运动特性及其变化的规律性。

5.1 等速运动规律（一次多项式运动规律）

在推程时，横梁从陶瓷大板的一个边缘位置，摆动到另外一个边缘位置，横梁完成行程h，在横梁完整一个推程时间t之内，陶瓷大板以匀速直线速度v进给量为x。如图6所示，当采用一次多项式运动规律时，则有：，将待定系数代入（1）式并整理，可得出横梁在推程时的，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

回程阶段，x∈[0，x2]，设取边界条件为：

在始点处：x=0，y=h；在终点处：x=x2，y=0

在推程阶段，x∈[0，x1]，设取边界条件为：

在始点处：x=0，y=0；在终点处：x=x1，y=h

代入则由式（1）可解出待定常数，c0=0，c1=h x1定系数代入（1）式并整理，可得出横梁在回程时的，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

由上式可知，横梁摆动与陶瓷大板的直线进给运动合成运动是按等速运动规律运动。因此，磨头在陶瓷大板表面的加工轨迹运动是一次函数，故加工轨迹位移曲线是一条斜直线。加工轨迹按等速运动规律变化时的运动线图如图6所示。

5.2 等加速等减速运动规律（二次多项式运动规律）

在推程期中，为了避免在运动的起始位置和终点位置产生速度突变，必须采用两个不同二次项方程式。一个方程式使横梁作等加速运动，另一个方程式作等减速运动，构成等加速等减速运动规律。等加速等减速运动规律是指横梁在一个运动行程中，前半段作等加速运动，后半段作等减速运动。因此，磨头在陶瓷大板表面的运动规律是二次多项式运动规律，当采用二次多项式运动规律时，其表达式为：

由上式可见，这时横梁摆动的加速度为常数。为了保证横梁运动的平稳性，通常应使横梁先作加速运动，后作减速运动。设在加速段和减速段，陶瓷大板进给量及横梁摆动的行程各占一半，即：

如图 7 所示，在推程的前半段，x∈[0，x1]，这时，推程加速段的边界条件为：

上述两种运动规律的结合，构成横梁摆动的等加速等减速运动规律。由图7可见，其在O、B、C：三点横梁摆动的加速度有突变，因而横梁运动的惯性力也将有突变，不过这一突变为有限值，因而引起的冲击较小，故称这种冲击为柔性冲击。

如图 8 所示，在回程的前半段，x∈[0，x4]，这时，回程加速段的边界条件为：

由式上式可知，回程阶段横梁摆动也是按等加速等减速运动规律运动。磨头在陶瓷大板表面加工轨迹位移曲线为陶瓷大板进给量的二次函数，为抛物线方程回程阶段横梁摆动按等加速等减速运动规律变化时的运动线图如图8所示。

由加速度线图可知，0、A、B、C、D五点的加速度有突变，因而横梁摆动的惯性力也有突变。由于加速度的突变为一有限值，惯性力的突变也是有限值。对横梁和磨头机构的冲击也是有限的。

5.3 抛光加工轨迹基本运动规律的组合

前面的分析可知，磨头在陶瓷大板表面的加工轨迹是之字形和梯形两种，但是这种加工轨迹的运动有弊端，在起始和终点位置加速度无限大，因而产生剧烈的惯性冲击，为了消除单纯的等速运动规律所导致的刚性冲击，在运动的起始区段和终止区段上划分出一部分进给量范围改用其他类型的运动规律，即构成修正型等速运动规律。在起始和终点位置进行圆弧修正。由刚性冲击变为柔性冲击。磨头在陶瓷大板表面的加工轨迹就是由多种曲线组合而成的，不再是单一的斜线或直线了。

为了获得更好的运动特性和动力特性，把上述几种基本运动规律曲线拼接起来，构成组合运动规律。构造组合运动规律时，选择一种等速运动规律作为主体，再用等加速等减速运动规律与其拼接。拼接时应遵循以下原则：

（a）位移曲线和速度曲线（包括运动的起始点和终止点）必须连续，以避免刚性冲击。

（b）当用不同运动规律组合时，它们在连接点处的位移、速度和加速度值应分别相等，这是运动规律组合时必须满足的边界条件。

图9所示是用二次项运动规律修正等速运动规律的推程段运动线图。加工轨迹运动曲线均由三部分组成，即等加速区段、等速区段和等减速区段。为了实现位移曲线连续和速度曲线无突变，加速区段和减速区段的陶瓷大板进给量x7和x8以及对应的横梁位移量h1和h2必须满足以下条件。三段运动方程式分别为：

（1）推程起始加速段。

如图 9 所示，在推程的起始段，x∈[0，x7]，这时，推程加速段的边界条件为：

在始点处：x=0，y=0，v=0；在终点处：x=x7，y=h1

（2）推程中间等速段。

如图 9 所示，在推程的中间段，x∈[x7，x9-x8]，这时，推程等速段的边界条件为：

在始点处：x=x7，y=h1；在终点处：x=x9-x8，y=h-h2

代入则由式 （1）、（11）、（14） 可解出待定常数，

将待定系数代入（14）式并整理，可得出横梁在推程等速段，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

（3）推程结束减速段。

如图 9 所示，在推程的结束段，x∈[x9-x8，x9]，推程结束减速段的边界条件为：

在始点处：x=x9-x8，y=h-h2；在终点处：x=x9，y=h，v=0

代入则由式（16）（12） 可解出待定常数，c0=h，c1=0，将待定系数代入（16）式并整理，可得出横梁在推程结束等减速段，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

上述横梁推程过程中，是将三种不同的基本运动规律组合起来，为了保证加工轨迹运动曲线的连续性，修正组合后的运动规律应满足的条件是，相互组合的两种运动规律曲线在衔接处的位移、速度、加速度必须分别相等。

推程起始加速段与推程中间等速段运动曲线在处衔接。在该点处这两种运动规律曲线的速度分别相等，公式如下：

推程中间等速段与推程结束减速段运动曲线在x=x9-x8处衔接。在该点处这两种运动规律曲线的速度分别相等，公式如下：

联立（18）（19）式得：

由（21）式得出：

由（22）式得出：

由（21）式得出：

将其代入（21）式得：

由（25）式得出：

为了实现位移曲线连续和速度曲线无突变，加速区段和减速区段的陶瓷大板进给量x7和x8以及对应的横梁位移量h1和h2必须满足（23）式或（26）式。

在横梁摆动到陶瓷大板的两端位置时，所摆动的幅度预先确定位移量h1和h2作为修正区段的位移时，可按式（23）求得对应的陶瓷大板直线进给量x7和x8；若预先给定 x7和 x8则可按式（26）求得 h1和 h2。

（4）横梁远休段。

如图10所示，横梁在陶瓷大板远处边缘停留一段时间，只有陶瓷大板在不断的进给。因此，横梁摆动远休段，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程为：

式中：v1——陶瓷大板直线进给速度，mm/s。t1——横梁远休时间，s。

（5）回程起始等加速段。

如图10所示，在回程起始等加速段，x∈[x11，x13]，这时，回程起始等加速段的边界条件为：

在始点处：x=x11，y=h，v=0；在终点处：x=x13，y=h2

代入则由式（4）（28）可解出待定常数，c0=h，c1=0，c2=将待定系数代入（28）式并整理，可得出横梁在回程起始等加速段，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

因为：x13-x11=x12

所以，（29）式整理为：

（6）回程中间等速段。

如图 10 所示，在回程中间等速段，x∈[x13，x15-x14]，设取边界条件为：

在始点处：x=x13，y=h-h2；在终点处：x=x15-x14，y=h1

代入则由式（1）（31） 可解出待定常数，c0=h-h2，c1=将待定系数代入（31）式并整理，可得出横梁在回程中间等速段时，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

（7）回程结束等减速段。

如图 10 所示，在回程结束等减速段，x∈[x15-x14，x14]，这时，回程结束减速段的边界条件为：

在始点处：x=x15-x14，y=h1；在终点处：x=x15，y=0，v=0

代入则由式（4）（33）可解出待定常数，c0=0，c1=0，c2=将待定系数代入（33）式并整理，可得出横梁在回程结束等减速段，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程：

上述横梁回程过程中，也是将三种不同的基本运动规律组合起来，为了保证加工轨迹运动曲线的连续性，修正组合后的运动规律应满足的条件是相互组合的两种运动规律曲线在衔接处的位移、速度、加速度必须分别相等。

回程起始加速段与回程中间等速段运动曲线在x=x13处衔接。在该点处这两种运动规律曲线的速度分别相等，公式如下：

回程中间等速段与回程结束减速段运动曲线在x=x15-x14处衔接。在该点处这两种运动规律曲线的速度分别相等，公式如下：

联立（35）（36）式得：

因为：

所以：

由（38）式得出：

由（39）式得出：

由（38）式得出：

将其代入（38）式得：

由（42）式得出：

为了实现位移曲线连续和速度曲线无突变，加速区段和减速区段的陶瓷大板进给量x12和x14以及对应的横梁位移量h1和h2必须满足（40）式或（43）式。

在横梁摆动到陶瓷大板的两端位置时，所摆动的幅度预先确定位移量h1和h2作为修正区段的位移时，可按式（40）求得对应的陶瓷大板直线进给量x12和x14；若预先给定x12和x14则可按式（43）求得h1和h2。

（8）回程近休段。

如图10所示，横梁在陶瓷大板近处边缘停留一段时间，只有陶瓷大板在不断的进给。因此，横梁摆动近休段，磨头在陶瓷大板表面的运动轨迹运动方程为：

式中：v1——陶瓷大板直线进给速度，mm/s。t3——横梁远休时间，s。

上述八段曲线组合为横梁摆动一个完整的周期，陶瓷大板作均匀直线进给，在横梁摆动和陶瓷大板直线进给运动，这两种运动组合下，磨头在陶瓷大板表面的一个完整的运动轨迹，如图10所示。

该运动轨迹是梯形轨迹修正之后得到的，消除了梯形轨迹在起始和终点位置加速度无限大造成的惯性冲击，经过修正之后，在起始和终点位置将刚性冲击变为柔性冲击。减少了机构陡振，消除了因陡振在陶瓷大板表面边缘位置产生的西瓜皮纹路。

6 陶瓷大板抛光加工轨迹修正后工艺参数确定

（1）推程和回程时间确定。

由前面的分析可知，横梁摆动一个完整的周期由四个部分组成：推程、远休、回程、近休。其中推程和回程时间相等，远休和近休时间相等。

横梁的摆动频率是指一分钟之内，横梁的摆动次数，用n表示。

因此，推程和推程时间的确定公式为：

推程时间又由三部分组成：推程等加速度时间、推程等速时间、推程等减速时间。推程等加速度时间与推程等减速时间相等，这个时间是人为提前给出的。因此推程等速时间为：

（2）横梁摆动等加速段、等减速段距离的确定。

陶瓷大板直线进给速度是根据瓷砖厂家根据产量计算出来的，是已知的。推程等加速度时间与推程等减速时间也是厂家设定给出的，是已知的。因此公式（26）中的各参数的计算如下：

由（47）代入（26）得出 h1、h2

（3）横梁摆动等加速段、等速段、等减速段，横梁的摆动速度与陶瓷大板直线进给速度之间的关系。

公式（48）中的u大板进给=v大板进给表达的都是陶瓷大板的直线进给速度，在前面公式中用的都是u大板进给表示。

横梁摆动等加速段、等速段、等减速段的公式都可以直接变换为横梁的摆动速度与陶瓷大板直线进给速度之间的关系式。

例如：推程公式（15）中等速段的公式。得出该段横梁的摆动速度与陶瓷大板直线进给速度之间的关系

只要知道陶瓷大板的进给速度就可以对应计算出横梁摆动的速度。

（4）一个摆动周期内，各边界参数的确定。

一个摆动周期内，各边界参数的确定公式如下：

将其分别带入公式（13）（15）（17）（27）（29）（32）（34）（44）中，确定各个参数以及边界参数。

（5）磨头配置数量的确定。

一个横梁摆动周期之内，磨头在陶瓷大板表面的加工轨迹是一个修正之后的类梯形波形。为了覆盖陶瓷大板表面，不出现漏抛，在这个类梯形波的空白区域配置多个磨头。也就是多少个磨头为一组才能覆盖陶瓷大板表面。

由图10看出，修正之后的类梯形波空白间距是x15，磨头的间距为w。一个横梁摆动周期之内，磨头配置数量N为：

粗、中、精抛三道工序中的抛光机，配置12组不同磨粒度的磨块才会完美的抛光陶瓷大板。因此，配置磨头的总数为12N。

7 结论

磨头在陶瓷大板表面的加工轨迹的运动规律是梯形或者之字形，会在起始和终点位置产生刚性冲击，为此对加工轨迹的运动规律进行修正，得出的结论如下：

（1）修正之后的磨头在陶瓷大板表面加工轨迹运动规律有两种中基本运动规律组成，一种是等速运动规律；二是等加速等减速运动规律。

（2）建立了等速运动规律、等加速等减速运动规律数学模型。

（3）在运动的起始区段和终止区段上划分出一部分进给量范围改用等加速运动规律、等减速运动规律，即构成修正型等速运动规律。

（4）磨头在陶瓷大板表面的修正后的加工轨迹就是由如下八种曲线组合：推程起始等加速曲线、推程中间等速曲线、推程结束等减速曲线、远休曲线、回程起始等加速曲线、回程中间等速曲线、回程结束等减速曲线、近休曲线。并分别建立了这八种曲线的数学模型。

（5）给出修正之后的磨头在陶瓷大板表面加工轨迹运动规律的工艺参数。

修正之后的磨头在陶瓷大板表面加工轨迹运动规律，由刚性冲击变成柔性冲击，减小了陡振造成的惯性冲击。