数学的贯通①——MM方式在我国数学教学中的应用概述

胡建庭 周建勋 徐沥泉

(1.全国数学科学方法论研究交流中心，无锡市运河实验中学 214044; 2.无锡市教育科学研究院 214001)

1 概述

MM方式至今已30周年．它的主要成果如下：

已出版专著、编著数十部，发表专题论文千余篇；围绕推广应用MM方式的全国性学术会议已召开11次，有的省、市还专门建立了实验基地(据《甘肃日报》，《新华网贵州站》等报导)．各地实验教师中有20多人成为特级教师、教授和教授级高级教师；他们大都身兼全国先进教师和全国劳模等多个荣誉称号；由新疆昌吉州教研中心组织实施的MM子课题(《TEC教学》)获新疆维吾尔自治区哲学社会科学优秀成果一等奖．

它分别于1994年和2001年两次通过了由江苏省教委委托的、以王梓坤院士为首的鉴定小组鉴定，并给予高度评价(《中国教育报》1994年12月31日)．从此，开始在全国推广，由无锡市区高中阶段扩大到初中、小学、大学和成人教育等各级种类学校．它已被载入中国哲学社会科学发展史册[1]；当然也已载入我国数学教育的史册．

王梓坤院士对MM方式给予高度重视，他说：MM数学研究和数学方法系国内首创，是数学界的重要创新．它不仅有充足的理论依据，而且在相当广泛的范围内取得了很好的实际效果．北师大数学系教授，原《数学通报》主编刘绍学先生也给予高度评价，他说：“MM教学方法给了我很深的印象，可以说是一见如故，……我认为MM教学法的主张和傅种孙先生的实际教学的作为是一致的：学习数学，理解数学，研究数学．”

师范院校是教师的发源地，许多数学教育专业的研究生在其导师的指导下，以MM方式为选题完成学位论文，这从中国知网发布的我国优秀硕士学位论文中可见一斑．

中国社科院科技哲学室资深研究员林夏水先生在他的“MM方式的生命力”[2]一文中着重从数学观与数学方法论的一致性角度, 探讨了M M方式的生命力．他指出，MM方式既是一种新的数学教育方式，也是一种新的数学教育观．设计者独创性地把抽象的数学观有机地融入了数学教育．MM方式实现了数学的全面贯通．

2 MM方式基本理念的贯通

MM方式源于教学又高于教学，它实现了数学观、数学哲学观和数学教育观的贯通，数学与人文科学的贯通，数学与认知科学和思维科学的贯通．

数学方法论属于数学哲学范畴，数学观是对数学总体的看法，例如，数学发展观、数学性质观、数学真理观、数学文化观、数学美学观、数学认知观等都是对数学的看法．数学方法论与数学观具有一致性．其含义有二，(1) 数学观决定数学方法论; (2) 数学方法论蕴涵或反映着数学观．它们在MM方式中是通过基本操作在数学教学中具体实现的．西南大学魏晓虹用图表直观地说明了MM方式的8个操作变量蕴含了不同的数学观[3]．

比如，数学的返璞归真教育，反映了一种朴素的辩证唯物主义思想，它既是一种数学观，又是一种数学方法论．按照辩证唯物论的反映论观点，数学在本体上具有两重性，就其内容而言，具有明确的客观意义，是思维对于客观实在的能动反映，任何数学模型都有它的现实原型；就其形式结构而言，数学并非客观世界中的真实存在，而只是创造性思维，亦即理性的创造物．在此意义上说，数学既是人们所发现的，也是人们所发明的．数学的返璞归真教育，同时也是数学的美育，蕴含了数学美学的观点．通过数学教学中的返璞归真教育，就要使学生潜移默化地受到这些基本观念和基本理念的教育．

MM方式提倡“逻辑推理与合情推理”并重，“归纳与演绎”并重，“综合与分析”并重，“发现与质疑”并重等，真正做到“既教证明又教猜想”，不断引导学生一步一步地达到数学中的发现与发明．这里所谓的“并重”，也都不是绝对的．比如说，直觉与顿悟中难道就没有逻辑推理和演绎的成分在内？原则上说，都应是“你中有我和我中有你”．

南怀瑾先生说过，直觉思维中不见得就没有逻辑思维，恰恰相反，它可能包含了几百万、几千万甚至几万亿个逻辑思维的细胞；这也可能就是庞伽莱所说的逻辑与机遇中的“观念原子的组合”．打一个不一定确当的比喻，如果我们把一个个逻辑推理看作是一种微型电子器件的组件，就像电路中的晶体管、二极管、三极管、电阻、电容和电感等组件及布线的话，那么直觉思维就是一块集成电路板，它具有“组块”的作用，所谓组块就是“能够迅速接通长期记忆中的信息的索引项”[4]．因此它是一种集约式的思维(intensive thinking)方式．这就是MM方式反复强调的思维科学的贯通．

3 MM方式从小学到大学的贯通

如所知，MM实验首先是在无锡市区高中阶段实施的，它的针对性是显而易见的，就是要把师生从题海战术的羈绊中解放出来．MM方式尽管致力于学生素质的全面提高，但在应试中也是打了胜仗的．因为一般解题方法、即解题方法论正是来自于对学生解题的观察，解题正是MM方式的拿手好戏．

徐利治教授说：“由于数学方法论的原则性高，所以它的应用广泛而深入．” 以下我们给出一些MM方式在大、中小学研究与推广应用的例子．

MM方式中学方面的例子早就见之于我国《数学通报》《数学教育学报》《中学数学》《中学数学教学参考》和台湾的《数学传播》季刊的报导和宣传，这里不再赘述．

在我国首开从小学到大学进行MM方式系统实验的地区是甘肃省的天水市．2002年，由天水师院数学系、天水市教科所和天水数学会联合成立了天水市MM方式课题组，在天水市全面进行MM方式实验研究．天水师院等被全国数学科学方法论研究中心确定为MM教育方式实验基地和中小学MM教育方式实验基地．

我国较早地开展MM方式实验研究的大专院校有湖北省襄阳高等师范专科学校(即现在的襄樊学院)．1993年在该校召开了我国第3届波利亚数学教育思想、数学方法论与数学教育研讨会(简称PM3，下类同)．濮阳教育学院(即现在的濮阳职业技术学院)于1998年正式拉开了“数学方法论指导高等数学教学”实验研究的序幕．武汉教育学院(即现在的江汉大学)、天津师大、山东省教育学院、天水师院在取得了一定的研究成果后，也相继在武汉、天津、济南、天水等地召开了PM4、PM5、PM6等．

1999年，广东湛江海洋大学邝雪松和广西师范大学廖运章就对MM方式进行了比较研究，撰文指出：MM方式从认识论的意义上看，它继承了波利亚将数学方法论用于数学教学的思想，解决了波利亚未具体解决的“如何把数学方法论用于数学教学”的问题；与数学教育建构学识相比，它既有完整的理论体系又有可操作性，而且是通过实验证实了的，但建构学说只是一个原则的表述，离具体的教学应用尚需时日；与大众数学、数学问题解决相比，这些学说分别是从减内容、降要求上以及打破数学理论系统方面，提出处理教材(选择教学内容与内容编排)的主张，过分强调数学的某一侧面可能对教学产生负面影响，但MM方式虽着重于教学目标与方式的改革，很明显，它也为教学内容的选择、编排、教学法加工处理提供了全面合理的标准和原则．……针对当时而论，MM方式主要是在中学实施的实验，建议把该方式向几个方面拓展，一是向高师院校拓展，并与中学合作开展MM实验；二是向大学理工科、经济类学科、管理学科、人文学科等非数学专业的高等数学教学领域拓展；三是向成、职教拓展[5]．尔后的发展证明，MM方式的推广应用正是沿着这种思路进行的．

如今，高校类别已由教育学院、师专发展到师范大学，理工科大学和综合性大学．他们用MM方式设计高等数学的教学，出版了许多专著和研究论文．下面结合成、职教系统中进行的实验，就其单位与个人再列举一些如下：

枣庄学院从1990年至今在高师MM方式教学法的实践与探索中积累了宝贵的经验．高师院校用MM方式指导数学教育改革的子课题称为MM(HT)(注指高师)教育方式．其中有MM方式与高师解析几何教学的研究，有侧重于MM方式在数列极限教学中的应用，侧重于用MM方式进行概率统计教学的研究，有MM方式下进行常微分方程教学的实验研究，也有着重研究“MM方式与现代教育技术”的．陇东学院陈安宁教授对中学新课标与MM教育方式的比较研究有独到见解．杭州师范学院叶立军，用数学方法论的观点给出了高初结合在数学教学中的应用及其教学对策．滁州学院、谭玉明，用方法论观点分析了大学生学习高等代数的困难所在，指出高等代数教学中运用MM方式改进教学方法是必要的和可行的．天津师范大学高职学院孙颖，在高职微积分教学中，使学生认识到微积分是人类智慧最伟大的成就之一，充分挖掘微积分科学的科学技术功能与文化教育功能，提高了学生的科学素养和社会文化修养，同时也形成和发展了学生的数学品质．

南京信息工程大学数理学院朱凤琴在“大学数学的MM教育实践及其认识”中指出：大学教师虽然具有扎实的数学功底，但如果不熟悉数学史，不熟悉数学方法论，就很难洞察与体会数学科学的真与美．实践MM教育方式需要教师自觉学习数学方法论和教育教学理论，把数学思想方法同教学内容有机融合起来，把学生的数学认知结构同教学环节的设计密切联系起来，使课堂教学始终保持一种问题驱动、求知求美的气氛．朱老师以“微分中值定理的MM教学设计”为例，给出了MM方式用于工科数学教学设计的案例．

还有锦州医学院畜牧兽医学院李占波，非线性教学设计下MM教育方式的课件设计．

广州大学理学院陈湛本撰写的“函数级数展开的数学方法论”，讲述了蕴含在函数级数展开中的丰富的数学方法论思想，这是MM方式用于综合性大学理科数学教学设计的例子．

天津大学管理学院运怀立等，在“论MM教育方式与当代数学教育”中进一步指出了MM方式在理论与操作系统上的类公理化的特征，它可操作但又不模式化，它植根于千百万数学教师教学经验的凝结与升华，给人一种“似曾相识燕归来”之感，由它可以推论出一系列的教学方法、模式、研究课题等，新疆昌吉州吴勤文的“TEC教学”，天津洪双义、杨世明的“GH教育方式”，成都王富英的“ZT教学”和枣庄师院、濮阳职业技术学院、天水师院的MM(HT)教育方式等，都是由MM方式发展出来的．

内蒙古师范大学李伟军，运用解题方法论的观点给出了我国近二十年来数学解题研究的进展概貌．我国的教育工作者在这方面开展了大量的解题教育研究，中学数学杂志发表的大批论文属于这一类，其实质是MM方式中一般解题方法的研究．

长沙大学数学与信息科学系李宗铎和向昭红在“MM 方式”指导下，提出了五步教学法: 创设情境，自觉学习-突出过程, 激励探索-面向全体, 发展个性-手脑并用, 强化活动-联系实际, 注重实践．长沙理工大学数学与计算科学学院把MM方式研究作为长沙理工大学十三五专业综合改革试点项目．以韩艳英老师运用MM教育方式设计一堂《高等代数》课为例，说明在高等代数的教学中，有很多内容的教学可以采用“创设情景→实验探索→猜想论证→应用拓展”的教学模式．这种课堂教学一改传统的大学讲授式教学方法，这也正切合我们现代大学教育的需求．

襄樊职业技术学院信息技术系，汪家军探讨了内化理论与MM 教育方式在数学课堂教学中的统一．提出数学教学的本质是知识和智力的内化与数学思维定势的固化，以内化理论为指导实行MM 教育方式, 表象上可变课堂为学堂提高教学效率, 本质上则可以培养学生创新能力于动态失衡与平衡的转化之中．[6-20]

30年前就在职业高中进行MM实验的无锡市轻工职中的史立新老师今年已76岁，他说：“MM方式在全面提高教育质量, 提高学生的数学素质的同时, 也提高了我自身的业务水平与科研能力，科研成果越来越多．1989年至今, 我在《数学通报》上就发表了10多篇论文．”

天津市宝坻中等专业学校的刘建国老师，坚持实践MM方式12年.他讲道：通过数学教育提高中职生的文化素养是职教人才培养战略的需要．MM方式实践以来他任教班级数学素养明显高于同类班学生.由刘建国老师负责的天津市级课题《MM 教育方式在中专数学教学中的应用》，于2016 年顺利结题．

无锡科技职业学院王玉兰，阐述了MM 教育方式在运筹学课程中的成功借鉴．她指出，运筹学实施MM 教育方式不仅有助于培养学生良好的学习习惯、学习态度、学习方式和方法．同时，该方法对教师的教育观、课堂设计等也提出了更高的要求．她以图论中的“哥尼斯堡七桥问题”的教学设计为例，逐个地论述了MM方式基本操作表中6个可控变量的具体操作，较好地实现了MM方式指标体系中的评估标准[22]．

文献[3]以“MM教育方式及其对幼儿园数学教育的启示”为题，呼吁人们把它应用于幼儿园的数学教育之中，并指出，MM 教育方式内涵丰富，它所蕴含的数学观及其价值观对当今幼儿园数学教育有重要的启示作用．

4 MM方式下初等数学与高等数学的贯通

数学教学上通数学科学，下达课堂教学．首先在教育中数学应该被当作一个整体来看待，要强调数学各个分支学科之间的联系；注意数学与其它学科之间的联系．而这两点是相辅相成的，数学的整体观念的建立可以帮助理解数学，加强数学综合应用能力；反之，综合应用能力的加强可以帮助我们加深对数学的整体性的认识．

作为一个中、小学数学教师，不仅应该通晓初等数学，而且也应该了解其高等数学背景，以搞清楚它的来龙去脉，知道它们在数学科学中的地位与作用，掌握数学教学的主动权．

早在1984年9月11日，苏步青先生给作者之一的信中说到：“我从今年一月到四月花了25小时给高中部分数学教师讲‘等周问题’，效果尚称良好．今年年底或明年初将为初中部分数学教师讲‘多面体与欧拉公式’．目的无非是想提高中学教师的教学质量，做到深入浅出，引导学生懂得一些古典的数学问题(例如，任意角的三等分的不可能问题)的真正意义，免得误会以至于把许多时间浪费在这类问题的上面．”徐利治教授在晚年更是把一半以上的时间与精力花费在数学教育上．

中外数学家关心与支持中小学数学教育的事例不胜枚举．英国大数学家哈代(Hardy)就倡导要高初联系，把高等数学知识渗透到基础数学教学中去．波利亚被称为20世纪的一代数学宗师是无可非议的，但是他在数学教育方面所作出的贡献要远远超过他对数学科学本身的贡献．这里必须要提及的是菲利克斯·克莱因(Felix Christian Klein，1849～1925)．在他看来，基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单，有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解．他的名著《高观点下的初等数学》，对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，其观点蕴含着真理．

MM方式就是按照这样的要求来做的，它促使数学教师站到学科教育的最前沿，通过“教学·研究·发现”这样一种途径，等于为他们的继续教育和在职提高创建了一所自组织自开放的自我培训学校．我国著名数学家刘绍学教授指出：“多亏我的研究经历，它在很多情形下帮助我理解或设计出书上的定理是如何在人们的手中试验、摸索和制作出来的．当学生们听着这样的讲述而面露会心的微笑时，我最认识到自己科研的价值和意义．我确信，许多老师，特别是MM教学法的实践者，都会与我有同样的感受．”

4.1 有发现的设计必有发现的经历

“教学·研究·发现同步协调”和“既教猜想又教证明”是MM方式的两条基本原则．遵循这两条原则，中、小学数学教学也大有用武之地．MM方式的出现，一改过去学生学习的被动局面，使他们对数学知识的探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程也就融入发明发现的主旋律之中．MM方式一方面彻底改变了学生学习的被动局面，为他们提供了正确的思想方法和学习方法；另一方面在方法论的意义上，中学数学不再局限于初等数学这一小块弹丸之地，而与整个数学领域连成一片．这就为学生吸取数学科学中的现代思想，自我增进现代科学技术的文化素养开辟了一块良好的运动场[23-26]．

怎样在大学数学教学贯彻这两条基本原则，徐利治教授说过，对一条定理，如果只是在逻辑上能够证明还不算真懂，还必须在头脑里留下直观的印象(不一定都是图形)才算真正搞清楚．数理统计学中有一条刻画一致最大功效检验函数φ的“Neyman-Pearson基本引理”，是教学上的难点．牛家骥教授曾说过，每次讲到这里时总觉得教师难讲，学生难懂．因为其中的逻辑结构比较复杂．我们从直觉与逻辑这两个方面对它进行了探讨分析，在φ的随机化检验形式下，既给出了奈曼结构充要条件的逻辑框架，也给出了它的直观的图像表示[27]．

4.2 居高临下“高初”联系解题

俗话说，“学如逆水行舟，不进则退”．其实，“教”也是如此．教师的数学素养，不增则减．无锡市教研室李永灿先生(早年毕业于上海交通大学)曾经谆谆告诫在职教师一定要教到老学到老，否则一位大学毕业的数学教师在中学教了三四年书后，就把自己的数学水平下降到了一个中学生的水平了．那么，怎样才能使自己保持较高的数学修养呢？其有效措施之一就是，遇到能用高一级的方法来处理的初等数学问题，尽可能在高观点下，双管齐下地解决问题．

数学思维到了一定境界，解题过程中有时往往不是用公式和数字来运算，而是用思想来运算.凭借自己在数学上的积累与造诣，有时凭直觉，一下就能看出答案与结果.比如，用群论中的轮换对称思想，引入美学机制进行美的选择等等.直觉具有洞察力．莱布尼茨说过，人们依靠直觉洞察力，“往往一眼就能看出我们靠推论的力量在花费了许多时间精力以后才能找出的东西”．这种判断方法也可以说是灵感(思维)的作用吧．但是这种灵感来自潜移默化于长期的数学活动的训练和数学知识的思考与积累．学习并经常使用这种思维方式，能使我们学会从整体的观点、对称的观点、层次结构的观点去处理问题，就像高明的棋手那样，不去计较一兵一卒的得失，而着眼于全局的安排，有效地克敌制胜．这种从宏观上来把握总体规划的运筹布算能力，极大地简化和优化了逻辑思维和演绎的结构．使解题过程及其结果臻善致美.