基于菲涅耳原理的小孔衍射

胡志刚，李佳迅，苏开齐，胡清雨，朱昨磊，郑琳丽，邓邦林

(成都理工大学 地球物理学院，四川 成都 610059)

2018年国际青年物理学家锦标赛(IYPT)和2018年中国大学生物理学术竞赛(CUPT)中有题目为“Radiant lantern”(灯光四射)，描述了以下问题：在晚上给点燃的提灯拍照，会有大量从提灯中心发出的光线显示在照片上. 试解释并探究这一现象. 在运用相机拍摄点亮的提灯时，得到了相应的射线的现象. 光线在经过相机镜头时，传播方向发生偏离，这种光线偏离初始传播方向的现象与光学中的衍射现象[1]是相同的. 本文从衍射的角度出发，引入光的衍射公式，尝试解释照片中点亮的提灯中心发出大量射线的原因，并通过Mathematica计算仿真[2]，探究相关物理量对实验现象的影响，并设计实验定性验证仿真结果.

1 理论分析与模拟仿真

1.1 射线现象成因

单反相机成像示意图[3]如图1所示. 外部景物的光线依次通过镜头组、光圈、反光镜，最后通过五棱镜的2次反射穿过取景器. 拍摄时按下快门键，反射镜抬起，光圈预缩到设定的大小和形状，光线入射到胶片上. 光线在经过照相机后发生了衍射，实际过程对应着按下快门，光圈缩小，光在经过较小的障碍物光圈后发生了衍射.

图1 单反照相机成像示意图

照相机的简化光路如图2所示，惠更斯-菲涅耳原理[1]为

(1)

其中，C为比例系数；K(θ)为倾斜因子，其值随着θ增大而减小；A(Q)为分布函数，即光强振幅通过光圈以后在Σ小孔上的分布；r为光圈上的点到屏衍射点的距离，k为波数.

图2 照相机简化光路图

运用格林公式求解出基尔霍夫衍射公式，对比例系数和倾斜因子[4]描述为

(2)

A(ξ,η)=B(ξ,η)T(ξ,η).

(3)

(3)式表示光强振幅在通过光圈以后的分布，B(ξ,η)为光强振幅在透过光圈以前在孔上的分布情况，T(ξ,η)为光圈的透射系数，如果是空气，此时值为1.

相机中的胶片是个很小的区域，近似认为θ不变，倾斜因子是定值，即为1，(2)式简化得到

(4)

根据波动光学[5]，薄透镜是相位变化元件，相位变化因子表达式为

(5)

式中EL0是透过透镜的光强复振幅.

考虑衍射和相位变化后，透过光圈的光强振幅分布为

A(ξ,η)=B(ξ,η)T(ξ,η)TL(ξ,η).

(6)

根据傅里叶光学[6]，点光源发出的光线的光强振幅在光圈上的分布函数为

(7)

(4)式中r是光圈上点到衍射屏上点的距离，为

(8)

将(8)式二项式展开，并忽略高阶小量，将得到结果和(6)式代入(4)式，得：

(9)

根据高斯公式，

为了更好地描述各点衍射强度的关系，计算衍射光照强度的大小. 光照强度的计算公式为L=|E|2，由于

故光照强度为

(10)

1.2 数值模拟

用Mathematica计算上述方程，并对计算结果可视化. 计算过程中，取光的波长为500 nm，定义r0为孔径，即是孔的几何中心到孔的顶点的距离，且计算过程中孔为正多边形.

1.2.1 孔的形状的数值模拟

首先对不同形状的孔[7-8]进行模拟计算，得到部分衍射的理论图样如图3所示.λ=500 nm，r0=0.5 mm，q=0.1 m. 从仿真结果可以看到衍射射线数目呈现的规律为：当孔的边数为奇数时，射线数目为边数的2倍；当孔的边数为偶数时，射线数目与边数一致. 对衍射射线数目的定性解释：光在经过孔的过程中，孔的每条边都会发生衍射，每条边都会衍射出2条方向相反的射线条纹，当孔的边数为奇数时，任意2条边都是交错的，所以得到的衍射射线条纹方向也一定是交错着的，即不会存在完全重合在一起的2条条纹，所以衍射射线条纹数目是孔边数的2倍. 当孔的边数为偶数时，由于存在对边相互平行，这2条平行边的衍射结果也重合，所以最终在衍射屏上得到的射线数目也和孔的边数一致.

(a)三角形

(b)四边形

(c)五边形

(d)六边形

(e)七边形图3 不同形状孔的计算结果

1.2.2 孔径的数值模拟

用Mathmatica计算七边形孔的孔径，λ与q控制不变，仿真结果如图4所示. 其中I为x轴方向的衍射强度，I0为中央零级亮纹的衍射强度[9-10]. 可见随着孔径不断增大，各级亮纹的宽度变窄，这意味衍射减弱，说明实验中改变光圈大小，照片上的提灯中心发出的射线强度发生变化.

(a)r0=0.1 mm

(b)r0=0.2 mm

(c)r0=0.3 mm

(d)r0=0.4 mm图4 不同孔径的计算结果

2 实验研究

实验装置侧视示意图如5图所示，相机型号为NIKON(D3200)的单反照相机(其光圈形状为七边形)，光源用点亮的手机后置电筒替代提灯. 为了探究小孔形状对射线形状边数的影响，准备了尼龙丝袜(拉伸仔细观察，其形状为三角形小孔)，达到改变小孔形状的目的.

图5 实验装置侧视示意图

图6(a)是用尼龙丝袜小孔的实验结果，可以看见照片上射线条纹数目是6条. 图6(b)是对镜头不做处理得到的实验结果，镜头的光圈形状是七边形，可以看见照片上的射线条纹数目是14条. 与理论分析中关于射线条纹数目的计算是吻合的，但是实验中的现象与理论有差别，理论算出来的射线条纹随着距离增加是越来越细的，而实验结果中，射线条纹却是越来越宽. 仔细观察光圈的形状，并且查阅相关资料，发现光圈的形状并不是很规则的正多边形，而是曲边多边形.

(a)尼龙丝袜小孔(三角形)

(b)光圈小孔(七边形)图6 尼龙丝袜小孔和镜头的光圈实验结果

图7 曲边多边形理论仿真图

对更符合实际情况的光圈形状进行模拟仿真，得到如图7所示的仿真图. 可以看到，光圈形状设置成曲边多边形后，仿真结果和实验结果[图6(b)]吻合程度很好. 在衍射条纹条数的定性讨论中，提到了衍射条纹方向与光圈的边垂直,这解释了实际实验中的条纹会随着距离的增加越来越宽：曲边可以看成是很多短小直边拼接而成的，每条直边都会产生2条与之垂直的条纹，1条曲边产生的条纹会呈现发散状态，出现条纹越来越宽的情况.

3 结束语

从理论和实验两方面研究了2018年IYPT和CUPT赛题提到的灯光四射现象. 运用菲涅耳原理解释了照片中提灯中心发出大量射线现象，对相机进行了模型简化，由于光线在小孔处发生衍射从而产生了射线，运用衍射公式，对现象进行了数学描述. 对孔形状与孔径大小进行了模拟计算仿真，发现当孔的边数是奇数时，衍射射线条纹数目是孔边数的2倍；当孔的边数是偶数时，衍射射线条纹数目与孔的边数一致. 通过在镜头使用尼龙丝袜小孔及不对镜头做处理2组实验，得到的衍射射线条纹数目实验结果与仿真结果一致. 对孔径大小做数值模拟仿真，发现随着孔径的增大，衍射光照强度减弱.