一类次临界增长非局部问题的无穷多解

吴燕林， 钱晓涛

( 阳光学院 基础教研部， 福建 福州 350015 )

本文考虑如下非局部边界值问题：

(1)

其中a,b>0， Ω是RN中的一个有光滑边界的有界区域,N≥3.

1 预备知识

(f4)f(-t)=-f(t)，∀t∈R.

(2)

由式(2)可得

(3)

在空间L2(Ω)+Lp(Ω)中，定义范数

本文使用如下形式的对称山路定理(引理2)[8]证明本文的主要结果.

(I1)存在常数ρ,α>0， 使得I|Bρ(0)∩W≥α>0;

(I3)I满足(PS)c条件，其中0

2 主要结果及其证明

显然问题(1)所对应的泛函为：

(4)

定理1若条件(f1)-(f4)成立，则∀k∈N， 问题(1)存在k对非平凡解.

证明由引理1和条件(f4)可知，显然I是偶泛函，且I(0)=0.再根据引理2可知，只需验证泛函I满足条件(f1)-(f3)即可.以下分3步来证明.

所以

(5)

所以

综合以上3步知，对泛函I可以使用引理2，由此得问题(1)至少存在k对非平凡解.再由k的任意性可知，问题(1)有无穷多个解.

注1文献[1]的非线性项显然满足本文的条件(f1)-(f4)，但本文得到的是无穷多个解，因此本文的结果拓展了文献[1]的研究结果.