当概率教学遇上两难尴尬

林煜珍

摘 要：《义务教育数学课程标准（2011版）》的总目标的第一条：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“数学基本活动经验”是具有本质特征和基本重要性的一些数学活动经验，涉及一些具有程序、步骤、路径的可操作的“方法”，处于较高的层次。就此，结合“用分数表示可能性大小”的几个片段，通过对比与分析，探索在概率教学中，怎样设计和实施数学教学活动，可有效帮助小学生获取并积累“数学基本活动经验”。

关键词：数学基本活动经验;数学教学活动设计;概率教学

新课程改革推进至今，一线的教师对新课改的许多理念已经达成了许多共识，但在实践层面，教师经常会产生“形似而神不似”的教学尴尬。在“用分数表示可能性的大小”教学中也出现了学生学得困难、教师教得困难的两难尴尬。而且很多老师对此也存在不少争议，这引起了笔者的关注。

一、争议1：“分数表示可能性的大小的内涵”的教学环节

师：盒子中有1个白球和1个红球，从这个盒子中摸到红球的可能性是多少呢？

生1：一半。

师：用你们学过的数表示可能性“一半”，可以怎么表示？

生2：1/2。

【片段一】

师：你是怎么想的？

生：因为盒子中的红球个数占总数的1/2，所以摸到红球的可能性是1/2。

师：红球的个数占总数的1/2，就说摸到红球的可能性是1/2吗？

【片段二】

师：1/2中的2表示什么？1又表示什么？

生：2表示盒子中球的总数，1表示只有1个红球

这两个片段都因没很好处理分数的内涵不免使其逊色几分。笔者觉得这里没有教师真正的引导分析，没有学生真正的思考推理，显然，对用分数表示可能性大小的内涵只是似是而非的理解。

二、争议2：“用试验来验证”的教学环节

师：在抛硬币试验中，正面朝上的可能性是多少呢？

生：1/2。

教师安排试验验证：经电脑合计，结果显示如下

出示科学家的试验结果

师：科学家们经过无数次实验，发现：正面朝上或反面朝上的次数接近总次数的1/2，可以用1/2来表示正面朝上或反面朝上的可能性。

这个片断的教学过程从表面上看，体现了该教师科学的数学研究方法：猜想——验证。但是我们发现，抛硬币的试验虽然能较好地诠释正面朝上或反面朝上的可能性相等，而解释为什么用1/2表示应建立在此基础上的进一步推理，可惜的是教师直接得出了结论，这样不免显得牵强附会。因此，笔者认为，这样的活动没有很好地实现验证目的。通过研究发现主要有以下两种观点：

（一）不主张试验

1.像抛硬币这样的随机试验必须在同样的条件下进行，而由不同的学生做试验，导致每次抛硬币的高度或力度都不同，把不同条件下的试验数据相加不符合试验原理，没有统计意义。

2.中低年级多做试验，让学生在试验中体验试验结果的不确定性与规律性。高年级的学生不宜在课堂上花费过多的时间做试验，宜从等可能性的角度分析可能性的大小。

3.既然越分析越糊涂，不如把一些事件发生的等可能性，作为一种经验或常识来处理，不要去验证它，而是默认它，有了这个前提就能进行相关的分析、判断与推理。

（二）主张试验

1.概率学习的一个首要目标是使学生不断体会随机现象的特点，而这需要学生在亲自试验中，通过对试验结果的分析不断体会。

2.试验时要控制的是明显影响试验结果的因素，而非所有因素。比如硬币被抛出的角度和正反面是否均匀才是明显的。而抛硬币时的力度、高度以及是否同一个人则是不明显的。

3.不能无视目的而谈理想状态的试验，如果从纯学科的角度看，完全相同条件在现实中即便同一个人也很难。每次都是完全相同的高度、力度、角度是很难实现的，因此具有统计意义。

三、设计和实施数学教学活动，促进获取“数学基本活动经验”

从以上的案例中，我们发现，在概率教学中，学生学得“困难”，教师教得“困难”，可谓是遇上了两难尴尬。就此，我们先来研究一下相关的教材内容。教材的编写更多地考虑普适性，赋予教师一定的使用弹性。教学的目的在于学生的有效学习与良性发展，忽视了这一点，任何花样百出的教学方法都是无效的。有时课堂上会出现：为了活跃课堂气氛，在學生体验“一定、不可能”时，设计了这样一个活动：每个小组都有一个袋子，装有若干个红球和白球。

1.每人每次只能摸出一个球，再放回，重复6次，哪个小组摸到红球的次数多，哪个小组获胜。

2.汇报结果：有的摸到的都是红球，有的摸到的都不是红球。

3.讨论为什么出现这样的结果。

生1：都是红色的______________。生2：红色的多，其他的少_____________。

4.打开盒子验证猜测正确与否（结果却是唯一的）。

这样的教学，学生积极参与，课堂气氛活跃。但在后继的学习中，有些学生认为：如果连续几次从盒子中摸到白球（又放回），就认为盒子中装的一定是白球，而实际上有时只是碰巧而已。因此，笔者认为：切勿为了活跃课堂气氛而随意安排试验活动。活动操作的意义不仅在于动手活动，更在于探究明理，在操作技能的教学中，教师不仅要关注活动的形式怎样，学生参与操作活动的兴致有多高，更要关注学生在操作活动中是否进行了理性思考，否则只是走过场，徒劳无功。

（一）从教材的核心价值设计数学教学活动

概率是研究随机现象的科学，随机现象是指这样一种现象：在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果出现，但大量的重复试验后，其结果就会趋于一定的规律。进而对于一个随机事件可能出现的结果，如果只有有限种且各种结果出现的可能性大小相等，那么这个随机事件即符合古典概型（可以说等可能是用分数表示古典概型中事件发生的可能性大小的前提）。假设事件A的所有等可能事件共有N个，其子事件B包含的等可能事件有M个，那么根据古典概型，事件B发生的可能性是M/N。

小学阶段学习这一部分的内容，主要是为了促进学生获取“随机”的基本活动经验。教材中无论从二年级的初步感受不确定现象还是到五年级的定量分析不确定现象，始终围绕着这个核心价值逐一展开。因此，数学教学活动的设计应能抓住教材内容的核心价值。

（二）从教材的传承性来设计数学教学活动

教学内容是数学课堂教学的基础环节，如果只是关注某节课的内容容易导致思维局限于某一个知识点而无法突破，特别对于北师大版的教材，每一模块的内容乍一看是静止的，但对于这一模块各个学段的内容都存在着丰富的动态结构，层层递进，在统计与概率中同样存在着千丝万缕的关系，因此教师应关注教材的纵横联系，从教材的传承性来设计数学教学活动。虽然概率学习的一个首要目標是学生不断体会随机现象的特点，不确定性对学生来说是全新的思想，如果缺乏对不确定现象的丰富体验，学生往往较难建立这一思想。为此，教材主要结合具体的情境，直观认识不确定现象。同时教材非常重视学生的动手操作，鼓励他们在实际的操作活动中感受不确定现象的特点，然后抽象，实现内化。

二年级上册，教材通过有趣的“猜测活动”，使学生在实际操作中初步感受到不确定现象的特点。三年级上册的教材安排了“摸球活动”，使学生感受事件发生的可能性是有大小的。三年级下册又安排了“转转盘活动”，让学生预先猜测指针会停在哪一个区域内，然后动手旋转转盘。通过多次的旋转后，学生逐渐体会到指针落在阴影区域和落在白色区域的次数是不一样的。到此，学生不仅对可能性有了较深的感性认识，而且能列出简单试验所有可能发生的结果。在积累了以上的“数学基本活动经验”的基础上，四年级下册的教材中的“游戏公平活动”中，紧紧抓住“可能性相等”这一概念，可以说，等可能的学习为进一步学习用分数表示可能性大小做好了必要准备。五年级上册教材安排的“用分数表示可能性的大小”，只是实现对可能性的认识由定性感受到定量刻画的自然过渡而已。基于学生原有的知识经验和生活经验，用一个分数表示可能性的大小似乎是“水到渠成”。但是我们会发现由于“概率”的抽象性，学生对其所用分数的内涵却是模棱两可，而且也存在形形色色的潜在的对可能性的模糊认识。所以怎样让他们那些不太正规的知识与体验上升发展为科学的结论，理解怎样用分数表示可能性大小的方法与内涵。因此，可能性的大小不宜简单地用解决确定性问题的“猜想——验证”模式来教学，而应该充分展开。

如教师问及为什么可以用表示摸到红球的可能性时，教师不应该完全放手，应该引导学生进行分析。

1.任意摸一个球，我们能事先确定哪种颜色的球吗？

2.这些球除颜色外尽管是一样的，但它们却是不同的球，为了区分，给它们编上号码。

3.可能出现哪些情况呢？

（可能摸出白球，也可能摸出红球——简单列出可能事件）

4.每个球摸到的可能性一样吗？

（每个球被摸到的可能性相等——等可能）

在此基础上引导学生推理：从摸球的情况来看，共有2种可能。因为红球只有1个，摸到红球的可能只有1种，因此摸到红球的可能性是1/2。像这样，教师利用知识的传承性进行引导，把学生从对球的个数的探究转化成对摸球的可能性事件的探究中，使学生真正理解用分数表示可能性大小的内涵。当然，随着教学的推进，还可以借助生活经验，在充分的观察比较中，体会用分数表示可能性大小和用分数表示其他事物大小有什么不同，结果相等和机会相等有什么不同，激起学生的认知冲突，让学生在对比中进一步理解可能性的意义。激发学生的能动性，达到以动手促进思维，以思想延伸动手，促进“数学基本活动经验”获取。

（三）从探究的目的性来设计数学教学活动

概率的现实教学大多以活动体验为主，而活动体现的次数总是有限的。那么如何在有限的操作活动中使学生产生有效的感受体验，使学生进行有效的抽象和内化是至关重要的。如争议2的片断中，虽然用少数的试验来验证猜测的策略有失考虑，但认真分析这个试验的价值，我们不难发现：它无形中渗透着这样一种思想：试验少的时候，试验结果不一定与预测可能性大小相符。但随着试验次数的增加，试验结果将越来越接近预测的可能性大小。虽然从教材的编写来看，并不强调频率与概率的关系，但是让学生了解这两者的关系，也将成为认识概率逐步完善的过程。总之，从探究的目的性来设计数学活动，从数学的内在联系入手，从思维原点出发的教学，进一步帮助小学生获取并积累“数学基本活动经验”。

参考文献：

[1]陈玉英.基于学生数学活动经验的中学（初中）概率教学实践研究[D].四川师范大学，2014.

[2]孔德鹏，端木彦.基于数学基本活动经验教学设计的整体分析：以“随机事件及其概率”为例[J].中国数学教育，2017（20）：2-5.

编辑 张佳琪